Operaciónes Elementales, Ejercicios de Matemáticas

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Operaciones

elementales

MIRIAM BECERRA GARCIA

DESIGUALDADES

Una desigualdad es una expresión que indica que una cantidad es mayor o menor que otra y sus

signos son > que se lee mayor que, y < que se lee menor que. 5>3 se lee 5 es mayor que 3; - 4<- 2

se lee - 4 menor que - 2.

Una cantidad es mayor que otra cantidad b cuando la diferencia 𝑎 − 𝑏 es positiva. Así, 4 es mayor

que - 2 porque la diferencia 4 − (− 2 ) = 4 + 2 = 6 es positiva; - 1 es mayor que - 3 porque

− 1 − (− 3 ) = − 1 + 3 = 2 es una cantidad positiva.

Una cantidad 𝑎 es menor que otra cantidad b cuando la diferencia 𝑎 − 𝑏 es negativa: Así, - 1 es

menor que 1 porque la diferencia − 1 − 1 = − 2 es negativa: - 4 es menor que - 3 porque la diferencia

− 4 − (− 3 ) = − 4 + 3 = − 1 es negativa.

Según lo anterior, cero es mayor que cualquier cantidad negativa, por lo tanto 0 es mayor que - 1

porque 0 − (− 1 ) = 0 + 1 = 1 cantidad positiva.

Miembros y términos

El primer miembro de una desigualdad es la expresión que está a la izquierda y el segundo miembro

está a la derecha del signo de desigualdad.

En 𝑎 + 𝑏 > 𝑐 − 𝑑 el primer miembro es 𝑎 + 𝑏 y el segundo 𝑐 − 𝑑.

Los términos de una desigualdad son las cantidades separadas de otras por el signo + ó −, o por la

cantidad que está sola en un miembro.

En la desigualdad anterior los términos son 𝑎, 𝑏, 𝑐 y −𝑑.

Dos desigualdades son del mismo signo o subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros

miembros son mayores o menores que los segundos.

De este modo, 𝑎 > 𝑏 y 𝑐 > 𝑑 son desigualdades del mismo sentido.

Dos desigualdades son de signo contrario o no subsisten en el mismo sentido cuando sus primeros

miembros no son mayores o menores que los segundos. Así, 5 > 3 y 1 < 2 son desigualdades de

sentido contrario.

Propiedades de las desigualdades

1. Si a dos miembros de una desigualdad se les suma o resta la misma cantidad, el signo de la

desigualdad no varía.

Dada la desigualdad 𝑎 > 𝑏 podemos escribir:

𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 y 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑐

En una desigualdad un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro cambiándole

el signo.

En la desigualdad 𝑎 > 𝑏 + 𝑐 podemos pasar 𝑐 al primer miembro con signo − y quedará

𝑎 − 𝑐 > 𝑏, porque equivale a resta 𝑐 a los dos miembros.

2

= 9 y (− 5 )

2

= 25 y queda 9 < 25 (cambia)

Siendo 8 > − 2 y elevando al cuadrado:

2

= 64 y (− 2 )

2

= 4 y queda 64 > 4 (no cambia)

10. Cuando los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae una misma raíz

positiva , el signo de la desigualdad no cambia

𝑎 > 𝑏 y 𝑛 es positivo, tendresmos: √

𝑛

𝑛

11. Si dos o más desigualdades del mismo signo se suma o multiplican miembro por miembro,

resulta una desigualdad del mismo signo.

Si 𝑎 > 𝑏 y 𝑐 > 𝑑, tendremos:

𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑑 y 𝑎𝑐 > 𝑏𝑑

12. Cuando dos desigualdades del mismo signo se restan o dividen miembro por miembro, el

resultado no necesariamente será una desigualdad del mismo signo, pues, puede ser una

igualdad.

En 10 > 8 y 5 > 2 , restando miembro por miembro: 10 − 5 = 5 y 8 − 2 = 6 ; luego, queda

5 < 6 (cambia el signo).

Al dividir miembro por miembro las desigualdades 10 > 8 y 5 > 4 tenemos

10

5

= 2 y

8

4

luego, queda 2 = 2 (igualdad). (Chavez Reyes & Leon Quintanar, 2006)

Ejercicios

10

3

Intervalo (− 1 ,

1

2

2 𝑥+ 1

3 𝑥− 6

19

7

Por lo tanto 3 𝑥 − 6 ≥ 0

Intervalo ( 2 ,

19

7

𝑥+ 4

𝑥− 2

𝑥+ 3

𝑥− 1

3

(𝑥+ 1 )