Apuntes de Clases
Operaciones Matemáticas con
Números Binarios.
Realizado por Sergio Noriega
Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales
Departamento de Electrotécnia
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
2003
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Operaciones Matemáticas con Números Binarios y BCD, Apuntes de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas
Las operaciones matemáticas básicas con números binarios en formatos punto fijo con y sin signo, así como con números en Base Conversión Decimal (BCD). Se explican las reglas para la suma, resta, multiplicación y división de números binarios, además de consideraciones sobre el rango y el ajuste BCD. El documento fue escrito por Sergio Noriega en 2003 para el Departamento de Electrotécnia de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de La Plata.
Tipo: Apuntes
2019/2020
1 / 17
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Apuntes de Clases
Operaciones Matemáticas con
Números Binarios.
Realizado por Sergio Noriega
Introducción a los Sistemas Lógicos y Digitales
Departamento de Electrotécnia
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de La Plata
INDICE
1 - Introducción.
2 - Operaciones matemáticas en punto fijo.
3 - Operaciones matemáticas en punto
flotante.
4 - Operaciones con números en BCD.
5 - Bibliografía.
Las mismas son para el caso de sumar dos números binarios de un bit cada uno.
Al igual que las reglas para sumar en base 10, tendremos que hay situaciones en las que el resultado ya no se puede expresar con sólo un símbolo ( ej: 1 + 9 = 10). En tal caso existirá un "carry" ( denominación en inglés) ó transporte a la posición izquierda inmediata.
En el caso binario el carry siempre se produce cuando se suma 1+1, dando un "0" en dicha posición y trasportándose un "1" en la posición del próximo símbolo mas significativo.
El resultado de 1+1 será10, que es igual a 2 en decimal.
Con esto en mente, se hace extensivo para cualquier cantidad de números que se deseen sumar.
Por ejemplo sumando 3 números de 1 bit tendremos:
Observar que en el último caso donde se suman los tres "unos" se hace primero la suma de dos de ellos que da como resultado 10 y luego éste se vuelve a sumar con el otro "uno" obteniendo 11 ( 3 en decimal).
Esto es importante cuando por ejemplo se deben sumar varios números de mas de un bit.
Por ejemplo: Sumar en binario 7+7+7.
Esto convertido a binario sería:
1 1 1 1 1
En " negritas " se marcan los transportes que se pasan al otro símbolo al hacer las sumas.
Por ejemplo en la posición del primer bit menos significativo, se suman tres "unos", cuyo resultado es 11, donde el "1" mas significativo de ambos, se debe poner en la posición mas significativa siguiente y sumarlo con los otros 3 "unos" de esa posición. Como resultado se deben sumar 4 "unos" cuyo resultado en esa posición es "0" y se generan dos "carry" ó transportes que deben sumarse en la posición siguiente ( tercera columna menos significativa) y así siguiendo.
Consideraciones de rango:
Siempre que se sumen números de n bits de formato, el resultado de una suma
tendrá m bits, donde m n ., dependiendo de la cantidad de números que se sumen:
Por ejemplo con 3 bits, 111+111 dará 1110 ( un bit mas); 111+111+110 dará 10100 ( dos bits mas), etc.
Este comentario se hace puesto que en general cuando uno trabaja con números binarios lo hace en un ambiente donde el número de bits que forman los números está previamente definido y son en general tomados de 4, 8, 16, 32 ó 64 bits de extensión, ya que en general esos son los formatos empleados para hacer arreglos de memorias y longitud de palabra de los microprocesadores.
Es necesario entonces, tener presente de que no nos excedamos de la cantidad de bits para representar no sólo a los números a sumar sino al resultado.
Sabemos que un número de n bits puede representar 2^n números diferentes, siendo el máximo número igual a 2^(n) - 1.
Ejemplo:
Con 4 bits puedo representar 16 números y el 15 es el mayor.
Con 8 bits puedo representar 256 números y el 255 es el mayor.
Con 10 bits puedo representar 1024 números y el 1023 es el mayor.
Con 12 bits puedo representar 4096 números y el 4095 es el mayor.
Con 16 bits puedo representar 65536 números y el 65535 es el mayor.
Con 32 bits puedo representar 4294967300 números y el 4294967299 es el
mayor.
etc.
Resta:
Las reglas a tener en cuenta en operaciones de resta son las siguientes:
Al igual que en el caso de números decimales, cuando el minuendo es menor que el sustraendo, en la resta se genera un transporte hacia la posición de la izquierda, el cual se debe restar a los dígitos de esa posición.
En base 10 al hacer por ejemplo 12 - 9, tendremos que en la posición menos significativa debemos restar 9 al 2, donde el resultado es 3 y me llevo un 1 a la otra posición. Ese 1 se debe restar al 1 que es el segundo dígito del 12, siendo el resultado 0. El número definitivo en este caso será entonces 03.
Primero se realiza la operación 785 x 2 y luego 785 x 1 donde este último resultado se coloca debajo del primero, desplazado un dígito hacia la izquierda. Posteriormente se suman ambos y se obtiene el resultado definitivo.
En binario se procede en forma análoga. Por ejemplo realicemos la operación 11111 x 1101 ( 31 x 13 en decimal):
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
El 1 menos significativo de 1101 se multiplica por 11111 dando como resultado: 11111 ( todo número multiplicado por 1 da ese mismo número).
Luego se multiplica el 0 de 1101 por 11111, dando 00000, el cual se coloca debajo del anterior resultado pero corrido un lugar hacia la izquierda.
Repitiendo estos pasos para los dos dígitos restantes del número 1101, se completa la tabla, en la cual luego resta sumar bit a bit como vimos.
El resultado final es 110010011 ó 403 en decimal.
División:
En este caso se deben realizar operaciones de multiplicación y de resta también como en el caso de números decimlaes.
Por ejemplo si deseamos hacer 14 dividido 2 en binario, tendremos:
El resultado es un número entero, 111 ( ó 7 en decimal), el cual es correcto.
Si en cambio realizamos la operación 45 dividido 6, tendremos:
Tendremos aquí que el número resultante ( 7,5 en decimal) es exacto pero con parte decimal.
Puede suceder, que al dividir dos números, el resultado tenga un número grande de dígitos decimales pudiendo llegar a infinito ( números periódicos). Esto sucede cuando el resultado no es múltplo de potencia de 2^-n, como por ejemplo 0,5, 0,25, 0,125, etc.
En decimal tenemos por ejemplo que 10 dividido 3 nos dá: 3,333........ con infinitas cifras decimales. Igual puede pasar en formato binario.
En tal caso dependiendo de la exactitud que se requiera se deberán tomar los bits necesarios para que el error de representación esté acotado en un valor admisible para la operación en cuestión.
2.1 Operaciones matemáticas en punto fijo con signo:
Se ha visto que existen tres tipos diferentes de representación de números binarios con signo en punto fijo.
Estas son:
Signo y módulo.
Complemento a la base disminuída ( complemento a 1: Ca1).
Complemento a la base ( complemento a 2: Ca2).
A + B: En este caso se suman ambos números.
A como es positivo será = 01111. B como es negativo y se debe sumar a A, se calcula en base al +13 y se complementa, es decir, +13 = 01101 y su complemento por definición será:
011111 = 2^5 - 1
010010 = B
Por lo tanto: A + B = 01111 + 10010 = 00001
01111 = A = +
10010 = B = -
00001 = A + B = +
El resultado es incorrecto ya que debería haber dado +2 decimal ó 0010 en binario.
La razón de esto se puede ver en el disco de representación de numeros en Ca1, donde por simplicidad tomamos otro ejemplo de 3 bits, donde la operación es +3 -1, debiendo dar +2, pero dá +1.
Recordando que existe una doble representación del cero, hay casos como éste, donde cuando el resultado de una resta A - B es mayor que 0, al resultado se le debe sumar un "1" para que sea correcto.
En el disco, las operaciones de Ca1 se hacen siempre sumando, es decir, en el sentido de las agujas del reloj, por lo tanto si comenzamos parados en -1 = 110 y avanzando 3 números ( +3), en sentido horario, tendremos que el resultado es +1.
Porqué? Porque hemos pasado por la doble representación del cero, primero por el - 0 = 111 y luego por el +0 = 000.
Por lo tanto, en vez de llegar al +2 que era el resultado correcto, llegamos a un número menos ( el +1).
Figura 1
Esto es extensible al ejemplo que estabamos viendo ( +15 - 13), donde el resultado era un número menos del esperado ( +1 en vez de +2).
Si en cambio la resta de dos números da como resultado un número menor que 0, no existe este problema ya que nunca llegaremos a pasar por la doble representación del 0. En este caso el resultado obtenido será el correcto.
Viendo esto en el ejemplo del disco de representación, si por ejemplo queremos hacer 2 - 3 = 2 + (-3), tendremos que partiendo de -3 = 100 y en sentido horario recorriendo dos posiciones (+2), llegamos a 110 que representa al -1, siendo el resultado correcto.
Como conclusión cuando en una resta de dos números el resultado es positivo ( mayor que cero), se debe sumar al mismo un 1, que es el transporte de haber sumado dichos números, caso contrario el resultado será incorrecto.
Si el resultado de la resta es menor que cero, no se debe realizar ajuste alguno.
Cuando se suman dos números negativos también se debe sumar al resultado el carry si lo hubo para que el resultado sea correcto:
Por ejemplo si tenemos -2 -1 = -2 + 2*1 = 101 + 110 = 1011 que es positivo. Aquí no hay overflow ( desborde) ya que el -3 que debería haber dado esta dentro de la capacidad de representación con 3 bits. Para que el resultado sea correcto faltaría sumar el carry al 011:
Matemáticamente podemos también explicar esto a través de las siguientes expresiones empleando la definición de Ca1:
Dados dos números A y B, si el resultado de A - B es positivo, tendremos:
A - B = A + B*1 = A + 2^n - 1 - B = A - B + 2^n - 1
es decir que A - B en realidad se compone de los términos de resta mas el término 2^n - 1.
para que quede perfectamente representado debemos sumar ese "1" ya que el término 2^n no tiene efecto debido a que escapa fuera del rango de representación con n bits.
Si en cambio tenemos que el resultado de A - B es negativo, esto se expresa como:
A - B = - ( B - A) = ( B - A)*1 = 2^n - 1 - ( B - A)
donde queda perfectamente expresado por la definición de complemento y no debe sumarse ningún transporte al resultado.
B - A: En este caso se debe complementar a A para realizar una operación de suma.
B - A = B + (-A) = B + A*1 = 10010 + 10000.
El resultado es incorrecto pues el resultado es positivo en vez de ser negativo. El 1 que se transporta a la izquierda es un carry pero no interviene en la representación.
Otra vez tenemos overflow ya que no podemos representar el -28 pues el máximo número negativo es el : - (2^(n - 1) - 1) que para 5 bits, es -15. Habrá que emplear 6 bits para poder hacerlo ( con 6 bits se puede representar hasta el -31).
B + A: Aquí por propiedad conmutativa tenemos el mismo razonamiento que con la operación A + B.
NOTA: En este último ejemplo se ha puesto de evidencia que la existencia de carry no implica desborde en Ca1 y tampoco en Ca2 como se verá. En el único caso en que el carry representa desborde es en la representación de números sin signo, ya que si se tienen n bits y hay un "1" que se transporta a la posición n+1, eso indica que el resultado expresado con esos n bits es incorrecto ya que necesitaría un bit mas ( ejemplo de sumar sin signo con 4 bits 1110 + 10, el resultado es 10000 pero como solo tengo 4 bits voy a leer 0000.
Operaciones con el método de Complemento a la base ( Ca2):
A diferencia de Ca1 en Ca2 tenemos que existe una sola representación para el cero y esta es con todos los n bits de formato en 0.
La primera ventaja de esto es que disponemos de un número mas para representar los números negativos ( el lugar de todos "unos" que antes en Ca1 representaba el - 0).
La segunda ventaja es operativa y muy importante, y es que no hay que tener en cuenta mas si el carry se debe sumar al resultado o no, para que éste sea correcto.
Esto simplifica la lógica que se debe implementar en los sumadores binarios.
Como se vió, la definición de complemento a la base de un número binario en punto fijo de n bits es: N*2 = 2^ n - N.
Al igual que en el caso de Ca1, las operaciones de suma y resta siempre serán de suma, debiéndose complementar al número que figure como negativo.
Ejemplo:
Dado A = -16 y B = - 26, realizar las operaciones en 6 bits:
A + B, A - B, B - A.
Para representar el -16 y el -26 en binario partimos del número +16 y del +26 y luego los complementamos.
A = -16 = 16*2 = 2^6 - 16 = 100000 - 010000 = 110000
1000000 = 2^
010000 = A
Por otro lado,
B = -26 = 26*2 = 2^6 - 26 = 100000 - 011010 = 100110
2^6 = 1000000
B = 011010
A + B: -16 +( -26). Se suman directamente los dos números:
A = 110000
B = 100110
En este caso nos encontramos que como en el ejemplo visto de Ca1, la suma de dos números negativos da como resultado un número positivo, es decir, hubo overflow.
Además hubo un carry desde el bit mas significativo, el cual no indica una condición de desborde u overflow.
Esto como se dijo, es importante de tener en cuenta. El "1" que se transporta del sexto bit a la izquierda, en este caso, se escapa fuera de la representación con 6 bits, y no es necesario tenerlo en cuenta.
Por ejemplo si sumamos los siguientes números 11100 ( - 4) y 01000 ( +8) ( uno negativo y el otro positivo) nunca se puede dar un desborde, pero sin embargo si hacemos la suma, tendremos un carry, aunque el resultado sea correcto (+4).
Aplicando esto a la representación en punto flotante normalizado , cuando se debe realizar por ejemplo una multiplicación, se deben tener en cuenta dos puntos importantes:
- Los significandos se deben multiplicar, pero éstos están representados sólo con la parte decimal, donde tácitamente el entero es un "1" ( simple y doble precisión).
Por lo tanto se debe desnormalizar los significandos poniéndolos en formato 1,x......x y luego multiplicarlos. Al resultado se lo vuelve a expresar con solo la parte decimal.
Hay que tener cuidado porque cuando se multiplican dos números que varían entre 1,0 y 1,1.........1 ( casi 2), puede ser que el resultado tenga dos dígitos ( 10,x.....x ó 11,x.....x). En tal caso se debe volver a ponerlo en formato normalizado pero antes se debe correr de nuevo la coma, es decir, corregir el exponente sumandole un "1".
- Los exponentes se deben sumar algebraicamente, pero como éstos están formateados con el bias, se deben antes desnormalizar y luego sumar. El resultado de esa suma se debe luego formatear con el bias salvo que como se dijo en el punto 1), si de la multiplicación de los significandos hubo un resultado de la forma 10,x...x ó 11,.x...x, entonces se debe sumarle un "1" antes y luego formatear.
El caso de división es análogo, donde puede ser que al dividir los significandos el resultado de menor que 1, y se deba correr la coma hacia la izquierda, es decir, restar un "1" al resultado luego de restar los exponentes.
Suma y resta:
Sólo es posible realizar estas operaciones cuando los números en punto flotante tienen el mismo exponente. En tal caso se deben sumar o restar, según la operación, los significandos previa desnormalización.
El resultado se debe volver a normalizar, teniendo en cuenta que debe ser de la forma 1,x......x ( precisión simple y doble), pudiendo ser necesario ajustar de nuevo los exponentes.
Si los números tienen diferente exponentes, entonces necesario expresar uno de los números con el mismo exponente del otro, lo cual implica que se perderá resolución, ya que se tiene que correr la coma a derecha o izquierda, según el caso.
Es posible que al realizar esta operación, si los exponentes son muy diferentes se cometa grandes errores.
Por ejemplo si un número tiene exponente +12 y otro -15 ( la diferencia es de 27) y se deben sumar, se estaría fuera de la capacidad de representación en punto fijo simple precisión donde sólo se puede representar a la fracción del significando con 23 bits. Queda en este ejemplo emplear una representación de mayor resolución como doble precisión ó precisión extendida.
4 - Operaciones con números BCD
Suma:
Esta operación se realiza con las mismas reglas de suma de números binarios. Ejemplo: sumar los números 23 + 51 en BCD
Pero hay casos donde hacer esto genera errores, por ejemplo sumando 2 + 8, tendremos:
La suma es correcta ya que el resultado debe dar 10, pero el formato es BCD y no binario. Lo correcto es obtener 0001 0000.
El problema se debe a que al sumar dos números de 4 bits, recién hay un carry cuando se pasa de 15 a 16, en cambio como en BCD se sigue la regla en base diez, se debe generar el carry al pasar de 9 a 10.
Para obtener el resultado correcto en BCD pero trabajando con números binarios, se deb realizar lo que se denomina ajuste BCD. Cuando el resultado de la suma es mayor a 9 se debe sumar 6 al mismo a fin de producir el carry deseado.
En el ejemplo anterior, hacemos entonces:
5 - Bibliografía.