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Tema 2

OPTIMIZACION SIN RESTRICCIONES

BIBLIOGRAFIA

 Barbolla, Cerdá y Sanz

 Sydsaeter y Hammond

M. Vázquez

Podéis consultar la bibliografía completa en la guía docente de la asignatura

Un Programa se dice sin restricciones si su conjunto de soluciones factibles es todo el plano. Es decir

2

f ( , )

( , ) R

Opt x y

sa x y  Podemos asegurar la existencia de solución?

Bajo qué condiciones la solución, si existe, es global?

Podéis consultar el texto de Barbolla, Cerdá y Sanz “Optimización” ED. Garceta.

A continuación estudiaremos las condiciones que caracterizan a una solución óptima en este tipo de problemas. La condición de primer orden o condición necesaria se refiere al gradiente de la función objetivo. Recuerda que si un punto es óptimo, debe cumplir esta condición por ser necesaria (pero no basta con que dicha condición se cumpla para que tengamos un óptimo). Por tanto, la condición necesaria nos proporciona una “colección” de candidatos a óptimo (que podrán ser finalmente óptimos o no).

Ejemplo. Calcula los puntos críticos de la función f^^ ( , x y^ )^ ^ x^3^^ ^ x^  y^2

Para calcular los puntos críticos (candidatos a óptimo) calculamos el gradiente e igualamos a cero. Se tiene

f

x x

x

f

y

y

Como el sistema de ecuaciones no tiene solución, no hay ningún punto que cumpla la condición necesaria. Y por tanto no hay ni máximos ni mínimos.

Gráfica de la función f ( , x y ) x^3^  x  y^2

Ejemplo. Calcula los puntos críticos de la función f ( , x y )  x^2^  x y^2  2 y^2

Calculamos el gradiente e igualamos a cero. Se tiene

2 2

f

x xy

x x^ y

f y x

x y

y

 ^ 

De la primera ecuación, x=0 ó y=. Si x=0, de la segunda ecuación y=0. Si y=1 entonces x=2, x=-2. Por tanto los puntos críticos son (0,0), (2,1), (-2,1).

Gráfica de la función f ( , x y )  x^2  x y^2  2 y^2

Como el sistema de ecuaciones tiene tres soluciones, tenemos tres candidatos. Tendremos que decidir si alguno es Máximo, mínimo o ninguna de las dos cosas.

Analizamos ahora bajo qué condiciones un punto crítico es mínimo global o Máximo global. Como seguro que ya sospecharás, estas condiciones están relacionadas con la convexidad del programa.

Teorema 2a. Si la función objetivo es cóncava en un programa sin restricciones, un punto crítico es Máximo Global. Además no hay mínimos.

Teorema 2b. Si la función objetivo es convexa en un programa sin restricciones, un punto crítico es mínimo Global. Además no hay Máximos.

CONDICIÓN SUFICIENTE DE ÓPTIMO GLOBAL

Observación Ahora, por el teorema fundamental de la programación convexa (TFPC), si el objetivo es estrictamente cv, el Máximo es único y si no es estricto y hay más de un Máximo, habrá infinitos (todo un conjunto convexo de Máximos).

Observación Ahora, por el teorema fundamental de la programación convexa, si el objetivo es estrictamente cx, el míninmo es único y si no es estricto y hay más de un mínimo, habrá infinitos (todo un conjunto convexo de mínimos).

Demostración. Trabajamos con el Máximo. Queda como ejercicio la demostración en el caso del mínimo. En el capítulo anterior vimos la definición de función cóncava para funciones de clase 1 (funciones con parciales continuas). Una función era estrictamente cv si y sólo si la diferencial aproximaba por exceso, es decir

f x ( )  f ( x 0 (^) )   f ( x 0 (^) )( x  x 0 (^) ),  x x , 0  S

Supongamos que nuestra función objetivo es estrictamente cóncava y sea un punto crítico. Entonces

x *

f x ( )  f ( *) x   f ( *)( x x  x *),  x R^2

Y como es un punto crítico el gradiente es nulo luego la desigualdad anterior se escribe :

f ( x )  f ( *) x  x  R^2 por tanto x * es Máximo global

x *

Por tanto, si la función objetivo es cóncava (convexa), la condición necesaria de Máximo (mínimo) es también suficiente.

1

x f x y x y x y y

Y por tanto el único punto crítico es el (2,0). Para determinar su carácter, estudiamos el signo de la matriz Hessiana en todo punto:

a. Condición necesaria

b. Condición suficiente 2 0 ( , ) 0 10

Hf x y

         que es definida negativa en todo punto. Por tanto, la función es estrictamente cóncava. El punto crítico (2,0) es MAXIMO GLOBAL.

¿Puede una función estrictamente cóncava tener más de un punto crítico?

Ejemplo. Calcula los óptimos de las siguientes funciones 2 2

1. f 1 ( , x y )   x  5 y  4 x  1

 f (^) 2 ( , x y )  (2( x  y  1), 2( x  y  1))  (0,0)  x  y  1  0

Y por tanto hay toda una recta de puntos críticos. Para determinar su carácter, estudiamos el signo de la matriz Hessiana

a. Condición necesaria

b. Condición suficiente

2

2 2 ( , ) 2 2

Hf x y

        

que es semidefinida positiva en todo punto. Por tanto, la función es convexa. Todos los puntos críticos son mínimos globales. Observa que como el programa es convexo para mínimo, si tienes más de un mínimo, tienes todo una recta de mínimos. x+y-1=

2

2. f (^) 2 ( , x y )  ( x  y 1)

3 3 3 3 (^4 3 )

( , ) (4( ) , 4( ) 4(y-1) ) (0,0) 4( ) 4(y-1)^1

x y^ x^ y f x y x y x y x y y

 ^ 

a. Condición necesaria

b. Condición suficiente

Luego el único punto crítico es el (1,1).

2 2 (^4 2 2 )

12( ) 12( ) 12(y-1)

x y x y

Hf x y

x y x y

 ^ ^ ^  

Que es semidefinida positiva para todo punto (verifícalo). Por tanto, la función es convexa y el punto crítico mínimo global.

Ejercicio. Clasifica los puntos críticos de los ejemplos de la diapositiva 6.

4 4

4. f (^) 4 ( , x y )  ( x  y ) +(y-1)

En ocasiones, las funciones con las que trabajamos no son convexas ni cóncavas. ¿Podemos en estos casos decidir el carácter de los puntos críticos? Veremos que sí, pero de manera local.

Teorema 3. Sea ( x,y) un punto crítico del campo escalar f(x,y).

1. Si Hf ( x,y) es Definida Negativa ( x,y) es Máximo local

2. Si Hf ( x,y) es Definida Positiva ( x,y) es mínimo local
3. Si Hf ( x,y) es Indefinida ( x,y) es un punto de silla (un punto que anula el gradiente pero que no es Máximo ni mínimo)

  

Observaciones 1. Los puntos críticos pueden por tanto ser : Máximos, mínimos o puntos de silla 2.Para analizar el carácter de los óptimos cuando no hay concavidad/convexidad , debemos evaluar la matriz hessiana en el candidato a óptimo. La matriz hessiana será por tanto una matriz de números (no de funciones como en el caso de las funciones convexas /cóncavas)

3. Los óptimos podrán ser globales, pero el criterio no lo asegura.

CONDICIÓN SUFICIENTE DE ÓPTIMO LOCAL

Ejemplo. Clasifica los puntos críticos de la función f^ ( , x y^ )^  xy

Solución. Calculamos los puntos que anulan el gradiente y estudiamos la matriz hessiana.

 f x y ( , )  ( , ) y x  (0,0) (0,0) único punto crítico.

Hf x y

Cuyo determinante es -1 y es por tanto indefinida. El punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Es un punto de silla

Observa: el punto (0,0) se

comporta como un mínimo

para los puntos de esta

parabola

Por este camino, se comporta

como un Máximo

En realidad, el criterio de óptimo local dice un poco más. Se puede probar que si la matriz hessiana evaluada en el punto crítico es semidefinida positiva, puede ser mínimo o punto de silla. De la misma forma, si la hessiana evaluada en el punto

crítico es semidefinida negativa, podrá ser Máximo o punto de silla. No

profundizaremos mucho en este asunto. Vemos un ejemplo (opcional)

3 3 2 2

12 0 0 0 ( , ) (4 , 4 ), ( , ) (0,0) 0 12 0 0

f x y x y Hf x y x Hf y

  (^)       (^)       ^  ^ 

Sea la función. Su único punto crítico es el (0,0). Calculamos el gradiente y la hessiana

f ( , x y )  x^4^  y^4

Ejemplo

Como la matriz es semidefinida positiva y semidefinida a la vez, el punto crítico puede ser Máx, min o punto de silla. ¿Cómo decidimos?. Usamos el siguiente argumento.

Tomamos valores tan cercanos al (0,0 ) como queramos de la forma (a,0). Observa que f(a,0)>f(0,0)=0. Para estos puntos el (0,0) se comporta como un mínimo. Ahora tomamos puntos de la forma (0,b) tan cercanos al punto crítico como queramos. Observa que en este caso f(0,b)<f(0,0)=0 y el (0,0) se comporta como un Máximo. Por tanto, el punto crítico no es ni Max ni min, es un punto de silla.

a. Condición Necesaria

2

f

x xy

x

f

x y

y

Puntos críticos (0,0), (2,1), (-2,1)

b. Condición Suficiente

y x

Hf x y

x

 ^  

No es cóncava ni convexa

Hf

Evaluamos la matriz en los puntos críticos

Definida positiva. (0,0) es un mínimo local. Para saber si es global, estudia la función.

0 4 (2,1) 4 4

Hf         

Indefinida. (2,1) es un punto se silla

Hf

Indefinida. (-2,1) es un punto de silla

(Ver gráfico en el ejemplo de la página 5)

Ejemplo. Clasifica los punto críticos de la función f ( , x y )  x^2^  x y^2  2 y^2

Ejercicio 2. Clasifica los punto críticos de la función f ( , x y )  x^4  y^4

Solución. Calculamos los puntos que anulan el gradiente (puntos críticos) que son los candidatos a óptimo.

**1. Condición necesaria (o de primer orden)

2. Condición suficiente (de segundo orden).** Calculamos la matriz Hessiana y evaluamos en el punto crítico

Y por tanto el punto crítico puede ser Máximo, mínimo o punto de silla.

 f ( , x y )  (4 x^3 , 4 y^3 )  (0,0)  x  y  0

2 2

x Hf x y Hf y

  ^ 

Has pasado por alto que la función es convexa y por tanto, el punto crítico es mínimo global. Empieza siempre verificando la condición de óptimo global. Si no se cumple, verifica la condición local.