Tema 5: Optimización lineal
Formulación y resolución gráfica de problemas de
optimización con restricciones de desigualdad
La programación estudia las situaciones en las que se exige maximizar o minimizar
funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que
llamaremos restricciones.
Definición.- La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o
minimizar) una función, denominada función objetivo, que es una función lineal de
varias variables: 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑏𝑏𝑦𝑦,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎,𝑏𝑏∈ℝ,
Y las restricciones están expresadas por inecuaciones o desigualdades lineales:
�𝑎𝑎1𝑥𝑥+𝑏𝑏1𝑦𝑦≤𝑐𝑐1
𝑎𝑎2𝑥𝑥+𝑏𝑏2𝑦𝑦≤𝑐𝑐2
⋮
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano. El conjunto
intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un
recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región factible. El conjunto de los
vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice
donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el
caso). El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se
llama valor del programa lineal.
Ejemplo: Maximizar la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)= 2𝑥𝑥+ 8𝑦𝑦 sujeta a las restricciones:
�𝑥𝑥≥0, 𝑦𝑦≥0
2𝑥𝑥+ 4𝑦𝑦≥8
2𝑥𝑥−5𝑦𝑦≤0
−𝑥𝑥+ 5𝑦𝑦≤5
En primer lugar representamos las restricciones, para determinar la región factible.
Debemos por tanto, representar las rectas 2𝑥𝑥+ 4𝑦𝑦= 8, 2𝑥𝑥−5𝑦𝑦= 0, −𝑥𝑥+ 5𝑦𝑦= 5
calculando los puntos de corte entre ellas 𝐴𝐴=�20
9,8
9�,𝐵𝐵=(5,2),𝐶𝐶=�10
7,9
7�. Además,
debemos comprobar cuál es la región correspondiente.
Para determinar cuál de esas soluciones factibles es la óptima, sustituimos sus valores
en la función objetivo:
A
B
C
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