Trabajo Final Cálculo 3: Superficies Paramétricas y Ecuaciones Vectoriales, Guías, Proyectos, Investigaciones de Cálculo Avanzado

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TRABAJO FINAL CALCULO 3

Integrantes: Ana Sofia Buitrago Aguilar 2520191041 Universidad de Ibagué 2021B

SÍNTESIS DEL PROBLEMA

En los ejercicios de 7 a 10, hallar la ecuación rectangular de la superficie por eliminación de los parámetros de la función vectorial. Identificar la superficie y dibujar su gráfica.

MARCO TEÓRICO

FUNCION VECTORIAL

Una funcion con valores vectoriales, o simplemente funcion vectorial, es una funcion cuyo rango o imagen es un conjunto de vectores. Las funciones vectoriales, que se denotan como ~r(t), cuyo dominio esta en la recta real (intervalo I cerrado o semicerrado, o toda la recta) y cuyo rango o imagen esta formado por vectores del espacio o del plano. Se tiene como: ~r : I ⊂ R → V Algunas caracteristicas:

• Cuando el parametro t varia en su dominio, el punto extremo o final del vector ~r(t) (ubicado en posicion canonica) genera una curva C llamada curva parametrica.
• El sentido de la curva param´etrica C est´a dado por el sentido en el que se van generando los puntos de la curva a medida que el par´ametro t aumenta su valor en su dominio I ⊂ R.
• El dominio de variacion del parametro muchas veces esta restringido a un intervalo finito I = [a, b] ⊂ R. En este caso, la curva C tiene un punto inicial o de partida A(f(a), g(a), h(a)) (que es el punto extremo del vector ~r(t = a) en posicion canonica) y un punto final o de llegada B(f(b), g(b), h(b)) (que es el punto extremo del vector ~r(t = b) en posicion canonica).
• El parametro no siempre representa el tiempo y podriamos usar otra letra en lugar de t para indicarlo. Un parametro especialmente “interesante” es el que representa, no ya el tiempo transcurrido, sino la longitud de la porcion de curva recorrida desde su inicio; se suele denotar a este parametro con la letra s, y se lo llama longitud de arco.

SUPERFICIES CILINDRICAS:

Se denomina superficie cilíndrica o cilindro, a la superficie generada por el movimiento de una recta, que se mueve siempre paralelamente a sí misma, sobre una curva plana dada llamada directriz. La recta que genera la superficie se denomina generatriz. SUPERFICIES PARAMETRICAS Se sabe que representar una curva en el plano o en el espacio mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas o, equivalentemente, por una función vectorial. Se pueden reconocer si estas así: 𝐫(𝑡)=𝑥(𝑡)𝐢+𝑦(𝑡)𝐣 Curva en el plano. 𝐫(𝑡)=𝑥(𝑡)𝐢+𝑦(𝑡)𝐣+𝑧(𝑡)𝐤 Curva en el espacio. Se puede observar que en el caso de las curvas, la función vectorial 𝐫 es función de un solo parámetro 𝑡. En el caso de las superficies, la función vectorial es función de dos parámetros 𝑢 y 𝑣. DEFINICIÓN DE SUPERFICIE PARAMÉTRICA Sean 𝑥,𝑦 y 𝑧 funciones de 𝑢 y 𝑣, continuas en un dominio 𝐷 del plano 𝑢 𝑣. Al conjunto de puntos (𝑥,𝑦,𝑧) dado por 𝐫(𝑢,𝑣)=𝑥(𝑢,𝑣)𝐢+𝑦(𝑢,𝑣)𝐣+𝑧(𝑢,𝑣)𝐤 Superficie paramétrica. se le llama una superficie paramétrica. Las cuales tienen unas ecuaciones 𝑥=𝑥(𝑢,𝑣), 𝑦=𝑦(𝑢,𝑣) 𝑦 𝑧=𝑧(𝑢,𝑣) Ecuaciones paramétricas. son las ecuaciones paramétricas para la superficie. Si S es una superficie paramétrica dada por la función vectorial r, entonces 𝑆 es trazada por el vector posición 𝐫(𝑢,𝑣) a medida que el punto (𝑢,𝑣) se mueve por el dominio 𝐷.

ANÁLISIS DE RESULTADOS Y RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS

Principalmente se procede a cambiar la función vectorial por una ecuación paramétrica, de tal forma: r ( u. v )= 2 cosu i + v j + 2 senu k función vectorial x = 2 cosu y = v ecuación paramétrica z = 2 senu Luego se procede a realizar la eliminación de parámetros, pero sin antes notar que al sumar x+z se cumple la identidad trigonometría. cos 2 t + sen 2 t = 1  Eliminación de parámetros x = 2 cos u , z = 2 sin u x 2 = 4 cos 2 u , z 2 = 4 sen 2 u x 2

• z 2 = 4 cos 2 u + 4 sen 2 u x 2
• z 2 = 4 (cos¿^ ¿ 2 u + sen 2 u )¿ x 2
• z 2 = 4 Ecuación rectangular

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

 Universidad Nacional de La Plata. (2014, agosto). FUNCIONES VECTORIALES (N.o2).ANALISISMATEMATICOII.http://www.mate.unlp.edu.ar/practicas/ 54_2_0809201409815.pdf  Montezuma, A., Abreu, E., & Daza, J. (2018). Ejercicios y problemas de funciones vectoriales. Universidad Metropolitana. https://www.unimet.edu.ve/wp-content/uploads/2019/10/Ejercicios-de-problemas-y- funciones-vectoriales.pdf  Leon, J. J. S. (2019, 22 julio). 360939414-Secc-15-5-Superficies-Parametricas.docx. Scribd. https://es.scribd.com/document/419327150/360939414-Secc-15-5-Superficies- Parametricas-docx