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MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM
1° PARCIAL
25 / 09 /202 4 TEMA 7
Hoja 1 de 4
Tabla de uso exclusivo para el docente
1 2 3 4
Puntaje de cada
ejercicio
Duración del examen: 1 h 3 0’. Completar los datos personales con letra clara, mayúscula e imprenta.
No se aceptarán respuestas en lápiz.
1. Dadas 𝒇(𝒙) = −𝒙 + 𝟑 y 𝒈(𝒙) = 𝒌𝒙 + 𝟒. Calcular 𝒌 ∈ 𝑹 de modo tal que 𝒇(𝟐) = 𝒈(𝟐).
Para la resolución de este ejercicio utilizaremos los conceptos vistos del tema “Función
Lineal”
Si sabemos que 𝑓( 2 ) = 𝑔( 2 ), entonces en cada una de las expresiones de las funciones
reemplazamos a la x por 2 , y las igualamos:
APELLIDO:
NOMBRE: CALIFICACIÓN:
DNI (registrado en SIU Guaraní):
E-MAIL: DOCENTE (nombre y apellido):
TEL:
AULA:
APELLIDO Y NOMBRE: DNI: TEMA 7
Hoja 2 de 4
2. La función cuadrática 𝒇(𝒙) tiene un máximo en ( 𝟏; 𝟏). Además, se sabe que: 𝒇(𝟎) = −𝟐. Hallar 𝒇(𝒙),
luego, determinar los ceros y el conjunto imagen.
Como la función cuadrática que alcanza un máximo en ( 1 , 1 ), ese es su vértice. Entonces si: f(x) = a(x − h)
2
k, queda f(x) = a(x − 1 )
2
Como f( 0 ) = − 2 , lo usamos para hallar 𝑎.
f( 0 ) = a( 0 − 1 )
2
a
2
a = − 3
Quedando f
x
x − 1
2
Desarrollando el cuadrado resulta:
f(x) = − 3 (x
2
− 2x + 1 ) + 1
f(x) = − 3 x
2
f(x) = − 3 x
2
Para los ceros usamos la fórmula resolvente:
2
Con 𝑎 = − 3 , 𝑏 = 6 , 𝑐 = − 2 y obtenemos:
x = 1 +
y x = 1 −
Dado que la parábola tiene un máximo en ( 1 , 1 ), el valor máximo de 𝑓(𝑥) es 1 y como es una parábola que abre
hacia abajo (porque 𝑎 < 0 ), el conjunto imagen es:
Imagen
f
]
APELLIDO Y NOMBRE: DNI: TEMA 7
Hoja 4 de 4
4. Hallar los valores de 𝒙 ∈ ℝ para los cuales la función 𝒇 es negativa, siendo 𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟑)(𝒙
𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟑).
Para determinar el conjunto de negatividad pedido planteamos la siguiente inecuación:
( 𝑥 − 3
)( 𝑥
2
− 4 𝑥 + 3
) < 0
(𝑥 − 3 )(𝑥 − 1 )(𝑥 − 3 ) < 0
( 𝑥 − 3
)
2
( 𝑥 − 1
) < 0
Considerando que un producto es negativo cuando ambos factores son del mismo signo, y que (𝑥 − 3 )
2
siempre
es mayor que cero (positivo) cuando “x” es distinto de 3 , resulta necesariamente:
𝑥 − 1 < 0
𝑥 < 1
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:
( −∞; 1
)
