Cálculo Numérico: Constante de Equilibrio en Reacción Oxidación NO a NO2 - Prof. Aguado, Apuntes de Biología

¡Descarga Cálculo Numérico: Constante de Equilibrio en Reacción Oxidación NO a NO2 - Prof. Aguado y más Apuntes en PDF de Biología solo en Docsity!

Descargado en:

patatabrava .com

CALCULO NUMERICO (UPV-EHU)

EXAMEN ENERO 2016

GONZALEZ MARCOS, PILAR 16-

CÁLCULO NUMÉRICO

Primer Parcial. 12/01/

Dpto. de Ingeniería Química

del País Vasco^ Universidad^ Euskal HerrikoUnibertsitatea

eman ta zabal zazu

INSTRUCCIONES. LEA CON ATENCIÓN

1. Dispone de 4 horas para completar el examen, que consta de 3 ejercicios. El primer ejercicio, que consta de dos partes diferenciadas, puntúa el doble que los otros dos.
2. Debe dar una breve y concisa descripción de los siguientes aspectos de cada uno de los ejercicios que entregue: a. Identifique el tipo de problema numérico de que se trata (cálculo de raíces, sistemas de ecuaciones, integración, etc.). b. Indique qué métodos numéricos emplea. c. Señale el procedimiento de cálculo. Cómo se ejecuta.
3. Si emplea un algoritmo que ha desarrollado durante el curso, también debe entregarlo.
4. En relación con el uso de software, los ejercicios se pueden resolver empleando Scilab o Excel, cumpliendo los siguientes requisitos: a. Al menos uno de los ejercicios (25 % del examen) debe estar resuelto en Scilab o Excel. b. No se permite el empleo de uno de los software, Scilab o Excel, de forma exclusiva en el 100 % del examen.
5. La entrega de problemas, programas y comentarios se debe realizar a través de e-Gela. Antes de entregarlos, identifíquelos adecuadamente (se recomienda nombrarlos como: nombre_apellidos_pX.ext , donde X es el número del problema y .ext la extensión del software empleado (.sci, .sce, .xls, .xlsx, etc.).

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Los ejercicios serán evaluados de acuerdo con los siguientes criterios:

A. Resultado y planteamiento, 80 %. Se evalúa si el problema está bien planteado, si la solución elegida es la mejor desde el punto de vista técnico (la más rápida y precisa, para el caso propuesto, por supuesto), si están bien descritas todas las operaciones realizadas para resolver el problema, si la solución es correcta, y si se ha empleado el mínimo número de operaciones necesarias. B. Claridad de las explicaciones, 20 %. Se evalúan las explicaciones de cómo se ha resuelto el problema, y si estas explicaciones son comprensibles.

CÁLCULO NUMÉRICO

Primer Parcial. 12/01/

Dpto. de Ingeniería Química

del País Vasco^ Universidad^ Euskal HerrikoUnibertsitatea

eman ta zabal zazu

especie a 298 K, respectivamente, que, para elementos puros, como es el caso del oxígeno, es cero, y para los compuestos NO y NO 2 se muestra en la Tabla 1.2. Asimismo, la variación estándar de entropía a 298 K se puede calcular con la ecuación (1.10), donde la temperatura está expresada en K:

T

H G

S

0 298

0 (^0298) 298

Tabla 1.1. Capacidades caloríficas de gases ideales Especie A B ×10^3 C ×10^6 D ×10−^5 NO (g) 3,387 0,629 - 0, NO 2 (g) 4,982 1,195 - (^) −0, O 2 (g) 3,639 0,506 - (^) −0,

Tabla 1.2. Entalpías y energías libres de Gibbs estándar de formación a 298 K Especie (^) ∆ H^0 f , J/mol ∆ G^0 f , J/mol NO (g) 90250 86550 NO 2 (g) 33180 51310

B. Sabiendo que a 400ºC la constante de equilibrio para la reacción de oxidación de NO a NO 2 es de 3,47, se quiere calcular la conversión de equilibrio a esta temperatura para una alimentación compuesta por 650 ppm de NO y 6% de O 2 , siendo el resto nitrógeno (es decir, se alimentan 0,00065 moles de NO, 0,06 moles de O 2 y 0,93935 moles de N 2 por mol de alimentación). La constante de equilibrio de la reacción se relaciona con las fracciones molares de reactivos y productos en el equilibrio mediante la ecuación (1.11):

( 2 )^0

2 , , ,

, NOeq O eq

NOeq y y

y K = (1.11)

Teniendo en cuenta la definición de la conversión de equilibrio (para el reactivo limitante, NO, según la ecuación (1.12)) y asumiendo que el número de moles se mantiene constante durante la reacción (debido al gran exceso de gas inerte, N 2 , alimentado), las fracciones molares en el equilibrio se pueden relacionar con la conversión de equilibrio mediante las ecuaciones (1.13), (1.14) y (1.15).

0

0 ,

, , , NO

NO NOeq NO eq y

y y X

yNO (^) 2 , eq = yNO , 0 ⋅ XNO , eq (1.13)

yNO , eq = yNO , 0 ⋅ ( 1 − XNO , eq ) (1.14)

2 20 0

NO eq O eq O NO

X

y (^) , y , y , , (1.15)

donde y NO,0 e y O2,0 son las fracciones molares de NO y O 2 en la alimentación.

CÁLCULO NUMÉRICO

Primer Parcial. 12/01/

Dpto. de Ingeniería Química

del País Vasco^ Universidad^ Euskal HerrikoUnibertsitatea

eman ta zabal zazu

Problema 2. Perfil de velocidades en un fluido lubricante con la posición radial

En un sistema mecánico, una pieza cilíndrica de acero gira con velocidad angular de 9 rad/s en el interior de otra, que se mantiene en reposo. Ambas piezas son coaxiales, tal como se muestra en la Figura 2.1, donde el material acero se ha representado en color gris, y la flecha indica el sentido de giro.

El diámetro externo del cilindro interior es de 9,8 cm, y el diámetro interno del cilindro exterior es de 10 cm. Para reducir la fricción entre los dos, se ha introducido un aceite lubricante, que en la Figura 2.1 se muestra en color marrón, con una viscosidad en las condiciones de operación estacionarias de 10,8 cP.

De acuerdo con la teoría de fluidos, el fluido en contacto con la superficie de los cilindros se mueve a la misma velocidad que éstos. Así, el lubricante en contacto con la superficie interna del cilindro exterior se mantiene en reposo, mientras que el lubricante en contacto con la superficie externa del cilindro interior gira con su misma velocidad angular. De este modo, se

produce un perfil de velocidades entre las diferentes capas de lubricante en diferente posición radial, de acuerdo con la Ley de Newton para la viscosidad:

dr

dv

Fr =− μ ⋅ A ⋅ (2.1)

donde Fr representa la fuerza de rozamiento entre dos capas de fluido, A es el área de contacto entre dos capas de fluido (perpendicular al radio), v es la velocidad del fluido, r la

posición radial, y μ la viscosidad del lubricante. El signo

negativo indica que la velocidad del fluido disminuye a medida que aumenta el radio.

Una forma de resolver este problema es tomando n incrementos finitos en dirección radial, ∆ r , desde la posición radial en la superficie del cilindro interior ( r in, ω = 9 rad/s) hasta la posición radial en la superficie del cilindro exterior ( r ex, v ex = 0), con geometría cilíndrica. Los incrementos en los dos elementos extremos, como es habitual, se toman como la mitad: ∆ r /2, tal como se esquematiza en la Figura 2.2.

De acuerdo con esto, un balance de fuerzas aplicado a cualquier elemento intermedio i , y aplicando la ecuación (2.1), puede expresarse como:

Figura 2.1. Corte de las piezas cilíndricas, perpendicular al eje de giro

Figura 2.2. Esquema de los incrementos finitos radiales

CÁLCULO NUMÉRICO

Primer Parcial. 12/01/

Dpto. de Ingeniería Química

del País Vasco^ Universidad^ Euskal HerrikoUnibertsitatea

eman ta zabal zazu

Problema 3. Derivadas de funciones discretas con datos desigualmente espaciados

En las fórmulas de derivación basadas en aproximaciones por expansión de la serie de Taylor, el empleo del paso ( h ) requiere que los datos se encuentren uniformemente espaciados. Por el contrario, la información obtenida de forma empírica (es decir, los datos obtenidos mediante experimentos o estudios de campo) está con frecuencia agrupada en intervalos desiguales.

Una manera de manejar datos con espaciado desigual es mediante el ajuste de cada conjunto de tres puntos adyacentes con polinomios de Lagrange de segundo orden. Estos polinomios se pueden diferenciar analíticamente, y se obtiene la expresión de la ecuación (3.1), que se puede emplear para obtener derivadas:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( (^) i i )( (^) i i )

i i i i i i i

i i i i i i i

i i i (^) x x x x

x x x f x x x x x

x x x fx x x x x

x x x f x fx − −

• − +

−

− +

− + − − +

− 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1

donde x es el valor en el cual se requiere estimar la derivada. Aunque esta ecuación es, ciertamente, más complicada que las derivadas de las series de Taylor, tiene importantes ventajas. Primero, se puede usar para estimar la derivada en cualquier punto dentro de un intervalo limitado por los tres puntos. Segundo, esos tres puntos no tienen que estar uniformemente espaciados. Tercero, la derivada obtenida es de la misma exactitud que la de la serie de Taylor de primer orden centrada. Se pide:

A. Preparar un algoritmo que permita calcular la primera derivada en un punto determinado de una serie de datos con espaciado desigual. Tenga en cuenta que en la definición de la función se deben introducir como datos de entrada: el punto x donde se desea calcular la derivada, el vector X de los valores de x experimentales, y el vector Y de los valores de f ( x ) experimentales, tales que:

[ ]

[ ( 1 ) ( ) ( 1 )]

1 1 − +

− +

i i i

i i i Y fx fx f x

X x x x , ,

B. Utilizar ese algoritmo para calcular la velocidad de reacción de A → R transcurridos 0, 10 y 30 segundos, a partir de los valores de concentración de A ( C A ) frente al tiempo de reacción ( t ) obtenidos en el laboratorio, y que se muestran en la Tabla 3.1. Tabla 3.1. Datos experimentales de concentración de A con el tiempo de reacción t , s 0 2 6 12 24 36 C A , mol/L 0,03 0,02518 0,01906 0,01397 0,00911 0,