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EJERCICIO 3 DEL CAPITULO 12
Un monopolista puede producir con un coste medio (y marginal) constante de CMe = CM = 5 $.
Se enfrenta a una curva de demanda del mercado que dada por: Q = 53 – P.
a) Calcule el precio y la cantidad maximizadoras de los beneficios de este monopolista.
Calcule también sus beneficios.
Q= 53 −PP= 53 −Q y IT =P∗Q
IT =( 53 −Q) Q
IT = 53 Q−Q
2
ℑ= 53 − 2 Q y CM= 5
CM =ℑ 5 = 53 − 2 Q 2 Q= 48 Q= 24
Reemplazando :P= 53 −QP= 53 − 24 P= 29 $
Beneficios :π=IT −CT π= 24 ∗ 29 − 5 ∗ 24 π= 576 $
b) Suponga que entra una segunda empresa en el mercado. Sea Q 1
el nivel de producción
de la primera y Q 2
el nivel de producción de la segunda. Ahora la demanda del
mercado viene dada por Q 1
= 53 – P. Suponiendo que esta segunda empresa tiene
los mismos costes que la primera, formule los beneficios de cada una en función de Q 1
y Q 2
P= 53 −Q
1
−Q
2
Para la primera empresa
π
1
=P∗Q
1
−C∗Q
1
π
1
53 −Q
1
−Q
2
∗Q
1
− 5 ∗Q
1
π
1
= 53 Q
1
−Q
1
2
−Q
2
Q
1
− 5 Q
1
π
1
= 48 Q
1
−Q
1
2
−Q
2
Q
1
Para lasegunda empresa
π
2
=P∗Q
2
−C∗Q
2
π
2
53 −Q
1
−Q
2
∗Q
2
− 5 ∗Q
2
π
2
= 53 Q
2
−Q
1
Q
2
−Q
2
2
− 5 Q
2
π
2
= 48 Q
2
−Q
2
2
−Q
1
Q
2
c) Suponga (como en el modelo de Cournot) que cada empresa elige su nivel de
producción maximizador de los beneficios suponiendo que el de su competidora está
fijo. Halle la «curva de reacción» de cada empresa (es decir, la regla que genera el nivel
de producción deseado en función del nivel de su competidora).
En el modelo de Cournot cada empresa asume Q de la otra empresa como una constante.
Obteniendo la derivada de la función de beneficios del problema anterior obtenemos la curva
de reacción:
Primera empresa :
d π
1
d Q
1
d π
1
d Q
1
= 48 − 2 Q
1
−Q
2
48 − 2 Q
1
−Q
2
Q
1
Q
2
Segunda empresa
d π
2
d Q
2
d π
2
d Q
2
= 48 − 2 Q
2
−Q
1
48 − 2 Q
2
−Q
1
Q
2
Q
1
d) Calcule el equilibrio de Cournot (es decir, los valores de Q1 y Q2 con los que ambas
empresas obtienen los mejores resultados posibles, dado el nivel de producción de su
competidora). ¿Cuáles son el precio y los beneficios del mercado resultantes de cada
empresa?
SustituimosQ
2
en Q
1
Q
1
Q
2
Q
1
Q
1
Q
1
48 −Q
1
Q
1
48 −Q
1
4 Q
1
= 96 − 48 +Q
1
3 Q
1
= 48 Q
1
Reemplazando en Q
2
Q
2
Q
1
Q
2
= 24 − 8 Q
2
Para determinar el precio , sustituimos Q
1
y Q
2
en laecuación de demanda :
P= 53 −Q
1
−Q
2
P= 53 − 16 − 16 P= 21 $
Con esto podemos obtener elbeneficio de ambas empresas :
π
1
=P∗Q
1
−C∗Q
1
π
1
= 21 ∗ 16 − 5 ∗ 16 π
1
π
2
=P∗Q
2
−C∗Q
2
π
2
= 21 ∗ 16 − 5 ∗ 16 π
2
Por lo tanto elbeneficio total de la industria es :
π
1
2
e) Suponga que hay N empresas en la industria y que todas ellas tienen el mismo coste
marginal constante, CM = 5. Halle el equilibrio de Cournot. ¿Cuánto producirá cada
una, cuál será el precio de mercado y cuántos beneficios obtendrá cada una? Muestre
también que a medida que aumenta N, el precio de mercado se aproxima al precio que
estaría vigente en condiciones de competencia perfecta.
Sihay N empresas entonces:
P= 53 −
Q
1
+Q
2
+Q
3
+…+Q
N
Los beneficios de lai−esima empresa seran:π
i
=P(Q¿¿ i)−C (Q
i
π
i
[
Q
1
+Q
2
+Q
3
+…+Q
i− 1
+Q
i
+ Q
i+ 1
+…+Q
N
) ] (
Q
i
Q
i
π
i
53 −Q
1
−Q
2
−Q
3
−…−Q
i− 1
−Q
i
−Q
i+ 1
−…−Q
N
Q
i
− 5 Q
i
π
i
= 53 Q
i
−Q
1
Q
i
−Q
2
Q
i
−Q
3
Q
i
−…−Q
i− 1
Q
i
−Q
i
2
−Q
i + 1
Q
i
−…−Q
N
Q
i
− 5 Q
i
π
i
= 48 Q
i
−Q
1
Q
i
−Q
2
Q
i
−Q
3
Q
i
−…−Q
i− 1
Q
i
−Q
i
2
−Q
i+ 1
Q
i
−…−Q
N
Q
i
Luego derivamosla función de beneficios
d π
i
d Q
i
= 48 −Q
1
−Q
2
−Q
3
−…−Q
i− 1
− 2 Q
i
−Q
i+ 1
−…−Q
N
48 −(Q
¿ 1 + Q
2
+Q
3
+ …+Q
i− 1
+Q
i + 1
+ …+Q
N
)= 2 Q
i
Q
1
Q
1
+Q
2
+Q
3
+…+Q
i− 1
+Q
i+ 1
+…+ Q
N
