pdf diapositivas de materiales, Diapositivas de Materiales

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INDUCCI ´ON

INTRODUCCI ´ON

En esta parte consideraremos como el conjunto de los n´umeros naturales:

N = { 1 , 2 , 3 , ....}

EJEMPLO

Ejemplo Probar que para todo n ∈ N se cumple

r + r^2 + .... + rn^ =

r − rn+^1 1 − r

r 6 = 1

Soluci´on Paso 1. Verificamos que se cumple para P 1 , es decir verificamos que se cumple para n = 1 , r − r^2 1 − r

r( 1 − r) 1 − r

= r

Paso 2. Suponemos que se cumple para Pk, es decir suponemos que se cumple para n = k r + r^2 + .... + rk^ =

r − rk+^1 1 − r

Paso 3. Ahora, probaremos que se cumple para Pk+ 1 , es decir probaremos que para n = k + 1 se cumple

r + r^2 + .... + rk+^1 =

r − rk+^2 1 − r

r + r^2 + .... + rk^ + rk+^1 = (r + r^2 + ... + rk) + rk+^1

=

r − rk+^1 1 − r

• rk+^1

r − rk+^1 + rk+^1 ( 1 − r) 1 − r

= r − rk+^2 1 − r

r 6 = 1

Paso 3. Ahora, probaremos que se cumple para Pk+ 1 , es decir probaremos que para n = k + 1 se cumple

( 1 + h)k+^1 ≥ 1 + (k + 1 )h

( 1 + h)k+^1 = ( 1 + h)k( 1 + h) ≥ ( 1 + kh)( 1 + h) = 1 + kh + h + kh^2 = 1 + ( 1 + k)h + kh^2 ≥ 1 + (k + 1 )h

NOTA

El paso base P 1 es muy importante. Porque por ejemplo queremos probar

n + 1 = n para todo n ∈ N,

que es claramente falso. Sin embargo si asumimos que Pk es verdadero, es decir que se cumple para n = k, obtenemos que Pk+ 1 se cumple. Por ello es importante que se cumpla para al menos un n 0 < n fijo, en este caso n 0 = 1.

Paso 3. Ahora, probaremos que se cumple para Pk+ 1 , es decir probaremos que para n = k + 1 se cumple

f (k + 1 ) = (k)!

f (k + 1 ) = kf (k) = k(k − 1 )! = (k)!

INDUCCI ´ON Y DEDUCCI ´ON

a.-) Razonamos mediante inducci´on cuando utilizamos evidencia que se deduce de ejemplos particulares para obtener conclusiones acerca de principios generales. b.-) Razonamos mediante deducci´on cuando razonamos de principios generales para obtener conclusiones acerca de casos espec´ıficos.