¡Descarga Expresiones Algebraicas Racionales: Ecuaciones y Funciones y más Transcripciones en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Universidad Nacional Autónoma de Honduras
Escuela de Matemática y Ciencias de la Computación
Departamento de Matemática Pura
Matemática I - MM110 – Planificación – Periodo III – 2020
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
Septiembre
Inicio de Clases
Expresiones algebraicas
Terminología y clasificación de
expresiones algebraicas
Expresiones algebraicas
Operaciones con polinomios
suma y resta
Presentación del curso y 11
lineamientos generales.
FERIADO 14 FERIADO 15
Expresiones Algebraicas
Operaciones con polinomios
multiplicación y productos notables
Expresiones Algebraicas
Operaciones con polinomios
multiplicación y productos
notables
Expresiones Algebraicas
Operaciones con polinomios:
división
Expresiones Algebraicas
Factorización
Expresiones Algebraicas
Factorización
Expresiones Algebraicas Racionales
simplificación y operaciones
Expresiones Algebraicas Racionales
simplificación y operaciones
Expresiones Algebraicas Racionales:
Racionalización
Expresiones Algebraicas Racionales:
Racionalización
28 Ecuación de Grado I 29 Ecuación de Grado II 30
Octubre
1 FERIADO 2
Ecuación de Grado II
División sintética
Teorema del residuo
5 Ecuación de grado mayor que 2 6 Ecuación Racional 7 Ecuación con Radical 8 Ecuación con Valor Absoluto 9
FERIADO 12 Examen I 13 Inecuación lineal 14 FERIADO 15 Inecuación cuadrática 16
Inecuación de grado mayor que 2 17 Inecuación Racional 18 Inecuación con Valor Absoluto 19 Plano cartesiano 20 FERIADO 21
Relaciones y funciones 24 Relaciones y funciones 25 Función lineal 26 Ecuación de la recta 27 Geometría de la recta 28
Noviembre
2 Función cuadrática 3 Función cuadrática 4 Función Racional 5 Función Racional 6
Sistemas lineales de 2x
Función con valor absoluto 9
Examen II 10
Función Radical 11 Operaciones con funciones 12 Operaciones con funciones 13
Inversa de una Función 16 Inversa de una Función 17 Potencias y Logaritmos 18 Ecuaciones Exponenciales 19 Ecuaciones Exponenciales 20
Ecuaciones Logarítmicas 23 Ecuaciones Logarítmicas 24 Función Exponencial 25 Función Exponencial 26 Función Logarítmica 27
Función Logarítmica 31
Diciembre
Función Mayor Entero y Menor 1 Función Seccionada 2 Función Seccionada 3 Examen III 4
Entero
7 8 Examen de Reposición 9 10 11
14 Registro de calificaciones 15 Registro de calificaciones 16 Registro de calificaciones 17 18
Fechas Importantes: Comentarios:
Inicio de periodo: lunes 7 de septiembre de 2020.
Inicio de clases: miércoles 9 de septiembre de 2020.
Fechas de exámenes: 1.- martes 13 de octubre de 2020.
2.- martes 10 de noviembre de agosto de 2020.
3.- viernes 4 de diciembre de 2020.
Reposición.- miércoles 9 de diciembre de 2020.
Finalización de clases: 12 de diciembre de 2020.
Registro de calificaciones: martes 15, miércoles 16 y jueves 17 de diciembre de 2020.
Finalización de periodo: viernes 18 de diciembre de 2020.
•La forma de evaluación será 3 exámenes parciales con un valor de 50% c/u y un acumulativo de 50% parcial
que queda a criterio del profesor su distribución (Tareas, pruebas, investigaciones, etc.), la calificación final es
un promedio simple de la suma de las tres notas parciales entre tres.
- La planificación muestra los temas que se deben cubrir para determinado parcial, que a criterio del docente
los recurso y actividades para el desarrollo de los temas.
•Uso del correo institucional, para la comunicación entre docente – estudiante y vice versa, así como para la
comunicaciones entre docentes, ya que es un medio oficial de comunicación que provee la universidad.
•El pago de reposición estará habilitad desde el 1 de diciembre hasta el 16 de diciembre de 2020.
•Cancelación excepcional por coordinador de carrera de 12 de octubre a 4 de diciembre de 2020.
Nota : Bibliografía: Recursos:
Parcial I Semanas:3 Álgebra y Trigonometría con Geometría analítica - 12ª Edición - Swokowski & Cole - [SW]
Precálculo – 6ª edición – J. Stewart - [STW]
Algebra - Baldor – 1era reimpresión 2008 - [AB]
Algebra Intermedia – Allen R. Angel – [AA]
Precálculo – 6ª edición – G. Montano - [GM]
https://www.geogebra.org
https://www.wolframalpha.com/
https://www.symbolab.com/
Parcial II Semanas:
Parcial III Semanas:
Lecturas recomendada por parcial:
Primer Parcial:
Números Reales:
[AA] Capitulo 1- Secciones: 1.2-1.
[SW] Capitulo 1 – Secciones: 1.1, 1.2.
[STW] Capitulo 1 – Secciones: 1.1, 1.
Expresiones Algebraicas:
[AB] Capitulo Preliminares – sección 17 a la 26
[SW] Capitulo 1 – 1.
[STW] Capitulo 1 – 1.
Expresiones Algebraicas - Operaciones:
[AB] Capítulos I al VII.
[SW] Capitulo 1 – 1.
[STW] Capitulo 1 – 1.
Expresiones Algebraicas - Factorización:
[AB] Capitulo X.
[AA] Capitulo 5 – 5.4 – 5.
[SW] Capitulo 1 – 1.
Simplificaciones de Expresiones Algebraicas Racionales:
[AB] Capítulos XI al XIV.
[AA] Capitulo 6 – Secciones: 6.1.2, 6.2, 6.3.
[SW] Capitulo 1 – Secciones: 1.
[STW] Capitulo 1 – Secciones: 1.
Expresiones Algebraicas Racionales - Racionalización
Ecuación Lineal:
[AB] Capitulo VII, XVI sección: 217
[AA] Capitulo 2 – Secciones: 2.
[SW] Capitulo 2 – Secciones: 2.
[STW] Capitulo 1- Secciones: 1.
Ecuación Cuadrática:
[AB] Capitulo XXXIII sección: 426 a 436.
[AA] - Capitulo 8 – Secciones: 8.1 , 8.
[SW] – Capitulo 2 – Secciones: 2.
[STW] – Capitulo 1 – Secciones: 1.
Teorema del residuo
Teorema de posibles raíces racionales y la división sintética
Ecuación de grado mayor que 2:
[SW] Capitulo 4 secciones: 4.2, 4.3 y 4.
Ecuación Racional:
[AB] Capitulo XV sección 216
[AA] Capitulo 6 Sección: 6.
[SW] Capitulo 2 sección: 2.
[STW] Capitulo 1- Secciones: 1.
Ecuación con Radical:
[AA] Capitulo 7 – Sección: 7.
[SW] Capitulo 2 sección 2.
Ecuación con Valor Absoluto:
[AA] Capitulo 2 – Sección: 2.
[SW] Capitulo 2 sección 2.
[STW] Capitulo 1 sección 1.
Segundo Parcial: Tercer Parcial:
Inecuación lineal
Inecuación cuadrática Inecuación de grado mayor
que 2
Inecuación Racional
Inecuación con valor absoluto :
[AA] Capitulo 2 sección 2.5, 2.
[STW] Capitulo 1 sección 1.
[SW] Capitulo 2 secciones 2.6 , 2.
Plano cartesiano:
[AA] Capitulo 3 Sección 3.
[SW] Capitulo 3 secciones 3.1 , 3.
[STW] Capitulo 1 sección: 1.
Relaciones y funciones:
[SW] Capitulo 3 sección 3.
[STW] Capitulo 2 sección 2.
Función lineal y ecuación de la recta
[STW] Capitulo 1 sección 1.
[SW] Capitulo 3 sección 3.
Sistemas lineales de 2x2:
[AB] Capitulo XXIV
[AA] Capitulo 4 sección 4.
[SW] Capitulo 9 sección 9.
[STW] Capitulo 10 sección 10.
Función cuadrática:
[SW] Capitulo 3 sección 3.
[STW] Capitulo 3 sección 3.
Función de grado mayor que 2:
[SW] Capitulo 4 sección 4.
Función Racional:
[SW] Capitulo 3 sección 3.
[STW] Capitulo 3 sección 3.
Función con valor absoluto
[STW] Capitulo 2 sección 2.
[GM] Capitulo 6 – Sección 6.
Función Seccionada
[STW] Capitulo 2 sección 2.
[GM] Capitulo 6 – Sección 6.
Función Mayor Entero
[STW] Capitulo 2 sección 2.
[GM] Capitulo 6 – Sección 6.
Función Radical
[STW] Capitulo 2 sección 2.
[GM] Capitulo 6 – Sección 6.
Operaciones con funciones:
[SW] Capitulo 3 sección 3.
[STW] Capitulo 2 sección 2.
Inversa de una Función:
[AA] Capitulo 9 sección 9.
[SW] Capitulo 5 Sección 5.
[STW] Capitulo 2 sección 2.
Potencias Reales y Logaritmos:
[AB] Capitulo XXX y XXXVIII
[AA] Capitulo 9 sección 9.
[SW] Capitulo 5 sección 5.
[STW] Capitulo 4 sección 4.
Ecuaciones Exponenciales y Ecuaciones Logarítmicas:
[AA] Capitulo 9 sección 9.
[SW] Capitulo 5 sección 5.
[STW] Capitulo 4 Sección 4.
Función Exponencial y Función Logarítmica:
[AA] Capitulo 9 sección 9.2, 9.3, 9.
[SW] Capitulo 5 sección 5.2, 5.
[STW] Capitulo 4 secciones 4.1 - 4.
5.- Racionalización de una expresión algebraica racional:
Caso monomio a la raíz n-esíma
a)
𝟏
√
𝐱
𝐧
𝐱
𝟏−
𝟏
𝐧
𝐱
𝟏−
𝟏
𝐧
𝐱
𝟏−
𝟏
𝐧
𝐱
Diferencia de cuadrados
b)
c)
Suma y diferencia de cubos
d)
𝟏
√
𝐱
𝟑
√
𝐲
𝟑
√ 𝐱
𝟐
𝟑
− √
𝐱𝐲
𝟑
𝟐
𝟑
√
𝐱
𝟐
𝟑
− √
𝐱𝐲
𝟑
√ 𝐲
𝟐
𝟑
√ 𝐱
𝟐
𝟑
− √
𝐱𝐲
𝟑
𝟐
𝟑
𝐱+𝐲
e)
𝟏
√𝐱
𝟑
− √𝐲
𝟑
√ 𝐱
𝟐
𝟑
√
𝐱𝐲
𝟑
𝟐
𝟑
√ 𝐱
𝟐
𝟑
√
𝐱𝐲
𝟑
𝟐
𝟑
√ 𝐱
𝟐
𝟑
√
𝐱𝐲
𝟑
𝟐
𝟑
𝐱−𝐲
6.- Ecuación de Grado 1:
Definición del concepto de ecuación.
Axiomas de igualdad:
- 𝐚 = 𝐚 (reflexiva)
- 𝐚 = 𝐛 entonces 𝐛 = 𝐚 (simetría)
- Si 𝐚 = 𝐛 y 𝐛 = 𝐜 entonces 𝐚 = 𝐜 (transitiva)
Leyes de igualdad:
- 𝐚 = 𝐛 entonces 𝐚 + 𝐜 = 𝐛 + 𝐜
- 𝐚 = 𝐛 entonces 𝐚𝐜 = 𝐛𝐜
Definir la ecuación lineal general 𝐚𝐱 + 𝐛 = 𝟎
Método de resolución utilizando leyes de igualdad. (𝐱 = −
𝐛
𝐚
Concepto de conjunto solución.
Comprobación de solución por sustitución.
7.- Ecuación de Grado 2:
Definir la ecuación 𝐚𝐱
𝟐
Utilizar el método de completación de cuadrados como método de resolución:
a) 𝐚𝐱
𝟐
𝐛
𝟐√𝐚
𝟐
𝐛
𝟐
𝟒𝐚
Concluir la formula general y aplicar como método de resolución:
b) 𝐱 =
−𝐛±
√ 𝐛
𝟐
−𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
Uso del discriminante, sea 𝚫 = 𝒃
𝟐
− 𝟒𝒂𝒄 y si 𝚫 ≥ 𝟎 entonces 𝐱
𝟏
𝟐
∈ ℝ y si 𝚫 < 𝟎 entonces 𝒙
𝟏
𝟐
8.- Teorema del residuo, Teorema de posibles raíces racionales y la división sintética:
a. Método de Ruffini. (División sintética)
b. Teorema del residuo: si un polinomio 𝐏(𝐱) se divide entre 𝐱 − 𝐜 entonces el residuo es
c. Teorema del factor: un polinomio 𝐏(𝐱) tiene como factor 𝐱 − 𝐜 si y solo si 𝐏(𝐜) = 𝟎.
d. Teorema de la raíz racional: un polinomio 𝐏(𝐱) = 𝐚
𝐧
𝐧
𝐧−𝟏
𝐧−𝟏
𝟏
𝟎
con
coeficientes enteros donde 𝐚
𝐧
y 𝒂
𝟎
distintos de cero, sea 𝒑: 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒂
𝟎
y
𝐧
entonces una lista de valores con la forma 𝐱 = ±
𝐩
𝐪
son posibles
cero del polinomio.
9.- Ecuación de grado mayor que 2:
Definir la ecuación 𝐤(𝐱 − 𝐚 𝐧
𝐧−𝟏
𝟏
𝟎
𝒏
𝒏
𝒏−𝟏
𝒏−𝟏
𝟏
𝟎
Resolución utilizando el teorema de las posibles raíces racionales.
10.- Ecuación racional:
Definir la ecuación
𝐏(𝐱)
𝐐(𝐱)
𝐌(𝐱)
𝐓(𝐱)
, donde 𝐏
son polinomios y
Definir concepto de valor prohibido, 𝐕. 𝐏 =
= 𝟎 ó 𝐓
11.- Ecuación radical:
Definir la ecuación con radical de la forma √
𝐧
= 𝐤 donde 𝐚 ≠ 𝟎 , 𝒌 ≥ 𝟎 𝒔𝒊 𝒏 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓 y
Definir la ecuación con radical de la forma √𝐚𝐱 + 𝐛 ± √𝐜𝐱 + 𝐝 = 𝐤 donde 𝐚 ≠ 𝟎 y 𝐜 ≠ 𝟎
Método de resolución mediante potencias iguales al índice radical.
1 2.-Ecuacion con valor absoluto:
Definir la ecuación de la forma 𝐚|𝐛𝐱 + 𝐜| = 𝐤
Resolución mediante el uso de la definición y de las propiedades del valor absoluto.
a) |𝐱| = {
Propiedades
b) |𝐚𝐛| = |𝐚||𝐛|
c) |
𝐚
𝐛
|𝐚|
|𝐛|
Segundo Parcial
1.- Inecuación Lineal:
Definir la siguiente Inecuación: 𝐚𝐱 + 𝐛 < 𝐜𝐱 + 𝐝
Establecer método de resolución mediante el uso de las propiedades de las relaciones
de orden:
I. 𝐚 < 𝐛 ⇒ 𝐚 + 𝐜 < 𝐛 + 𝐜
II. 𝐚 < 𝐛 ⇒ 𝐚𝐜 < 𝐛𝐜 𝐬𝐢 𝐜 > 𝟎
III. 𝐚 < 𝐛 ⇒ 𝐚𝐜 > 𝐛𝐜 𝐬𝐢 𝐜 < 𝟎
IV. 𝐚 < 𝐛 ⇒ 𝐚 − 𝐛 < 𝟎
V. 𝐚 < 𝐛 ⇒
𝟏
𝐚
𝟏
𝐛
Definir el conjunto solución para una Inecuación (Utilizando notación de intervalo)
Definir el siguiente tipo de Inecuación: 𝐚𝐱 + 𝐛 < 𝐜𝐱 + 𝐝 < 𝐞𝐱 + 𝐟
Establecer método de resolución considerando 𝐚𝐱 + 𝐛 < 𝐜𝐱 + 𝐝 y 𝐜𝐱 + 𝐝 < 𝐞𝐱 + 𝐟
Considerar las Inecuaciones utilizando los distintos operadores de relación de orden.
2.- Inecuación Cuadrática:
Definir la siguiente Inecuación:
a) 𝐚𝐱
𝟐
Utilizar el discriminante 𝚫 = 𝐛
𝟐
− 𝟒𝐚𝐜 para determinar la forma a llevar del problema:
I. Si 𝚫 ≥ 𝟎 entonces llevar a la forma: 𝐚 (𝐱 −
−𝐛+√𝚫
𝟐𝐚
−𝐛−√𝚫
𝟐𝐚
) > 𝟎 por factorización con formula
general.
II. Si 𝚫 < 𝟎 entonces lleva a la forma: ( √
𝐛
𝟐 √
𝐚
𝟐
𝐛
𝟐
𝟒𝐚
- 𝐜 > 𝟎 por completación de cuadrados.
Establecer el uso de la tabla de variación de signos para determinar el conjunto solución.
Considerar las Inecuaciones utilizando distintos operadores de relación de orden.
3.- Inecuación de grado mayor que 2:
Definir la siguiente Inecuación:
a) 𝒌
𝒏
𝒏−𝟏
𝟎
Definir la siguiente Inecuación:
b) 𝒌
𝒏
𝟎
𝟐
𝟐
Utilizar la tabla de variación de signos para determinar el conjunto solución.
Considerar las Inecuaciones utilizando los distintos operadores de relación de orden.
4.- Inecuación Racional:
Definir la siguiente Inecuación:
a)
𝐏(𝐱)
𝐐(𝐱)
> 𝟎 donde 𝑸(𝒙) ≠ 𝟎
Establecer el conjunto de valores prohibidos 𝐕. 𝐏 =
Utilizar la tabla de variación de signos para determinar el conjunto solución.
Considerar las Inecuaciones utilizando los distintos operadores de relación de orden.
5.- Inecuación con Valor Absoluto:
Definir la siguiente Inecuación:
a) 𝐤|𝐚𝐱 + 𝐛| + 𝐡 > 𝐦
Utilizar las siguientes propiedades para la resolución de la Inecuación:
I.
II.
Utilizar la tabla de variación de signos para determinar el conjunto solución.
Considerar las Inecuaciones utilizando los distintos operadores de relación de orden.
6.- Plano Cartesiano, Distancia entre dos puntos y punto medio:
Definir el concepto de par ordenado:
donde 𝐱 ∈ 𝐀 e 𝐲 ∈ 𝐁
Definir el producto cartesiano entre dos conjuntos: 𝐀 × 𝐁 =
Definir el sistema de coordenadas rectangulares (plano cartesiano) y la representación de un par ordenado
en coordenadas rectangulares.
Definir la distancia entre dos puntos en ℝ
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
Definir el punto medio entre dos punto dados en ℝ
𝟐
𝐱
𝟏
+𝐱
𝟐
𝟐
𝐲
𝟏
+𝐲
𝟐
𝟐
7.- Relaciones y Funciones:
Definir el concepto de relación.
Definir el concepto de función.
Definir los conceptos de dominio, codominio y rango.
Representación de relación y funciones en sistema de coordenadas rectangulares.
Criterio de la recta vertical.
Considerar los conceptos para casos discretos y continuos
Analizar los conceptos de función creciente, decreciente y constante, intercepto con los
ejes cartesianos.
Definir los conceptos de función par e impar, simetría con respecto a eje vertical y con
respecto al origen.
8.- Función Lineal:
Definir la función 𝒇
= 𝒂𝒙 + 𝒃 , considerando los casos 𝐚 > 𝟎, 𝐚 < 𝟎 y 𝐚 = 𝟎.
Si 𝐚 ≠ 𝟎 entonces:
Dominio: ℝ Rango: ℝ
Intercepto con los ejes cartesianos: 𝐈
𝐲
𝐱
𝐛
𝐚
Si 𝐚 = 𝟎 entonces:
Dominio: ℝ Rango: {𝒃}
Intercepto con los ejes cartesianos: 𝐈
𝐲
𝐱
: ℝ 𝐬𝐢 𝐛 = 𝟎 si no 𝐈
𝐱
Establecer que 𝐟
= 𝐚𝐱 + 𝐛 es creciente si 𝐚 > 𝟎 , decreciente si 𝐚 < 𝟎 y constante si 𝐚 = 𝟎.
Gráfico de la función señalando puntos importantes.
12.- Función con Valor Absoluto:
Definir la función: 𝒇
Dominio: ℝ
Si 𝐚 > 𝟎 entonces: Rango: ]𝐝, +∞]
Si 𝐚 < 𝟎 entonces: Rango: ] − ∞, 𝐝]
Vértice: (−
𝐜
𝐛
Intercepto con ejes cartesianos:
𝐲
Si −
𝐝
𝐚
≥ 𝟎 entonces 𝐈
𝐱
𝒂𝒄+𝒅
𝒂𝒃
𝒂𝒄−𝒅
𝒂𝒃
Si −
𝐝
𝐚
< 𝟎 entonces: 𝐈
𝐱
Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Si 𝐚 > 𝟎 entonces: Crecimiento: ] −
𝐜
𝐛
, +∞[ Decrecimiento: ] − ∞, −
𝐜
𝐛
[
Si 𝐚 < 𝟎 entonces: Crecimiento: ] − ∞, −
𝐜
𝐛
[ Decrecimiento: ] −
𝐜
𝐛
, +∞[
Tercer Parcial
1.- Función Radical:
Definir la función: 𝐟
Dominio:
si 𝐛 > 𝟎 entonces 𝐃
𝐟
𝐜
𝐛
} ; si 𝐛 < 𝟎 entonces 𝐃
𝐟
𝐜
𝐛
Rango:
Si 𝐚 > 𝟎 entonces 𝐑𝐠
𝐟
= [𝐝, +∞[ ; si 𝐚 < 𝟎 entonces 𝐑𝐠
𝐟
=] − ∞, 𝐝]
Intercepto con ejes cartesianos:
Si 𝟎 ∈ 𝐃
𝐟
entonces 𝐈
𝐲
𝐜 + 𝐝); si 𝟎 ∉ 𝐃
𝐟
entonces 𝐈
𝐲
Si −
𝐝
𝐚
≥ 𝟎 entonces 𝐈
𝐱
𝐝
𝟐
−𝐜𝐚
𝟐
𝐛𝐚
𝟐
, 𝟎); si −
𝐝
𝐚
< 𝟎 entonces 𝐈
𝐱
Gráfico de la función señalando puntos importantes.
2 .- Operaciones Con Funciones:
Definir las operaciones entre funciones:
Sean 𝐟: 𝐀 → 𝐁 y 𝐠: 𝐂 → 𝐃 donde 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫 ⊆ ℝ
donde 𝐃
𝐌
𝐟±𝐠
𝐟
𝐠
𝐌(𝐱) = (𝐟 ∗ 𝐠)(𝐱) = 𝐟(𝐱) ∗ 𝐠(𝐱) donde 𝐃
𝐌
𝐟∗𝐠
𝐟
𝐠
𝐟
( 𝐱
)
𝐠
( 𝐱
)
, 𝐠(𝐱) ≠ 𝟎 donde 𝐃
𝐌
𝐟
𝐠
𝐟
𝐠
Sea 𝐟: 𝐂 → 𝐁 y 𝐠: 𝐀 → 𝐂 donde 𝑨, 𝑩, 𝑪 ⊆ ℝ definimos la composición entre 𝐟 y 𝐠
Tomar en consideración los casos discretos y continuos para las operaciones.
3.- Inversa de una Función:
Definir el concepto de función inyectiva o uno a uno:
Sea 𝐟: 𝐀 → 𝐁 una función a la que llamaremos inyectiva, si las imágenes 𝐟(𝐚) ∈ 𝐁 tienen
exactamente una sola preimagen asociada 𝐚 ∈ 𝐀.
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
Comentar:
*.- Para probar que una función no es inyectiva basta hallar dos valores distintos del
dominio, cuyas imágenes en el rango son iguales.
Definir el concepto de una función sobreyectiva:
Sea 𝐟: 𝐀 → 𝐁 una función a la que llamaremos sobreyectiva, si para cada elemento del
codominio existe al menos una preimagen con la que se relacione a través de 𝐟.
Definir el concepto de una función biyectiva:
Sea 𝐟: 𝐀 → 𝐁 una función biyectiva, si es una función inyectiva y sobreyectiva.
Definimos la función identidad:
Sea 𝐈
𝐀
: 𝐀 → 𝐀 definida como 𝐈
𝐀
(𝐚) = 𝐚, ∀𝐚 ∈ 𝐀 es llamada la función identidad sobre
Definimos la igualdad entre funciones:
Sean 𝐟, 𝐠: 𝐀 → 𝐁, decimos que 𝐟 es igual a 𝐠 si ∀𝐚 ∈ 𝐀 , 𝐟(𝐚) = 𝐠(𝐚) y lo denotamos por
*.- Inversa de una Función:
Definir el concepto de relación inversa:
Sea 𝐀, 𝐁 conjuntos sobre los que se define la relación 𝐑 del conjunto 𝐀 al 𝐁, entonces decimos que el conjunto
de relación inversa definida del conjunto 𝐁 al 𝐀 denotado por 𝐑
𝐜
y definida por 𝐑
𝐜
Definimos invertibilidad de una función:
Si 𝐟: 𝐀 → 𝐁, decimos que es invertible si existe 𝐠: 𝐁 → 𝐀 tal que 𝐠 ∘ 𝐟 = 𝐈
𝐀
y 𝐟 ∘ 𝐠 = 𝐈
𝐁
y además decimos que
la función 𝐠 es única.
Establecer que una función es invertible solamente si esta es biyectiva, por lo que no toda función es
invertible.
Una vez fundamentado el concepto de función inversa establecer los medios algebraicos para determinarla.
Establecer el criterio de la recta horizontal para determinar si una función es invertible.
Tomar en consideración los casos discretos y continuos para determinar la función inversa.
4.- Potencias y Logaritmos:
Definir el 𝐿𝑜𝑔
𝑎
Sea 𝐚 ∈ ℝ
∧ 𝐚 ≠ 𝟏 , el logaritmo de 𝐱 de base 𝐚 está definido por:
𝐚
𝐲
Para todo 𝐱 > 𝟎 y todo número real 𝐲.
Definir el logaritmo de base común:
Se define el logaritmo de base común 𝐥𝐨𝐠( 𝐱) = 𝐥𝐨𝐠
𝟏𝟎
Definición el logaritmo de base natural:
Se define el logaritmo de base natural 𝑳𝒐𝒈
𝒆
En base a la definición del logaritmo de base 𝐚:
𝐚
𝐚
Establecer que la función logaritmo de base 𝐚, es biyectiva y por lo tanto invertible,
luego establecer la función exponencial como su inversa. Lo que permite establecer:
𝐋𝐨𝐠
𝐚
( 𝐚
𝐱
) = 𝐱 ; 𝐚
𝐋𝐨𝐠
𝐚
( 𝐱
)
= 𝐱
Establezca las propiedades de los logaritmos:
Sean 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ
entonces:
𝐚
𝐚
𝐚
𝐚
𝐱
𝐲
𝐚
𝐚
𝒂
𝒌
𝒂
Considerar el uso de calculadora para la aproximación de valor de logaritmos.
7.- Función Exponencial:
Definir la función: 𝐟
𝐛𝐱+𝐜
- 𝐝 donde 𝒌, 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ ; 𝐚 > 𝟎 ; 𝒌, 𝒃 ≠ 𝟎
Dominio: ℝ
Rango:
Si 𝐤 > 𝟎 y 𝐛 > 𝟎 entonces: 𝐑𝐠: ]𝐝, +∞ [
Si 𝐤 < 𝟎 y 𝐛 > 𝟎 entonces: 𝐑𝐠: ] − ∞, 𝐝[
Si 𝐤 > 𝟎 y 𝐛 < 𝟎 entonces: 𝐑𝐠: ]𝐝, +∞[
Si 𝐤 < 𝟎 y 𝐛 < 𝟎 entonces: 𝐑𝐠: ] − ∞, 𝐝[
Asíntota Horizontal: 𝐲 = 𝐝
Intercepto con ejes cartesianos:
𝐲
𝐜
Si −
𝐝
𝐤
> 𝟎 entonces 𝐈
𝐱
𝐋𝐨𝐠
𝐚
(−
𝐝
𝐤
)−𝐜
𝐛
, 𝟎) ; si −
𝐝
𝐤
≤ 𝟎 entonces: 𝐈
𝐱
Monotonía:
Si 𝐤 > 𝟎 y 𝐛 > 𝟎 entonces es monótona creciente en ℝ
Si 𝐤 < 𝟎 y 𝐛 > 𝟎 entonces es monótona decreciente en ℝ
Si 𝐤 > 𝟎 y 𝐛 < 𝟎 entonces es monótona decreciente en ℝ
Si 𝐤 < 𝟎 y 𝐛 < 𝟎 entonces es monótona creciente en ℝ
8.- Función Logarítmica:
Definir la función: 𝐟
𝐚
- 𝐝 donde 𝐤, 𝐚, 𝐛, 𝐜 ∈ ℝ ;𝐚 > 𝟎 ∧ 𝐚 ≠ 𝟏 ; 𝐤, 𝐛, 𝐜 ∈ ℝ ; 𝐤, 𝐛 ≠ 𝟎
Dominio:
Si 𝐛 > 𝟎 entonces 𝐃
𝐟
𝐜
𝐛
Si 𝐛 < 𝟎 entonces 𝐃
𝐟
𝐜
𝐛
Asíntota Vertical: 𝐱 = −
𝐜
𝐛
Rango: ℝ
Intercepto con ejes cartesianos:
Si 𝟎 ∈ 𝐃
𝐟
entonces 𝐈
𝐲
𝐚
(𝐜) + 𝐝) ; si 𝟎 ∉ 𝐃
𝐟
entonces 𝐈
𝐲
𝐱
𝐚
−
𝐝
𝐤 −𝐜
𝐛
Monotonía:
Si 𝐤 > 𝟎 y 𝐛 > 𝟎 entonces es monótona creciente en 𝐃
𝐟
Si 𝐤 < 𝟎 y 𝐛 > 𝟎 entonces es monótona decreciente en 𝐃
𝐟
Si 𝐤 > 𝟎 y 𝐛 < 𝟎 entonces es monótona decreciente en 𝐃
𝐟
Si 𝐤 < 𝟎 y 𝐛 < 𝟎 entonces es monótona creciente en 𝐃
𝐟
5.- Ecuación Exponencial:
Definir la ecuación: 𝐚
𝐛𝐱+𝐜
= 𝐤 donde 𝐚, 𝐛, 𝐜, 𝐤 ∈ ℝ ; 𝐚, 𝐤 > 𝟎 ;𝐛 ≠ 𝟎
Utilizar la definición y propiedades de los logaritmos para la resolución de la ecuación
exponencial.
Enunciar el teorema de cambio de base:
Sea 𝐱 > 𝟎 y 𝐚, 𝐛 ∈ ℝ
; 𝐚, 𝐛 ≠ 𝟏 entonces 𝐋𝐨𝐠
𝐚
𝐋𝐨𝐠
𝐛
(𝐱)
𝐋𝐨𝐠
𝐛
(𝐚)
Sustitución de valores en comprobación de solución obtenida.
6.- Ecuación Logarítmica:
Definir la ecuación: 𝐋𝐨𝐠
𝐚
= 𝒌 donde 𝐚, 𝐛, 𝐜, 𝐤 ∈ ℝ y 𝐚 > 𝟎 ∧ 𝐚 ≠ 𝟏; 𝐛 ≠ 𝟎
Definir la ecuación: 𝐋𝐨𝐠
𝐚𝐱+𝐛
= 𝐤 donde 𝐚, 𝐛, 𝐜, 𝐝 ∈ ℝ y 𝐚, 𝐜 ≠ 𝟎 ; 𝐤 ∈ ℚ
Definir la ecuación: 𝐋𝐨𝐠
𝐤
𝟐
- 𝐛𝐱 + 𝐜) = 𝐝 done 𝐚, 𝐛, 𝐜, 𝐝, 𝐤 ∈ ℝ y 𝐚 ≠ 𝟎; 𝐤 > 𝟎; 𝐤 ≠ 𝟏
Utilizar la definición y propiedades de los logaritmos para la resolución de la ecuación
logarítmica.
Sustitución de valores en comprobación de solución obtenida.
