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Técnicas Experimentales Básicas
Capítulo 5. Análisis Dimensional.
La planificación experimental es fundamental en la investigación científica. A la misma
puede ayudar el conocimiento del Análisis Dimensional. Esta herramienta sencilla, pero
que impregna toda la Física, se basa en los conceptos de medida de una magnitud física
y de las dimensiones asociadas con ella, una vez fijada una base de magnitudes
fundamentales para una determinada teoría física..
5.1. Introducción.
Es conocido que en Física las magnitudes tienen dimensiones. Así decimos que [v]=LT -1^ y
[F]=MLT -2^. El concepto de dimensión se debe a Fourier que, en su obra “Théorie analytique de la
chaleur”, dice: “Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o constante, tiene
una dimensión que le es propia, y que los términos de una no podrían ser comparados si no
tuviesen el mismo exponente de dimensiones”. Es decir, las ecuaciones deben de ser homogéneas
dimensionalmente hablando. Esta es la idea que subyace en el fondo de todo el Análisis Dimensional y es lo que hemos oído alguna vez cuando nos dicen que no se pueden sumar peras con manzanas; aunque esto no es estrictamente cierto, puesto que 3 peras y 2 manzanas son 5 frutas.
Del concepto de magnitud, dimensión y homogeneidad de las ecuaciones físicas se ocupa el llamado Análisis Dimensional.
El Análisis Dimensional tiene aplicaciones en:
- Detección de errores de cálculo.
- Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables. Por ejemplo, Rayleigh, precursor del Análisis Dimensional junto a Fourier, lo empleo por primera vez en Mecánica de Fluidos.
- Creación y estudio de modelos reducidos. Por ejemplo, los túneles aerodinámicos.
- Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, tanto cambios reales como imaginarios.
5.2. Conceptos básicos.
Observables : Se denominan observables a los entes que se pueden caracterizar por algún efecto observable. Ejemplo: Color, longitud, miedo, tiempo, etc.
Observables comparables : Dos observables, (A) y (B), se dicen que son comparables si se puede
definir la relación
( ) ( )
A n
B
siendon un número cualquiera. La física sólo se interesa por los observables que son comparables.
La longitud de una mesa puede compararse con la longitud de un bolígrafo y podemos decir que
una esn veces la otra. Sin embargo, la hermosura o el miedo son observables no comparables,
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puesto que no podemos decir, por ejemplo, que una persona haya pasado 3.5 veces más miedo que otra viendo una película de terror.
En el caso de observables comparables, podemos definir criterios de igualdad y suma:
Criterio de igualdad : Diremos que un observable (A) es igual a otro (B), si ocurre:
con 1 ( )
A
n n
B
Criterio de suma : Sean tres observables, (A 1 ), (A 2 ) y (A 3 ), comparables con otro observable (A 0 ),
mediante las relaciones
(^1 1 22 ) 0 0 0
, y , ( ) ( ) ( )
A A A
n n n
A A A
diremos que
( A 1 ) + ( A 2 ) = ( A 3 ) cuando ocurra que n 1 + n 2 = n 3 (4)
Establecidos los entes de los que se hace cargo la Física, pasamos a la definición de magnitud, cantidad y unidad.
Magnitud : Se define como magnitud al conjunto de todos los observables que son comparables entre sí. Cantidad : Se denomina cantidad a cada uno de los elementos del conjunto que define una magnitud.
La altura de un edificio, la distancia entre dos puntos, la amplitud de las oscilaciones de un péndulo, etc., son cantidades de la magnitud longitud. El día, la duración de un periodo lunar, etc., son cantidades de la magnitud tiempo.
Como vemos de los anteriores ejemplos, las magnitudes son entes abstractos a los que se llega a partir de entes concretos, tal y como corresponde al proceso natural del pensamiento.
Unidad : La unidad,UA , de una magnitud es una cantidad (A 0 )=UA elegida arbitrariamente. Al
formar las razones, respecto de esta cantidad:
( 1 ) (^1) , ( 2 ) 2 , etc. ( (^) A) ( (^) A)
A A
A A
U U
se puede hacer corresponder, a cada cantidad (A i) del observable, un númeroA i que se llama
medida de la cantidad (A i) el observable, con la unidadUA. Al cambiar de unidad, evidentemente,
se obtendrá un diferente número y por tanto una medida diferente para la misma cantidad. Como vemos a continuación, la relación entre las medidas es inversamente proporcional al cociente de
las unidades: Supongamos dos unidadesUA yUA´. Al medir una misma cantidad (A) del observable
obtendremos
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para que se cumpla la igualdad (9), la constante deber ser 1
C = (1 kp=9.81 N). Si, por el
contrario, el sistema de unidades es
UF = 1 N, Um = 1kg y Ua = 1 m/s^2 ,
entonces la constante seráC =1.
Vemos que, eligiendo el sistema de unidades adecuado, se ha podido eliminar la constante de la ecuación entre medidas. En general, no siempre es posible hacer esto. Cuando una constante puede ser obviada mediante la aplicación de un sistema de unidades, diremos que esa constante es superflua. Además, al sistema de unidades que elimina las constantes superfluas del conjunto de ecuaciones de una teoría física, le llamaremos sistema coherente de unidades.
En el caso de que las constantes no sean superfluas, podremos estar en los casos de
a) Constantes particulares : Son aquellas que dependen de la naturaleza de los cuerpos que intervienen en el fenómeno y, por tanto, son ineludibles. Ejemplo: La constante recuperadora de un muelle. Podría elegirse un sistema de unidades que hiciese la unidad a la constante de un muelle, pero al cambiar de muelle volvería a aparecer la constante del nuevo muelle.
b) Constantes universales : Son las que no dependen de la naturaleza de los cuerpos en cuestión. Dicho de otro modo, a toda ecuación que se conserve invariante cuando cambian la naturaleza de los cuerpos con los que se opera, corresponde una constante universal.
En Física, se utilizan las siguientes constantes universales:
a) La constante de gravitación universal,G =6.673·10 -11^ Nm 2 /kg 2.
Aparece en la ley de gravitación universal
2
F G Mm
r
que expresa que la fuerza de atracción entre dos masas es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de sus distancias.
b) La constante de Boltzmann,k =1.381·10 -23^ J/K.
En todo sistema formado por un gran número de elementos en equilibrio, la energía media, ε ,
que se asocia a cada grado de libertad, es proporcional a la temperatura absoluta:
1 2
ε = kT (11)
c) La velocidad de la luz,c =2.998·10 8 m/s.
Una masa en reposo tiene asociada una energíaE dada por
E = mc^2 (12)
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siendoc una constante que en un sistema de unidades coherente se corresponde con la
velocidad de la luz en el vacío.
d) La constante de Planck,h =6.626·10 -34^ Js.
Esta constante está relacionada con la cuantificación de la energía que podemos expresar
como que en todo proceso periódico de frecuenciaf, la energía sólo puede experimentar
cambios que sean múltiplos de
∆ε = hf (13)
e) La constante de Avogadro,N A =6.022·10 23 mol -.
En todo cuerpo, el número de moles,n, es proporcional al número de moléculas,N, según
N = nNA (14)
Que también podemos expresar como que 1 mol de masa es la cantidad de materia que
contiene un númeroNA de partículas.
f) La permitividad eléctrica del vacío o constante dieléctrica del vacío, ε 0 =8.854·10 -12^ F/m.
Aparece en la ley de Coulomb
1 2 2 0
q q
F
πε r
que expresa la atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.
Cualquier combinación de constantes universales es una constante universal. Algunas de
estas combinaciones reciben nombre especiales, como la constante de los gasesR =kNA , producto
de la constantes de Boltzmann y Avogadro, que aparece en la ecuación de los gases perfectos
cuando se expresa ésta a través del número de moles. Aclaremos esto, considerando un volumenV
de gas en el que tenemosN moléculas a una presiónP y temperatura absolutaT. Conn siendo el
número de partículas por unidad de volumen, la ecuación de los gases perfectos la podemos escribir como
moles A moles (^ A ) moles
P nkT NkT PV n N kT n N k T PV n RT
V
Otra constante que se deriva de las seis primeras es la permeabilidad magnética del
vacío, (^0 ) 0
c
μ ε = = 4π·10 -7^ H/m, que aparece en las ecuaciones que describen la interacción entre
corrientes eléctricas, como la ley de fuerza de Ampère, o en la ley de Biot y Savart
0 3
( ) (^ )
v
B R J^ r^ rdv
r
μ π ′
= ⌠ ′ ×^ ′
G G G^ G^ G
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1
ji 1 con 1, ,. n i i
x^ α j t
=
∏ ^ =^ = "^ (23)
y para las dimensiones:
[ ] 1
ji 1 con 1, ,. n i i
x^ α j t
= ∏ =^ = "^ (24)
Tomando logaritmos neperianos en la ecuación anterior, ésta se transforma en
[ ] 1
ln 0 con 1, ,.
n ji i i
α x j t
= ∑ =^ = "^ (25)
que representa un sistema de ecuaciones cont ecuaciones yn incógnitas (ln[x i]), donde la matriz
de coeficientes α (^) ji es también la matriz de los exponentes. Vamos a suponer, como suele ser
habitual en las teorías físicas, que el número de incógnitas es superior al número de ecuaciones,
esto esn >t. Sih es el rango de esta matriz (h coincidirá cont, si todas las ecuaciones son
linealmente independiente o en caso contrario será menor que t), el número de incógnitas
arbitrarias serán − h = m.
Tomando como arbitrarias o independientes a lasm primeras incógnitas asociadas a las
unidades [x 1 ], [x 2 ], …, [x m ], al conjunto de magnitudes B={x 1 ,x 2 ,…,x m }, asociadas a lasm unidades
que hemos tomado como independientes o arbitrarias, se le denomina base de la teoría física y
al númerom de sus elementos se le llama multiplicidad de la base , mientras que a cada magnitud
de la base se la llama magnitud fundamental.
A partir de la ecuación (24), el resto de unidades puede ser expresado por una función
[ ] 1
ij 1 con 1, ,. m i j j
x x i m n
ε
= (^) ∏ ^ = = + " (26)
A este formato se le denomina fórmula dimensional de la magnitud físicax i, y al conjunto
de coeficientes {ε ij } (j =1,…,m) se les llama dimensiones de la magnitudx i en la base B.
5.5. Magnitudes base de la Física.
Veamos en primer lugar la base de la Mecánica, particularizando todo el desarrollo del apartado anterior para una parte de la Física conocida para nosotros como es la Mecánica. Como ya vimos el problema se reduce a poner las ecuaciones fundamentales en forma de monomios y luego calcular el rango de la matriz de los exponentes.
En Mecánica, tres ecuaciones fundamentales e independientes son (eliminamos el carácter vectorial de las ecuaciones por simplicidad en las ecuaciones y por no estar implicado el carácter vectorial en lo que diremos a continuación, también puede obviarse el carácter vectorial tomando las diferentes componentes de las ecuaciones implicadas):
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2 2 2
F ma
F G Mm
r
a d r
dt
que podemos expresar en la forma general dada por las ecuaciones (19) y (20):
1 1 2 1 1 1 2 1 2
Fm a
Fr G M m
d r
a
dt
− − − − − −
Debiéndose cumplir las ecuaciones anteriores tanto para los números que expresan las medidas como para las unidades asociadazas a las cantidades medidas. Procediendo como en el apartado anterior, la ecuación de las unidades, similar a la ecuación (24), viene dada por
[ ][^ ]^ [^ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ][ ] [ ]
1 1 2 1 2 1 2
F m a
F r G m
a r t
− − − (^) − −
Tomando logaritmos en la ecuación anterior:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
ln ln ln 0 ln 2ln ln 2ln 0 ln ln 2ln 0
F m a
F r G m
a r t
que en forma matricial se expresa como
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
ln ln 1 1 1 0 0 0 0 ln 1 2 0 1 2 0 0 ln 0 0 1 0 1 2 0 ln ln
F m a G r t
−^ − ^
^
−^ −^ ^ =
− ^
La matriz de los exponentes dimensionalesα (^) ji viene dada por
1 1 1 0 0 0 1ª ecuación 1 2 0 1 2 0 2ª ecuación 0 0 1 0 1 2 3ª ecuación
ji
F m a G r t
α
−^ −
= ^ − −
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Diremos que una ley física es dimensionalmente homogénea si todos sus términos (sumandos) tienen la misma dimensión. Como veremos, esto asegura su invarianza respecto del sistema de unidades.
Si los términos de la ecuaciónA + B = C tienen todos la misma dimensión y cambiamos el
sistema de unidades de modo que se duplique la medida deA, obteniéndoseA´=2A, como todos
los términos responden a la misma ecuación de dimensiones, también se habrán duplicadoB yC,
pasando a serB ´=2B yC ´=2C, de modo que la ley se seguirá cumpliendo,
2 A = 2 B + 2 C ⇒ A´ = B ´+ C ´ (35)
en el nuevo sistema de unidades.
La homogeneidad dimensional implica que los argumentos de las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. deben ser adimensionales.
Ejemplo 1 :
[ ]
[ ] [ ]
Sea ln , luego 1. De A, si (^) [ ] 1 [ ] 1.
dB B
A B dA A B e A B
B B
Ejemplo 2 :
Sea A = sin B= 1 − cos^2 B⇒ De cos 2 B = (^) [ ] 1 = 1 ⇒ (^) [ B]=1. (37)
5.6.2. Homogeneidad matemática.
Una función
f x( 1 , x 2 , ", xn ) = 0 (38)
es homogénea, matemáticamente hablando, si
f ( λ 1 x 1 , λ 2 x 2 , ", λn xn) = 0 (39)
Veamos que, en efecto, una ecuación física debe ser homogénea matemáticamente.
Sea la ecuación (38) representativa de una ley física en la que intervienen las medidasx 1 ,
x 2 , …,x n de sendas magnitudes en un sistema coherente de unidades. Al utilizar otro sistema de
unidades cuyas razones de cambio sean
i i con^ 1,2,^ ,^ , i
x i n
x
λ = = ′
la ecuación (38) se transforma en
f ( λ 1 x 1 ′,^ λ 2 x 2 ′,^ ",^ λn xn′^ ) = 0 (41)
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Pero, al representar f x( 1 , x 2 , ", xn ) = 0 una ley física universal, debe ser invariante
frente a cambios de sistemas de unidades y cumplirse
f x( 1 ′ ,^ x 2 ′,^ ", xn′)^ = 0 (42)
Resultando evidente, de las ecuaciones (41) y (42), que f es una función homogénea
matemáticamente hablando.
5.7. Teorema de Buckingham o teorema de pi.
El enunciado del teorema pi dice así:
- Toda ecuación
f x( 1 , x 2 , …, xn ) = 0 , (43)
que sea una ley representativa de un fenómeno física, puede expresarse como
F ( π 1 , π 2 , …, π m) = 0 (44)
donde los π (^) i son los monomios independientes de dimensión nula o monomios π , que pueden formarse con las magnitudes consideradas en la ley física.
2) El número de estos monomios esm =n− h, dondeh es el rango de la matriz formada con los
exponentes dimensionales de las magnitudes, en relación a una base dada.
Demostración : Sea la ecuación (43), representativa de un fenómeno físico, y sean dadas las dimensiones
de las magnitudesx i, en función de la base {L,M,T } por
[ xi^ ] =^ M^ α^1 i^ L Tα^2 i α^3 i con^ i=^ 1,2,^ …,^ n. (45)
(Tomamos una base con tres elementos por sencillez en las expresiones, pero podría formarse
una base conn elementos).
Se pretende formar agrupaciones de monomios adimensionales en la forma:
[ ]
1
i que cumplan 1 n i i
π x ε π
=
= (^) ∏ = (46)
Sustituyendo (45) en (46) y reagrupando obtenemos:
[ ] [ ]
( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2 3
11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 31 1 32 2 3 1 1 1 2 13
1 1 1
1
i i i i i i i i i i^ i n n n n n n n n n i i^ i i i^ i i i^ i
n n n i i i i
x M L T M L T
M M M L L L T T T M L T
ε ε α α α α ε α ε α ε
α ε α ε α ε α ε α ε α ε α ε α ε α ε α^ ε^ α^ ε^ α^ ε
π
= = =
= = =
= = ^ = =
∏ ∏ ∏
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v a e t v a e v a t v a e v a t
LT LT L T L T
ε ε (^) ε ε ε ε ε ε ε ε ε^ ε^ ε ε ε ε
− − = ⇒ + + − − + = ⇒ +^ +^ =
−^ −^ +^ =
Hemos obtenido dos ecuaciones (h =2) con 4 incógnitas (n =4, ε v , ε a, ε e y ε t ) ⇒ m =n− h =
4 −2 = 2. Tenemos dos incógnitas arbitrarias, lo que nos da la posibilidad de encontrar dos
conjuntos de soluciones linealmente independientes que hagan [π ] = 1. Elegimos:
1
2
1, 0 1,^ 0,^ 1,^1
e a e a v t e a e a v t
e
vt
at
v
ε ε^ ε^ ε^ ε^ ε^ π ε ε ε ε ε ε π
=^ =
=^ =
=^ =^ = −^ =^ ⇒^ =
Encontrándose dos monomios independientes. La función 2
e = vt + at la podemos
expresar como
e at
vt vt
π − − π = que es nuestro caso particular de
F ( π 1 , π 2 , …, π m) = 0.
5.8. Aplicación del teorema de pi.
En la demostración del teorema de pi, hemos demostrado que la función que describe un fenómeno físico puede expresarse como función de los monomios pi independientes que podemos formar con las magnitudes físicas que intervienen en el proceso. En la aplicación del teorema pi, vamos a seguir, normalmente, un camino contrario: Construiremos los monomios independientes adimensionales que podamos formar con las variables que intervienen en el proceso y con estos monomios intentaremos construir la ecuación que rige el proceso físico, supuesto que sea desconocida esta ecuación.
Los pasos a seguir en la resolución de un problema son:
a) Considerar todas las magnitudes que intervienen en el fenómeno, incluyendo las constantes no eludibles. b) Establecer la matriz de coeficientes y su rango. c) Determinar el número de monomios independientes. d) Hallar estos monomios.
Ejemplo 1 : Un cuerpo de masam cae libremente desde una alturah por efecto de la gravedad,
partiendo del reposo. Hallar la relación entre la velocidad de llegada al suelo,v, la gravedad,g,h y
m.
a) Siguiendo la sistemática marcada, en primer lugar, hacemos una recopilación de las
magnitudes que intervienen en el fenómeno y expresamos sus dimensiones en la base {L,M,T }.
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[ ]
[ ]
[ ]
2 1
m M
h L
g LT
v LT
− −
b) Formulamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.
ji
m h g v
M
L
T
α
El rango de la matriz anterior esh =3 y tenemos 4 magnitudes (n =4).
c) Se determinan los monomios independientes que se pueden formar.
Sólo se pueden formarm =n− h =4-3=1 monomio.
d) Desarrollando la ecuación 1
n ji i i
α ε
∑ = , obtenemos el monomio buscado.
m m h h g v g g v v
ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
=^ ⇒^ +^ +^ =
Eligiendo εh = 1 ⇒ εg= 1 y εv = − 2. Usando la ecuación (46), 1
i n i i
π x ε
=
= (^) ∏ , el monomio de este
caso particular toma la forma π = v −^2 hg, que de be ser una constante, tal como indica la
ecuación (51). De v −^2 hg= cte ⇒ v= cte hg. Por otros caminos se sabe que v = 2 hg y que
por tanto el valor de la constate es 2 , pero esta información no la aporta el Análisis Dimensional.
Ejemplo 2 : Relación dev,a,e, yt en un movimiento rectilíneo.
a) Variables que intervienen en el fenómeno físico y sus dimensiones.
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1 2
v LT
a LT
e L
t T
− −
b) Matriz de los coeficientes en la base {L,M,T }.
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a) Variables que intervienen en el fenómeno físico, sus dimensiones y factores de forma.
Intervienen las magnitudes:l (longitud del hilo),g (gravedad), τ (periodo),m (masa) y θ
(amplitud angular). La amplitud angular es un factor de forma, no lo consideraremos en el cálculo y lo tendremos en cuenta como monomio sólo al final.
[ ]
[ ]
[ ]
2
l L
g LT
T
m M
τ
−
b) Matriz de los coeficientes en la base {L,M,T }.
ji
l g m
M
L
T
τ =α (^) −
El rango de la matriz esh =3.
c) Número de monomios independientes.
El número de monomios independientes esm =n− h =4-3=1 monomio, más el factor de forma θ
que es en sí un segundo monomio.
d) Cálculo del monomio.
El sistema de ecuaciones de los exponentes viene dado por 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 2 1 0 2 0
l m g l g g m
τ τ
ε ε ε ε ε ε ε ε ε
Pudiéndose elegir libremente, una de las incógnitas. Cómo buscamos el periodo hacemos:
1 1 1 0, 1 y^11 2 m g 2 l 2
g
g l
τ l
ε ε ε ε π τ π τ
− = ⇒ = = = − ⇒ = ⇒ =.
La función que rige el proceso físico tiene la forma π 1 = ϕ ϑ( )⇒ ( )
l
g
τ = ϕ θ y puede
afirmarse que en la función ϕ θ( ) no pueden figurar, además de θ, más que constantes.
El resultado correcto para este problema es
2 2 1 16
l
g
θ τ π
" , luego 2 ( ) 2 1 16
θ ϕ θ π
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Vemos, en este y otros ejemplos, que el Análisis Dimensional no proporciona la fórmula exacta del proceso; pero, sin embargo, la información que proporciona es extraordinaria. Por ejemplo, en este sistema físico nos dice: ¡El periodo del péndulo no depende de su masa!
Llegado este punto, resulta claro que la pregunta que hay que formular al Análisis Dimensional no es ¿Cuál es la ley del péndulo o del sistema físico que estudiamos?, sino ¿Cómo es la ley del péndulo o del sistema físico que analizamos?
Ejemplo 4 : Estudio del movimiento planetario.
a) Variables que intervienen en el fenómeno físico, sus dimensiones y factores de forma.
Intervienen las magnitudes:MS (masa del Sol),m p (masa de un planeta), τ (periodo de
revolución),r (distancia entre el Sol y el planeta), yG (constante de gravitación universal.
Como intervienen dos masas, la del Sol y la del planeta, formamos un factor de forma que será un primer monomio 1 S p
M
m
π =. El resto de magnitudes y una de las masas tienen las
siguientes dimensiones: [ ]
[ ]
[ ]
[ ] 1 3 2
MS M
T
r L
G M LT
τ
− −
b) Matriz de los coeficientes en la base {L,M,T }.
S
ji
M r G
M
L
T
τ
α
El rango de esta matriz esh =3.
c) Número de monomios independientes.
El número de monomios independientes esm =n− h =4-3=1 monomio, más el factor de forma
π 1 que es en sí un monomio más.
d) Cálculo del monomio.
El sistema de ecuaciones de los exponentes viene dado por
S S
M M G r G r G G
τ
τ
ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
− ^ − =
Pudiéndose elegir libremente, una de las incógnitas. Elegimos:
Técnicas Experimentales Básicas
d) Cálculo del monomio.
El sistema de ecuaciones de los exponentes viene dado por
0 1 1 0 0 1 1 3 0 3 0 0 1 2 0 0 2 0 0 0 0 1 0
c P P c P c
ρ ρ ρ ρ ϑ ϑ
ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
+^ =
Como las ecuaciones son linealmente dependientes, hacemos
1 1. Con 2 2. Por tanto 1 2 cte cte P P c P c p
ε = ⇒ ε ρ= − ε = − ε ⇒ ε = − π = P ρ −^ c− = ⇒ c=.
Si el gas se aproxima al comportamiento de un gas perfecto y se cumple la ecuación de los
gases perfectoP = nK θ, y la densidad la expresamos como ρ =^ nMm dondeMm es la masa
molecular, la velocidad queda
P
cte cte cte p m m
nK K
c
nM M
= = θ^ = θ
Este resultado también lo hubiésemos conseguido directamente si las magnitudes
consideradas hubiesen sido:c (velocidad del sonido en el gas),P (presión del gas donde se
propaga), θ (temperatura del gas),Mm (la masa molecular) yK (la constate de Boltzmann).
Las dimensiones de estas variables vienen dadas por
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
1 1 2
2 2 1
m
c LT
P ML T
M M
K MLT
θ θ
θ
− − −
− −
e) Con estas magnitudes, la matriz de exponentes toma la forma:
m
ji
c P M K
M
L
T
θ
α
θ
que tienen de rangoh =4.
f) Número de monomios independientes.
El número de monomios independientes esm =n− h =5-4=1 monomio.
g) Cálculo del monomio.
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El sistema de ecuaciones de los exponentes viene dado por
m
m
c P M K P c P K c P K M K K
θ
ϑ
ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
Eligiendo el exponente del la velocidad del sonido, magnitud que buscamos, igual a la unidad: 1 1 1 2 2 2 m
1 1 1 K
1 0, , y. Por tanto cte cte c P Mm 2 2 K 2 m M
θ c^ M K c
θ ε ε ε ε ε π θ
− = ⇒ = = = − = − = = ⇒ =
que es el resultado que buscábamos.
