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MATEMÁTICA APLICADA
APUNTE TEÓRICO UNIDAD 2
Docente: Claudia Garelik
LA PROPORCIÓN EN ARQUITECTURA
La teoría de la proporción nace de la creatividad
arquitectónica: la relación de la parte con el todo; las relaciones del
todo con todas sus partes,... Esta teoría, ya aplicada en Egipto y
descrita literariamente por primera vez por el arquitecto romano
Vitruvio, va unida a los trazados geométricos con regla y compás, y en
ella conviven las proporciones estáticas inherentes a la modularidad
(1, 1/4, 1/2, 3/4, 1/3, 2/3, 1/5,...) con las bellísimas proporciones
dinámicas
( √
2 , √
3 , ( 1 + √ 5 )/ 2 ,...). Alsina C. (2005)
El estudio de la Proporción en Arquitectura está emparentado con el concepto matemático de
proporción (igualdad entre dos razones). Pero en realidad se convierte en el uso de razones (cociente
entre dos números) cuyo valor permite inferir la “forma” de la figura en estudio.
La matemática es el instrumento que permite asignar un carácter científico al significado del término
proporción en arquitectura. La proporción en una obra arquitectónica queda asociada a un número
que resignifica las relaciones entre las partes de la misma.
A lo largo de la historia, sólo algunos números han sido empleados para indicar la proporción de una
obra o de sus partes entre sí.
En Arquitectura, el uso de un módulo generador no está restringido al uso de un cuadrado. Ello se
debe a que en la práctica se utilizan piezas constructivas o de diseño como elementos modulares.
Por ejemplo: un ladrillo, un cerámico, etc.
El concepto de proporción nace por la necesidad de expresar cuantitativamente la noción de
semejanza, para comparar objetos de la misma forma pero de diferente tamaño. La comparación es
una idea previa a la de medida. Se remonta a los trabajos de Thales de Mileto (640 a.C., 546 a.C.),
los pueblos mesopotámicos y China ya la conocían anteriormente, cuando se descubre la relación
entre la longitud de una circunferencia y su diámetro conocida como π (pi), que es una de las
“proporciones notables” en el sentido de comparación.
La Escuela Pitagórica, es la primera en formular la teoría de las razones y proporciones aritméticas
que, más tarde, se recopila en los Elementos de Euclides (300 a.C.). En el Libro V se leen las que
se consideran primeras definiciones: “ Razón es la relación cualitativa en lo que se refiere a
dimensión, de dos cantidades homogéneas ( proposición 3 ) y “se llaman proporcionales a las
magnitudes que guardan la misma razón” (proposición 6)
2
Debido a la ausencia de una notación simbólica (surgida con el nacimiento del Álgebra en el siglo
XIII) y sumado al hecho de que los Libros de Euclides fueron escritos a mano y copiados en
innumerables ocasiones hasta la invención de la imprenta, es comprensible que se hayan deslizado
errores que generaron imprecisiones: así, lo que en Grecia fue conocido como “razón ” ( ratio ) , en
Roma se tradujo como “proporción” ( proportio ). Con este nombre, el concepto fue usado por Vitruvio
1
Elaborado en base al apunte teórico de Cátedra de Matemática Nº 2 – ECC. “Enrich – Creus- Carnicero – UNLP - 2014
2
Ver: http://www.euclides.org/menu/elements_esp/05/definicioneslibro5.htm
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(arquitecto romano del Siglo I a.C.) al escribir su tratado “ Sobre la arquitectura” ( De architectura) , la
única obra de estas características que se conserva de la Antigüedad Clásica. Conocido y empleado
en la Edad Media, la edición del tratado de Vitruvio, editado en Roma en 1486, se convirtió en el
Renacimiento, etapa de profunda admiración de la cultura clásica, en un instrumento que permitió
reproducir sus formas arquitectónicas.
Proporciones en Matemática
La razón entre los números a y b , con b ≠ 0, es el cociente entre a y b , y se expresa
La razón es utilizada habitualmente para comparar cantidades homogéneas (son aquellas que
pertenecen a la misma magnitud y por lo tanto pueden compararse). Si la razón entre el ancho y
largo de un rectángulo es 2, se interpreta como que el ancho duplica al largo.
Una proporción está formada por dos razones iguales:
Se lee: a es a b como c es a d.
Los números a y d reciben el nombre de extremos, mientras que c y b son los medios de la
proporción.
Ambos cocientes, una vez efectuados, tienen el mismo resultado. Los valores que pueden tomar
dichos cocientes, pueden ser mayores, menores o iguales a 1.
Propiedades de las proporciones
● El producto de los medios es igual al producto de los extremos.
En símbolos:
● Si a ≠ 0, al intercambiar los extremos de una proporción se obtiene otra proporción.
● Si c ≠ 0, al intercambiar los medios de una proporción se obtiene otra proporción.
● La suma del antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente como la
suma del antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente.
En símbolos:
● La diferencia del antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente como
la diferencias entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su
consecuente.
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Proporciones en Arquitectura
La proporción expresa la comparación entre la longitud de dos segmentos y, por convención, se
indica como el cociente entre la mayor y la menor. Por ello es siempre es un número mayor o igual
que 1 (uno):
Se llama proporción entre dos segmentos cualesquiera de longitudes a y b, al cociente indicado entre
ellas. Se indica:
Si b ≥ a, entonces, 𝑝
Esta expresión es aplicable a la determinación de la proporción entre longitudes de partes tanto en
una dimensión como en dos dimensiones.
Ejemplos:
Cariátides en Acrópolis de Atenas Partenón Fachada Principal del Partenón
Tipos de proporción en Arquitectura:
La proporción puede ser expresada por un número racional positivo o un número irracional positivo.
Según ello se llama:
Proporción racional, estática o conmensurable es la expresada por un número racional positivo.
En este caso siempre puede encontrarse un módulo arbitrario que esté contenido un número entero
de veces en cada una de las partes. Así, si p (a, b) = 5/3 siendo a > b significa que puede encontrarse
un módulo d tal que, por ejemplo, sean a = 5d y b = 3d , de modo que su cociente es 5/3.
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Proporción irracional, dinámica o inconmensurable a la que queda expresada por un número
irracional positivo. Por tal motivo, no existe modularidad posible entre las partes. Es decir, no es
posible hallar un módulo que esté contenido un número entero de veces en cada una de las partes.
A partir de ahora y para abreviar, llamaremos a cada una estática o dinámica, según corresponda.
La proporción asume diferentes formas de expresión matemática, según la dimensión de los
objetos geométricos en los que se estudia.
1. Proporción en 1D: el segmento.
El segmento es el elemento geométrico más sencillo en el que puede aplicarse el concepto de
proporción. Una simple división del segmento en dos partes, determinadas por cualquier punto
interior establece una determinada proporción. Dicha proporción queda establecida entre el todo y
cada una de las partes o entre las partes.
Para el segmento AB de la figura en la que se señala el punto interior C, las proporciones
presentes son:
Estas razones respetan el concepto de proporción en arquitectura por cuanto son mayores o
iguales que 1.
Las proporciones en 1D, pueden ser estáticas o dinámicas.
2. Proporción en 2D
El siguiente elemento geométrico al puede aplicarse el concepto de proporción es a una figura de
dos dimensiones, en este curso la analizaremos, particularmente, para el rectángulo.
Esa proporción puede ser dinámica o estática.
3. Proporción en 3D
Así como se definió la proporción en una y en dos dimensiones, también puede definirse en tres
dimensiones. En este caso nos referiremos a la proporción de un recinto cuya forma es un prisma
recto.
a
b
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- Están en proporción geométrica cuando b es media geométrica entre a y c.
Debe ser:
- Están en proporción armónica cuando b es media armónica entre a y c.
Por ello, debe ser:
“El propósito de todas las teorías de la proporción es crear un sentido de orden visual entre los
elementos de una construcción. Un sistema de proporcionalidad establece un conjunto fijo de
relaciones visuales entre las partes y el todo. Aunque no se perciban de inmediato para un
observador fortuito, el orden visual que generan puede sentirse, asumirse o, incluso, reconocerse a
través de una experiencia reiterada.” (Ching, 2008, pag.284).
Palladio, arquitecto del Renacimiento, propuso las siete “formas de habitación más bellas y
proporcionadas” en planta:
Además, presentó varios métodos para determinar la altura más adecuada para una
habitación, para que estuviera en proporción con las restantes dimensiones. Para
habitaciones de techo plano, la altura debía ser igual al ancho; las habitaciones cuadradas
con techo abovedado tendrán una altura que sería un tercio mayor que el ancho; en otras
estancias utilizó la teoría de los medios de Pitágoras para calcular las alturas (aritmético,
geométrico y armónico), es decir el mediano, situado entre el ancho y la longitud, era la
altura de la misma. (Ching, 2008, pag.299).
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Algunas proporciones dinámicas notables.
1. En el segmento.
Se presenta un caso particular dentro de las proporciones dinámicas. Está relacionada con un
problema planteado entre los matemáticos de la antigüedad y que fuera formalizado por Euclides
3
Dicho problema propone: dado un segmento cualquiera AB , encontrar un punto interior C tal que la
longitud total del segmento sea a la de la parte mayor como ésta es a la longitud de la parte menor.
Es decir: “el todo es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor”. Debe verificarse que:
Analicémoslo geométricamente y justifiquémoslo algebraicamente. Se trata de encontrar el punto C
de AB, tal que:
Calculemos, en términos algebraicos el valor de esta proporción. Si a la longitud de AC la llamamos
“ x ” y a la de CB, “ y ”, siendo x > y , el problema puede enunciarse simbólicamente del siguiente modo:
2
2
2
Suponiendo que 𝑦 = 1, en la ecuación anterior tenemos que
2
Si resolvemos esta ecuación cuadrática, se obtiene
1
2
3
La historia demuestra que no fue el primero. Ya en tiempo de los babilonios se había resuelto el problema. Sólo que el
descubrimiento de sus escritos llega a nosotros con posterioridad.
Para hallar C con regla y compás, se construye
BD = AB/2 sobre la perpendicular a AB que pasa
por B. Luego se unen A y D. Con centro en D y
radio DB se traza arco que corta a AD en E.
Finalmente, con centro en A y radio AE, se traza
el arco que corta a AB en C.
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El formato de referencia de la serie A es el A0 (Área 0) y abarca una superficie de 1 metro cuadrado.
Y no sólo eso, sino que la longitud de sus lados mantienen una relación “ideal”, que se concreta en
la proporción p (1, √ 2 ) en la que se redondean los milímetros. Se obtiene así un rectángulo de
proporción √ 2.
Al cortar por la mitad — de su lado más largo — una hoja A0, se forman dos rectángulos cuya
proporción sigue siendo
2. En ellos, el lado más corto pasa a convertirse en el lado más largo de
la nueva hoja A1. De esta manera, si se corta cualquier hoja de la serie por la mitad de su lado más
largo, se obtiene un par de hojas del tamaño siguiente, que siguen manteniendo la proporción
2 entre el largo y el ancho. De este modo, con un procedimiento sencillo se consigue preservar la
proporción de cada uno de los tamaños de hoja.
Veamos cómo se construye un rectángulo con esta proporción.
Rectángulo de proporción √ 2
Un rectángulo de lados a y b es de proporción √
2 si se verifica que 𝑝(𝑎, 𝑏) =
Construcción:
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Ejemplo de su uso en arquitectura.
Este rectángulo ha sido usado en arquitectura, tanto en planta como en vista.
Podemos citar a arquitectos como Brunelleschi, Le Corbusier, Wright, Kahn, etc. como ejemplo de
quienes aplicaron este tipo de proporción en sus obras.
Sacristia Vecchia. Planta. Brunelleschi (S.XV) Torre Eiffel, París (1889)
Otros rectángulos de esta serie de proporciones con mucha aplicación en arquitectura, diseño y arte
son, los ya mencionados, √ 3 y √ 5.
b. Rectángulo de proporción 1 + √
El número (1 + √ 2 ) es conocido con el nombre de número de plata , se lo denomina con la
letra θ. Su valor exacto es la solución positiva de la ecuación 𝑥
2
El rectángulo cuya proporción es el número θ = 1 + √
2 , es un rectángulo de plata.
Una manera sencilla de construir un rectángulo de esta proporción es sustrayendo a un rectángulo
de proporción √
2 , un cuadrado cuyo lado tenga la medida del lado menor, tal como se ve en la figura
que sigue:
la más sencilla consiste en dibujar un cuadrado de
lado 1 y utilizar la diagonal, cuya medida es √ 2 ,
como radio de una circunferencia de centro en A.
Con esa medida, se traza un arco que corta a la
prolongación del lado AD en E. El segmento AE es
la base del rectángulo ABFE, de altura unitaria, cuya
proporción es p (1, √
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Fidias en el Partenón: El ejemplo arquitectónico más conocido que denota la utilización de este
número (más precisamente del rectángulo áureo), es el de la fachada del Partenón griego.
Partenón. Atenas. Catedral de Notre Dame, París.
De la figura se puede comprobar que:
𝐴𝐵
𝐶𝐷
Pero hay más razones entre sus medidas que están en proporción áurea, por ejemplo:
Un par de propiedades especiales del rectángulo áureo
Es el único rectángulo en el que al particionarlo en un cuadrado de lado de igual longitud que su lado
menor y un rectángulo, éste conserva la proporción del rectángulo original. Es decir, es un rectángulo
áureo. Esto significa que, en la figura que sigue, en la que DEFC es áureo, el rectángulo ABCD
también es áureo.
a. Partición del rectángulo áureo.
Esta propiedad, aplicada sucesivamente a cada uno de los
rectángulos de menor tamaño genera una partición del
rectángulo original que sirve de base a la espiral áurea,
caracterizada porque está formada por arcos de
circunferencia en cuyos puntos de contacto la recta tangente
es única.
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Espiral áurea, a partir de la partición del rectángulo áureo o Espiral Logarítmica
La partición realizada, es la que permite construir la espiral áurea caracterizada por estar formada
por cuartos de circunferencia:
b. El rectángulo áureo es el único rectángulo cuya diagonal prolongada contiene al vértice de un
rectángulo congruente, adyacente a él, colocado verticalmente como se muestra en la figura. (En
ambos, las longitudes de los lados son: lado mayor 𝜙 y lado menor 1)
En la figura anterior, ADFB es el cuadrado
que da inicio a la construcción. Los
rectángulos: D 1
ABC, D
1
AIG, KAIJ, SEMJ,
etc., son todos áureos.
Los arcos de circunferencia que
forman la espiral son:
(con centro en A)
(con centro en I)
(con centro en J)
Según esta propiedad, los rectángulos ABDC’ y
C’A’B’D’ son áureos y congruentes.
Por construcción ABDC’ es áureo donde AB = 2 y
BF= 2.
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La medida y su relación antropológica en arquitectura ha sido una cuestión recurrente en muchos
tratados de arquitectura. También para Le Corbusier, la referencia antropológica es la solución para
volver a introducir la arquitectura dentro del orden de la naturaleza.
La creencia de Le Corbusier que la arquitectura es orden y que la armonía se puede conseguir
obedeciendo las leyes universales de la proporción, le llevó a presentar dicho sistema Modulor
destinado a la obtención de proporciones armónicas en las obras arquitectónicas. Tomó como base
las dos series (roja y azul) desarrolladas con base en el Número de oro y relacionó las medidas así
obtenidas con las proporciones humanas.
Lo define como:
“El modulor es un aparato de medida basado en la estatura humana y la Matemática. Un hombre con
la mano levantada da los puntos determinantes de la ocupación del espacio,-el pie, el plexo solar, la
cabeza, la punta de los dedos de la mano estando el brazo levantado- tres intervalos que definen
una serie derivada de la sección áurea, llamada de Fibonacci y, por otras parte, le Matemática que
ofrece la variación más sencilla y más simple de una medida: lo simple, lo doble y las dos secciones
áureas.” (Le Corbusier, pág. 75. 2005)
En esa circunstancia presenta al Modulor. Una grilla de proporciones establecida por la medida
humana, para ser utilizada como instrumento clarificador en fase de proyecto, basada en los
principios de la proporción áurea. Es por tanto un sistema de dimensiones armónicas de escala
antropomórfica, aplicable universalmente a la arquitectura, en el que se intenta armonizar la nueva
cultura moderna de la construcción industrializada con los deseos de orden y proporción típicos del
renacimiento, basados en trazados reguladores geométricos y en series matemáticas.
La grilla proporciona tres medidas:
113, 70, 43 (en cm), que están en relación áurea
43 + 70 = 113, y 113 + 70 = 183 (la altura del hombre promedio según L.C.);
113 + 70 + 43 = 226 (hombre con el brazo arriba).
La medida 113 proporciona la sección aurea 113- 70, esbozando una primera serie, llamada SERIE
ROJA 4 – 6 – 10 – 16 – 27 – 43 – 70 – 113 – 183 – 296, etc.
La medida 226 (113×2) proporciona la sección aurea 140-86, esbozando la 2da serie o SERIE
AZUL 13 – 20 – 33 – 53 – 86 – 140 – 226 – 366 – 592, etc.
Entre estos valores, o medidas, se pueden señalar los que característicamente se relacionan con la
estatura humana (ver imagen)
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En la Unidad Habitacional de Marsella se verifica la escala propuesta en el Modulor y expone más
abiertamente los recursos de esta gama de intervalos armónicos. Sin embargo, la primera casa
basada en la aplicación del Modulor, es la Casa Curutchet, en La Plata, Argentina
7
. Ello otorga a
esta obra una relevancia enorme en el estudio de estas creaciones de Le Corbusier
8
Le Corbusier advierte, sin embargo, que la mera aplicación del orden y el sistema de reglas no
resuelven por sí mismo los problemas del proyecto arquitectónico. De ahí la insistencia continuada
en sus escritos sobre el carácter meramente instrumental del Modulor, las normas y los trazados
reguladores. Para Le Corbusier, el conocimiento de estos instrumentos es un antídoto frente a lo
arbitrario, coincidiendo así con el legado de tratadistas como Vitruvio, Alberti y Viollet-le-Duc.
7
Para poder aplicar el Modulor a la Casa Curutchet fue necesario que Amancio Willams, encargado de la construcción,
obtuviese de parte de las autoridades locales el reconocimiento como Obra de interés científico, puesto que las medidas
no respetaban los mínimos permitidos en muchos casos.
8
De hecho, se las considera, cada una en su escala, puntos de articulación entre las villas heroicas, cuyo ejemplo cúlmine
es la Ville Savoye, previas a la Segunda Guerra y toda la obra posterior.
