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1. Una joyería produce dos tipos de joyas: El tipo 1 y el tipo 2. Cada joya tipo 1 contiene 2 rubíes y 4 diamantes y se vende a $10/Unidad y tiene un costo de producción de $5/Unidad. Cada joya tipo 2 contiene 1 rubí y 1 diamante, se vende a $6/Unidad y tiene un costo de producción de $4/Unidad. La joyería dispone de 30 rubíes y 40 diamantes para producir las joyas. Por la situación del mercado, se deben producir al menos 10 joyas del tipo 2. JOYAS
RUBÍE
S
DIAMANTE
S
BENEFICIO(VENT
A)
COSTO(PRODUCCIO
N)
TIPO 1 (x) 2 4 $10 $ TIPO 2 (y) 1 1 $6 $ CANTIDAD DISPONIBLE S
30 40 X X
Restricciones 2x+y ≤ 30 (Restricción debida a la cantidad de rubíes disponibles) 4x+y ≤ 40 (Restricción debida a la cantidad de diamantes disponibles) y ≥ 10 (Restricción debida a las condiciones del mercado) x ≥ 0 y ≥ a) Formule el problema de programación lineal para maximizar la utilidad neta de la joyería (ventas - costos). R/ Zmax = x (venta-costo) + y (venta-costo) Zmax = x (10-5) + y (6-4) Zmax = x (10-5) + y (6-4) Zmax = x (5) + y (2) Zmax = 5x + 2y b) En un plano cartesiano, grafique las restricciones y sombree el área de soluciones factibles.
c) Grafique la función objetivo y determine en qué dirección (izquierda o derecha) se debe desplazar para que su valor aumente (maximice).
R/ para que su valor aumente se debe desplazar en la dirección de la derecha para alcanzar su máximo. d) ¿Cuántas joyas de cada tipo se deben producir, para maximizar la utilidad neta?
Se debe evaluar los diferentes puntos o coordenadas para ver cuales cumplen las restricciones y con cual se obtiene la máxima utilidad neta los cuales en el ejercicio son 4: P (0,10) y ≥ 10 10 ≥ 10 2x+y ≤ 30 2(0) +10 ≤ 30 10 ≤ 30 4x+y ≤ 40 4(0) +10 ≤ 40 10 ≤ 40 Cumple las restricciones (Verdadero) Zmax = 5x + 2y Zmax = 5(0) + 2(10) Zmax = 20
P (0,30) y ≥ 10
P (5,20)
y ≥ 10 20 ≥ 10 2x+y ≤ 30 2(5) +20 ≤ 30 10+20 ≤ 30 30 ≤ 30 4x+y ≤ 40 4(5) +20 ≤ 40 20 + 20 ≤ 40 40 ≤ 40 Cumple las restricciones (Verdadero) Zmax = 5x + 2y Zmax = 5(5) + 2(20) Zmax = 25 + Zmax = 65 R/ según lo planteado la mejor opción para maximizar la utilidad neta es producir (5,20), es decir 5 joyas de Tipo 1 y 20 joyas de Tipo 2 e) Cuál es la máxima utilidad neta? R/ Según la respuesta anterior: (5,20) Zmax = 5x + 2y Zmax = 5(5) + 2(20) Zmax = 25 + Zmax = 65 La máxima utilidad neta es 65 f) Cuántos rubíes y diamantes sobran?
R/ Sobran 0 rubíes y 0 diamantes debido que al producir 5 joyas de tipo 1 y 20 joyas de tipo2 se utilizan exactamente la cantidad de estos productos en su totalidad.
2. Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C; puede fabricar dos (2) productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden: Primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra:
- Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto
- Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana
- La ganancia por unidad vendida de cada producto TIPO DE MAQUINA PRODUCTO 1 PRODUCTO 2
HORAS DISPONIBLES POR
SEMANA
A 2 2 16
B 1 2 12
C 4 2 28
GANANCIA POR UNIDAD 1 1.
1. Definición de las variables: Producto 1 (x) Producto 2 (y) 2. Función objetivo: Zmax = x + 3/2 y 3. Restricciones: 2x+2y ≤ 16 x+2y ≤ 12 4x+2y ≤ 28 4. Condición de no negatividad: x ≥ 0 y ≥ 0 5. Solución Mediante el método gráfico:
¿Qué cantidad de cada producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para obtener la máxima ganancia? Se debe evaluar los diferentes puntos o coordenadas para ver cuales cumplen las restricciones y con cual se obtiene la máxima utilidad neta los cuales en el ejercicio son 4 puntos: P (0,6) 2x+2y ≤ 16 2(0) +2(6) ≤ 16 12 ≤ 16 x+2y ≤ 12 (0) +2(6) ≤ 12 12 ≤ 12 4x+2y ≤ 28 4(0) +2(6) ≤ 28 12 ≤ 28 Cumple las restricciones (Verdadero) Zmax = x + 3/2 y Zmax = 0 + 3/2 (6) Zmax = 18/
Zmax = 9
P (7,0) 2x+2y ≤ 16 2(7) +2(0) ≤ 16 14 ≤ 16 x+2y ≤ 12 (7) +2(0) ≤ 12 7 ≤ 12 4x+2y ≤ 28 4(7) +2(0) ≤ 28 28 ≤ 28 Cumple las restricciones (Verdadero) Zmax = x + 3/2 y Zmax = 7 + 3/2 (0) Zmax = 7
P (4,4) 2x+2y ≤ 16 2(4) +2(4) ≤ 16 8+8 ≤ 16 16 ≤ 16 x+2y ≤ 12 (4) +2(4) ≤ 12 4+8 ≤ 12 12 ≤ 12 4x+2y ≤ 28 4(4) +2(4) ≤ 28
¿Cuantas horas semanales sobran en cada departamento? P (4,4) 2x+2y ≤ 16 2(4) +2(4) ≤ 16 8+8 ≤ 16 16 ≤ 16 x+2y ≤ 12 (4) +2(4) ≤ 12 4+8 ≤ 12 12 ≤ 12 4x+2y ≤ 28 4(4) +2(4) ≤ 28 16+8 ≤ 28 24 ≤ 28 Cumple las restricciones (Verdadero) Zmax = x + 3/2 y Zmax = 4 + 3/2 (4) Zmax = 4 + 6 Zmax = 10 R/ Según lo planteado las horas semanales que sobran en cada departamento en el punto (4,4) donde se obtiene la máxima ganancia son: Maquina A: 0 horas sobran Maquina B: 0 horas sobran Maquina C: 4 horas sobran
- Problema de Mezcla Para la elaboración de un producto se requiere de 4 materias primas: A, B, C y D, que contienen cierto factor f tal como se indica en la tabla siguiente: MATERIA PRIMA CONTENIDO FACTOR f(%) COSTO POR Kg A 51 $ B 11 $ C 14 $2. D 36 $ Debe obtenerse una mezcla de 1.000 Kg. De producto, cuyo contenido de factor f sea por lo menos del 18% y con la condición adicional que el total de materia prima B y C no constituya más del 20% del total de la mezcla. Se desea el mínimo costo de obtención. Materia Prima A: X 1 Materia Prima B: X 2 Materia Prima C: X 3 Materia Prima D: X^ 4 X 1 + X (^) 2 + X 3 + X 4 = 1000 0.51 X 1 +0.11 X 2 +0.14 X 3 + 0.36 X 4 ≥ 18 X 2 + X 3 ≤ 20 X 1 , X 2 , X 3 , X (^) 4 ≥ 0 Zmin = 4 X 1 + 2 X 2 +2.4 X 3 + 3 X 4
y ≤ 90 (Restricción debido a la cantidad libros del articulo B que procesa la planta térmica) 3x+2y ≤ 480 (Restricción debido a la cantidad de horas de la maquina M1 disponibles) 2x+y ≤ 480 (Restricción debido a la cantidad de horas de la maquina M2 disponibles) x+2y ≤ 140 (Restricción debido a la cantidad de libras x disponibles) 2x+3y ≤ 80 (Restricción debido a la cantidad de libras y disponibles) 200x+300y ≤ 60000 (Restricción debido a la cantidad del presupuesto para comprar material x, y)
4. Condición de no negatividad: x ≥ 0 y ≥ 0 5. Solución Mediante el método gráfico:
P (0,26)
Cumple las restricciones (Verdadero) Zmax = 4000x + 5000y
- x+y ≤
- 0+26 ≤
- 26 ≤
- y ≤
- 26 ≤
- 3x+2y ≤
- 3(0) +2(26) ≤
- 0+52 ≤
- 52 ≤
- 2x+y ≤
- 2(0) +26 ≤
- 0+26 ≤
- 26 ≤
- x+2y ≤
- 0+2(26) ≤
- 52 ≤
- 2x+3y ≤
- 2(0) +3(26) ≤
- 0+78 ≤
- 78 ≤
- 200x+300y ≤
- 200(0) +300(26) ≤
- 0+7800 ≤
- 7800 ≤
- Zmax = 0 + Zmax = 4000(0) + 5000(26)
- Zmax =
- x+y ≤ P (40,0)
- 40+0 ≤
- 40 ≤
- y ≤
- 0 ≤
- 3x+2y ≤
- 3(40) +2(0) ≤
- 120+0 ≤
- 120 ≤
- 2x+y ≤
- 2(40) +0 ≤
- 80+0 ≤
- 80 ≤
- x+2y ≤
- 40+2(0) ≤
- 40 ≤
- 2x+3y ≤
- 2(40) +3(0) ≤
- 80+0 ≤
- 80 ≤
- 200x+300y ≤
- 200(40) +300(0) ≤
- 8000+0 ≤
- 8000 ≤
- Zmax = 160000 + Zmax = 4000(40) + 5000(0)
- Zmax =
