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300 Unidad 11 | Cuerpos geométricos
11 Cuerpos geométricos
ANALIZA Y CONTESTA
¿Qué cuerpos geométricos tridimensionales conoces? Respuesta libre.
¿Cuáles relacionarías con los huesos en forma de barra y el Toblerone que se mencionan en el texto? El hueso de barra se relaciona con el ortoedro, y el Toblerone, con el prisma triangular.
En el texto se afirma que solo existen cinco cuerpos geométricos con caras idénticas formadas por polígonos regulares. ¿Sabes cuáles son? Los cinco cuerpos geométricos con caras idénticas formadas por polígonos regulares son los poliedros regulares o sólidos platónicos: tetraedro, hexaedro o cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Observa los dados de la imagen. ¿Crees que son sólidos platónicos? ¿Por qué? Los dados de la imagen no son sólidos platónicos porque todas sus caras no son polígonos regulares e idénticos.
INVESTIGA Y PON EN COMÚN
Muchos juegos utilizan dados para poder jugar como en el juego de Ur. ¿Lo conoces? ¿Cómo se utiliza el dado en ese juego? En el juego de Ur se utilizan tres dados con forma de tetraedro, cada uno de ellos con dos vértices marcados y dos vértices sin marcar. En cada tirada, la cantidad de vértices marcados que quedan hacia arriba determina la puntuación.
¿Existen juegos actuales en los que se usen dados especiales con formas distintas de la del clásico dado cúbico? Respuesta modelo: en los juegos de rol.
Actividades propuestas
1. Identifica en el siguiente dibujo los elementos geométricos que aparecen.
Aparecen dos planos secantes y una recta que los corta. Además hay dos rectas perpendiculares.
2. Indica si los siguientes elementos determinan un único plano del espacio. a) Tres puntos alineados. b) Los tres vértices de un triángulo. c) Cuatro puntos cualesquiera. a) Por tres puntos alineados pasan infinitos planos. b) Tres puntos no alineados determinan un único plano. c) Cuatro puntos en el espacio no siempre son coplanarios y, por tanto, no siempre determinan un plano.
Cuerpos geométricos | Unidad 11 301
**3. Actividad resuelta.
- Nombra tres caras, tres aristas y tres vértices de la figura.**
Indica las posiciones relativas: a) Entre las aristas señaladas. b) Entre las caras señaladas. c) Entre las aristas y las caras señaladas. Caras: ABFE , EFGH , HDCG Aristas: EA , AB , BF Vértices: A , B , C a) EA y AB son perpendiculares, EA y BF son paralelas y AB y BF son perpendiculares. b) ABFE y EFGH son secantes, ABFE y HDCG son paralelas y EFGH y HDCG son secantes. c) EA , AB y BF están contenidas en ABFE , cortan al plano que contiene a la cara EFGH y son paralelas a HDCG.
**5. Actividad resuelta.
- Dibuja ángulos diedros con las siguientes amplitudes.**
a) 45º c) 180º b) 135º d) 330º a) c)
b) d)
7. Calcula los ángulos complementario y suplementario de un ángulo diedro de 78º 35' de amplitud.
Complementario: 90º – 78º 35' = 11º 25' Suplementario: 180º – 78º 35' = 101º 25'
**8. Actividad interactiva.
- Cuenta las caras, aristas y vértices de los siguientes poliedros y comprueba que cumplen el teorema de** Euler. a) b)
a) 6 caras, 12 aristas y 8 vértices ⇒ Se cumple el teorema de Euler porque C + V = A + 2 = 14. b) 10 caras, 24 aristas y 16 vértices ⇒ Se cumple el teorema de Euler porque C + V = A + 2 = 26.
A B
C
G
E
H
F
D
Cuerpos geométricos | Unidad 11 303
15. Calcula el área total y el volumen de un prisma regular hexagonal de 6 cm de altura, sabiendo que el lado de la base mide 4 cm, y su apotema, 3,5 cm. A (^) total = Alateral + 2 · Abase = p · h + p · ab = 4 · 6 · 6 + 4 · 6 · 3,5 = 228 cm 2
V = Abase · h = 4 6 3,5^6 2
⋅ ⋅ (^) ⋅ = 252 cm 3
16. Halla el área total y lateral de un cubo de arista a cm.
Atotal = Alateral + 2 · Abase = 4 · a · a + 2 a^2 = 4 a^2 + 2 a^2 = 6 a^2 cm 2 V = Abase · h = a^2 · a = a^3 cm 3
17. Dibuja un ortoedro de dimensiones 4, 5 y 6 cm.
a) Dibuja su desarrollo plano indicando las dimensiones del mismo. b) Calcula sus áreas lateral y total.
a)
b) Alateral = 2 · 6 · 5 + 2 · 4 · 5 = 100 cm^2 Atotal = Alateral + 2 · Abase = 100 + 2 · 6 · 4 = 148 cm^2
18. Calcula el volumen de los siguientes prismas.
a) b)
a) Abase = 7 34 35,3^ 4200, 2
⋅ ⋅ (^) = cm 2
V = Abase · h = 4200,7 · 34 = 142 823,8 cm 3 b) Para hallar el área de la base, calculamos la apotema de la base utilizando el teorema de Pitágoras, y aplicando que en un hexágono regular el radio mide lo mismo que el lado: ab^2 = 5^2 – 2,5^2 = 18,75 ⇒ ab = (^) 18,75 = 4,33cm
Abase = 6 5 4,33^ 64, 2
⋅ ⋅ (^) = cm 2 ⇒ V = Abase · h = 64,95 · 12 = 779,4 cm 3
19. Una piscina de 10 m x 6 m se ha cubierto con una capa de hielo de 3 cm de espesor. ¿Cuántos litros de hielo hay? V = 10 · 6 · 0,03 = 1,8 m 3 = 1800 dm 3 = 1800 L
304 Unidad 11 | Cuerpos geométricos
20. Una empresa fabrica envases de medio litro de base cuadrada. ¿Cuánto cartón se necesita para cada envase? 0,5 L = 0,5 dm 3 = 500 cm 3 Llamamos a a la medida del lado de la base, en centímetros, y h a la altura del envase, en centímetros.
V = a^2 · h = 500 cm 3 ⇒ h = (^5002) a La cantidad de cartón necesaria para cada envase es:
Atotal = 2 a^2 + 4 ah = 2 a^2 + 4 a · (^5002) a
= 2 a^2 + 2000 a
2 a^32000 a
**21. Actividad interactiva.
- Di cuáles de los siguientes poliedros son pirámides y, en caso afirmativo, clasifícalas.** a) b) c) d)
a) No es una pirámide. c) Pirámide pentagonal recta, cóncava e irregular. b) Pirámide triangular recta, convexa y regular. d) No es una pirámide.
23. Dibuja en tu cuaderno el desarrollo plano de las pirámides de la actividad anterior. Pirámide triangular Pirámide pentagonal 24. Calcula el área total y el volumen de estas pirámides. a) b)
a) Para hallar el área lateral, calculamos la apotema de la pirámide utilizando el teorema de Pitágoras:
ap^2 = 5^2 + 1,5^2 = 27,25 ⇒ ap = 27,25 = 5,22cm
Atotal = Alateral + A (^) base = 1 3 4 5,22 32 2
⋅ ⋅ ⋅ + = 40,32 cm 2
V = 9 5^ 15 cm^3 3 3
A base ⋅ h = ⋅ =
306 Unidad 11 | Cuerpos geométricos
27. Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) La superficie lateral de un cilindro es un rectángulo. b) Los cilindros oblicuos son cuerpos de revolución. c) Los cilindros son poliedros de tres caras. d) Las bases de los cilindros siempre son círculos. e) La generatriz siempre es igual a la altura. a) Falsa. Por ejemplo, la superficie lateral de un cilindro oblicuo no es un rectángulo. b) Falsa. Un cilindro oblicuo es el resultado de cortar un cilindro recto por dos planos paralelos entre sí y que no sean perpendiculares ni paralelos al eje del cilindro recto. c) Falsa. Un cilindro es un cuerpo redondo, no un poliedro. d) Falsa. Por ejemplo, las bases de un cilindro oblicuo son elipses. e) Verdadera. 28. Dibuja en tu cuaderno un cilindro cuyo radio de la base y altura midan 4 cm. Dibuja también su desarrollo calculando, previamente, las dimensiones del rectángulo que representa su superficie lateral. La altura del rectángulo de la base es h = 2π r = 2 · 3,14 · 4 = 25,12 cm. 29. Calcula el área total y el volumen de este cilindro.
Atotal = Alateral + 2 · A (^) base = 2π rh + 2π r^2 = 2 · 3,14 · 6 · 15 + 2 · 3,14 · 6^2 = 791,28 cm 2 V = Abase · h = π · r^2 · h = 3,14 · 6^2 · 15 = 1695,6 cm 3
30. Calcula el área lateral de los cilindros que se generan al girar el rectángulo alrededor del lado AB y alrededor del lado AD****. ¿Son iguales? ¿Y sus volúmenes?
Alrededor del lado AB : Alateral = 2π rh = 2 · π · 4 · 2 = 16π cm 2 y V = Abase · h = π · r^2 · h = π · 4^2 · 2 = 128π cm 3 Alrededor del lado AD : Alateral = 2π rh = 2 · π · 2 · 4 = 16π cm 2 y V = Abase · h = π · r^2 · h = π · 2^2 · 4 = 16π cm 3 Las áreas laterales de los cilindros que se generan en ambos casos son iguales. Los volúmenes son distintos, ya que el volumen del cilindro que se genera al girar el rectángulo alrededor del lado AB es 8 veces mayor que el volumen del cilindro que se genera al girar el rectángulo alrededor del lado AD.
Cuerpos geométricos | Unidad 11 307
31. Calcula el volumen de esta arandela.
Varandela = Vcilindro grande – V (^) cilindro pequeño = π · 5^2 · 5 – π · 2^2 · 5 = 105 · 3,14 = 329,7 cm 3
32. Indica cuáles de las siguientes figuras son conos y, en caso afirmativo, señala sus elementos.
a) b) c) d)
a) Cono oblicuo. b) Tronco de cono. c) Cono recto. d) No es un cono. a) c)
33. Di si son verdaderas o falsas estas afirmaciones.
a) La superficie lateral de un cono es un triángulo. b) Los conos son poliedros de dos caras. c) Con un mismo triángulo rectángulo se pueden obtener dos conos distintos. a) Falsa. La superficie lateral de un cono recto es un sector circular. b) Falsa. Un cono es un cuerpo redondo, no un poliedro. c) Verdadera. Al girar, sobre cada cateto, un triángulo rectángulo cuyos catetos sean distintos, se generan dos conos diferentes.
34. Calcula el radio de la base de un cono si su altura mide 4 cm, y su generatriz, 5 cm.
Llamando r al radio de la base, y aplicando el teorema de Pitágoras:
r^2 = 5^2 – 4^2 = 9 ⇒ r = 9 = 3 cm
35. Dibuja el desarrollo de un tronco de cono de 4 cm de altura, 3 cm de radio mayor y 1 cm de radio menor.
Cuerpos geométricos | Unidad 11 309
40. Dibuja un plano que corte a una esfera. ¿Qué figura geométrica determina la intersección? ¿En qué partes queda dividida la esfera?
La intersección del plano y la esfera determinan un círculo. La esfera queda dividida en dos casquetes esféricos.
41. Dibuja dos superficies esféricas ambas de radio 5 cm y tales que sus centros disten 8 cm. ¿Qué línea determina su intersección?
La intersección de las dos superficies esféricas es una circunferencia.
42. Halla el radio de esta superficie esférica.
Aplicando el teorema de Pitágoras: r^2 = 6^2 + 8^2 = 100 ⇒ r = 100 = 10 cm.
43. Calcula el área de las esferas cuyo radio se indica.
a) 2 cm b) 4,75 dm c) 0,5 m a) A = 4 · π · r^2 = 4 · 3,14 · 2^2 = 50,24 cm 2 b) A = 4 · π · r^2 = 4 · 3,14 · 4,75^2 = 283,4 dm 2 c) A = 4 · π · r^2 = 4 · 3,14 · 0,5^2 = 3,14 m 2
44. Halla el área de las siguientes superficies esféricas.
a) b)
a) A = 4 · π · r^2 = 4 · 3,14 · 2,5^2 = 78,5 cm^2 b) A = 4 · π · r^2 = 4 · 3,14 · 4^2 = 200,96 cm 2
45. Calcula la superficie de la cáscara de una naranja de diámetro 4,5 cm.
A = 4 · π · r^2 = 4 · 3,14 · 2,25^2 = 63,585 cm 2
46. Calcula el volumen del cuerpo geométrico que se genera al girar un semicírculo de radio 3 cm alrededor de su diámetro.
Se genera una esfera de radio 3 cm ⇒ V =
⋅ π ⋅ r = 4 3,14 3^3 3
⋅ ⋅ (^) = 113,04 cm 3.
310 Unidad 11 | Cuerpos geométricos
47. Calcula la superficie y el volumen de una esfera de diámetro 8 centímetros.
A = 4 · π · r^2 = 4 · 3,14 · 4^2 = 200,96 cm 2 y V =
⋅ π ⋅ r =4 3,14 4^3 3
⋅ ⋅ (^) = 268 cm 3.
48. Halla el volumen de una semiesfera de radio 3 metros.
V =
⋅ π ⋅ r ⋅
4 3,14 3^3
⋅ ⋅ (^) = 56,52 cm 3.
49. El diámetro del planeta Marte mide 6795 km. a) ¿Cuánto mide su superficie? b) ¿Cuál es su volumen? a) A = 4 · π · r^2 = 4 · 3,14 · 3397,5^2 = 144 980 158,5 km^2
b) V =
⋅ π ⋅ r =4 3,14 3397,5^3 3
⋅ ⋅ (^) = 1,64 · 10 (^11) km 3
**50. Actividad resuelta.
- Si una pelota de tenis tiene un radio de 3,3 cm y una pelota de baloncesto tiene un diámetro de 24 cm,** ¿cuántas veces es mayor el volumen de la pelota de baloncesto que el de la de tenis? Calculamos el volumen de cada cuerpo:
V (^) tenis =
⋅ π ⋅ r =4 3,14 3,3^3 3
⋅ ⋅ (^) = 150,46 cm 3 y Vbaloncesto = 4 3 3
⋅ π ⋅ r = 4 3,14 12^3 3
⋅ ⋅ (^) = 7234,56 cm 3
Como 7234, 150, 46
= 48,08, el volumen de la pelota de baloncesto es aproximadamente 48,08 veces el de la pelota de tenis.
52. La superficie de la Tierra se divide en 24 husos horarios imaginarios. Halla el área de un huso horario terrestre. El radio medio de la Tierra es de 6370 kilómetros. La superficie de la Tierra es A Tierra = 4 · π · r^2 = 4 · 3,14 · 6370^2 = 510 000 000 km^2.
Por tanto, la superficie de cada huso será de 510 000 000 24
= 21 250 000 km^2.
**53. Actividad interactiva.
- Observa la figura e indica:**
a) Dos planos paralelos y dos planos secantes. b) Dos rectas paralelas, dos rectas secantes y dos rectas que se crucen. c) Una recta paralela a un plano y una recta secante a un plano. a) Los planos determinados por ABCD y EFGH son paralelos, y los determinados por ABFE y ABCD son secantes. b) AB y CD son rectas paralelas, AB y BF son rectas secantes y AB y FG son rectas que se cruzan. c) La recta BC es paralela al plano EFGH , y la recta BF corta en F al plano EFGH.
312 Unidad 11 | Cuerpos geométricos
60. Completa la siguiente tabla, en la que aparece el número de caras, vértices y aristas de varios poliedros convexos. Caras Aristas Vértices Caras Aristas Vértices Poliedro 1 (^8 12) • •• Poliedro 1 8 12 6 Poliedro 2 • •• 30 20 Poliedro 2 12 30 20 Poliedro 3 4 • •• 4 Poliedro 3 4 6 **4
- Si se denomina el orden de un vértice en un poliedro al número de aristas que concurren en él, copia y** completa la siguiente tabla en tu cuaderno. Caras Orden de los vértices Caras Orden de los vértices Tetraedro (^4) • •• Tetraedro 4 3 Cubo • •• 3 Cubo 6 3 Octaedro • •• • •• Octaedro 8 4 Dodecaedro (^) • •• • •• Dodecaedro (^) 12 3 Icosaedro (^) • •• • •• Icosaedro 20 5 62. Dibuja, de forma aproximada, un poliedro en el que tres de los ángulos diedros sean de 60º. Se trata de un prisma triangular recto cuyas bases son triángulos equiláteros. 63. Cuenta el número de caras, de vértices y de aristas del poliedro de la figura.
¿Verifica el teorema de Euler? El poliedro tiene 10 caras, 15 vértices y 21 aristas. No verifica el teorema de Euler porque C + V = 25 ≠ A + 2 = 23.
64. Si se considera un octaedro y los puntos que dividen sus lados en tres partes iguales, se corta mediante planos determinados por estos puntos y se prescinde de las esquinas formadas, se obtiene el poliedro denominado octaedro truncado. a) ¿Qué polígonos forman sus caras? b) ¿Por qué se trata de un poliedro semirregular? c) ¿Se trata de un poliedro cóncavo o convexo? d) Comprueba que verifica el teorema de Euler. a) El octaedro truncado tiene 14 caras: 8 hexágonos regulares y 6 cuadrados. b) El octaedro truncado es un poliedro semirregular o arquimediano porque sus caras son polígonos regulares, aunque no todos iguales, y en todos sus vértices concurren los mismos polígonos en el mismo orden. c) El octaedro truncado es un poliedro convexo. d) El poliedro tiene 14 caras, 24 vértices y 36 aristas. Verifica el teorema de Euler porque C + V = A + 2 = 38.
Cuerpos geométricos | Unidad 11 313
65. Clasifica los siguientes prismas y pirámides.
a) c) e)
b) d) f)
a) Pirámide hexagonal recta, convexa e irregular. d) Pirámide triangular recta, convexa y regular. b) Prisma pentagonal recto, cóncavo e irregular. e) Pirámide cuadrangular oblicua, cóncava e irregular. c) Prisma triangular recto, convexo e irregular. f) Pirámide triangular oblicua, convexa e irregular.
66. Clasifica las figuras correspondientes a los siguientes desarrollos.
a) b)
a) Ortoedro b) Pirámide cuadrangular regular
67. Calcula el área total de los cuerpos geométricos que admiten los siguientes desarrollos planos.
a) b)
a) A (^) total = 10 · 2^2 = 40 cm 2 b) Atotal = 2 · 5·2·1, 2
68. Los siguientes cuerpos geométricos están formados por bloques cúbicos de 1 cm de arista. Calcula el volumen de cada uno de ellos. a) c)
b) d)
a) V = 16 cm^3 c) V = 42 + 4 · 4 · 4 = 42 + 64 = 106 cm 3 b) V = 6 + 10 + 24 = 40 cm^3 d) V = 7 · 5 · 2 + 4 · 2 + 4 · 4 · 3 = 70 + 8 + 48 = 126 cm 3
Cuerpos geométricos | Unidad 11 315
71. Calcula el volumen de una pirámide de altura 3 cm cuya base es un cuadrado de lado 4 cm.
V =
16 cm 3 3
A base ⋅ h = ⋅ =
72. Dibuja en tu cuaderno un paralelepípedo de dimensiones de la base 4 y 6 cm, y 4 cm de altura.
a) Dibuja su desarrollo plano indicando las dimensiones del mismo. b) Calcula el área lateral y total. c) Calcula su volumen.
a)
b) Alateral = 2 · 4 · 6 + 2 · 4 · 4 = 80 ⇒ A (^) total = 80 + 2 · 4 · 6 = 128 cm 2 c) V = 4 · 4 · 6 = 96 cm 3
73. Dibuja una pirámide regular con base un cuadrado de lado 6 cm y de altura 4 cm.
a) Dibuja su desarrollo plano indicando las dimensiones del mismo. b) Calcula el área lateral y total. c) Calcula su volumen.
a)
b) Para hallar el área lateral, calculamos la apotema de la pirámide utilizando el teorema de Pitágoras:
ap^2 = 4^2 + 3^2 = 25 ⇒ ap = 25 = 5 cm ⇒ Atotal = Alateral + Abase = 1 6 4 5 62 2
⋅ ⋅ ⋅ + = 96 cm^2
c) V =
48 cm 3 3
A base ⋅ h = ⋅ =
316 Unidad 11 | Cuerpos geométricos
74. Calcula el área total y el volumen de un cubo sabiendo que el perímetro de la base es de 24 dm.
El lado del cubo mide a = 24 4
= 6 dm. Por tanto, A (^) total = 6 · 6^2 = 216 dm 3 y V = 6^3 = 216 dm 3.
75. La base de un ortoedro es un rectángulo de 18 dm de perímetro, siendo sus medidas una el doble de la otra. La tercera medida del ortoedro es igual al triple de la menor de la base. A partir de estos datos, calcula el volumen del ortoedro. Llamamos x y 2 x a las medidas del rectángulo de la base: 2 x + 2 · 2 x = 18 ⇒ 6 x = 18 ⇒ x = 3 El rectángulo de la base tiene dimensiones 3 x 6 cm. Y, por tanto, la tercera medida del ortoedro es 9 cm. El ortoedro tiene dimensiones 3 cm, 6 cm y 9 cm. Por tanto, el volumen del ortoedro es V = 3 · 6 · 9 = 162 cm 3. 76. Dibuja en tu cuaderno e indica las dimensiones en cada caso: a) Un cubo de 27 cm^3 de volumen. b) Un ortoedro de 40 cm^3 de volumen.
a) La medida del lado es a = 3 27 = 3 cm. b) Ortoedro de dimensiones 2 cm, 4 cm y 5 cm.
**77. Actividad resuelta.
- Halla el área total y el volumen de los siguientes troncos de pirámide.** a) b)
a) Calculamos el fondo de la base superior, x , puesto que las dos bases son semejantes: 22 12 12 x
= ⇒ 22 x = 144 ⇒ x = 144 22
= 6,55 cm
Hallamos la medida de la arista lateral, a , aplicando el teorema de Pitágoras: a^2 = 10^2 + 5^2 ⇒ a = 11,18 cm. Calculamos la altura, h , de las caras laterales cuyas bases miden 12 cm y 6,55 cm, aplicando el teorema de Pitágoras: 11,18^2 = h^2 + 2,73^2 ⇒ h = 10,84 cm.
Atotal = Abase superior + Abase inferior + Alateral = 12 · 6,55 + 22 · 12 + 2 · (^ )
+ 2 · (^ )
= 78,6 + 264 + 340 + 201,08 = 883,68 cm^2 Para obtener el volumen, restamos el volumen de la parte superior sobrante al volumen de la pirámide completa. Para hallar la altura de la pirámide, utilizamos la semejanza de triángulos. 10, 6 11
x (^) = x + ⇒ 11 x = 6 x + 65,04 ⇒ 5 x = 65,04 ⇒ x = 13 cm
Aplicando el teorema de Pitágoras, y^2 = 13^2 – 6^2 ⇒ y = 11,53 cm. Aplicando de nuevo el teorema de Pitágoras, z^2 = (10,84 + 13) 2 – 11^2 ⇒ z = 21,15 cm.
Por tanto, V (^) tronco = 22 12 21,15^ 12 6,55 11, 3 3
⋅ ⋅ (^) − ⋅ ⋅ = 1559,11 cm 3
318 Unidad 11 | Cuerpos geométricos
83. Calcula el área lateral y total de un cilindro de radio de la base 45 dam y de altura 50 dam. Alateral = 2 · π · 45 · 50 = 2 · 3,14 · 45 · 50 = 14 130 dam 2 ⇒ Atotal = Alateral + 2 · A (^) base = 14 130 + 2 · π · 45^2 = = 14 130 + 2 · 3,14 · 45^2 = 26 847 dam 2 84. Un cono tiene por radio de la base 33 m y por generatriz 65 m. Calcula su área total y su volumen. Alateral = π · 33 · 65 = 3,14 · 33 · 65 = 6735,3 m 2 ⇒ Atotal = Alateral + Abase = 6735,3 + π · 33^2 = 6735,3 + 3,14 · 33^2 = = 10 154,76 m 2 Calculamos la altura del cono, aplicando el teorema de Pitágoras: h^2 = 65^2 – 33^2 = 3136 ⇒ h = 56 m
V = 3
A base ⋅ h = 332 56 3
π ⋅ ⋅ (^) = 63 862,30 m 3
85. Calcula cuántos litros caben en una esfera de radio 125 mm.
V =
⋅ π ⋅ r =4 3,14 125^3 3
⋅ ⋅ (^) = 8 177 083,33 mm 3 ≈ 8,18 dm 3 = 8,18 L
86. Halla el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a) b)
a) Calculamos la altura del cono, aplicando el teorema de Pitágoras: h^2 = 5^2 – 3^2 = 16 ⇒ h = 4 cm.
El volumen del cuerpo geométrico es V = V (^) cilindro + Vcono = π · 7^2 · 5 +
π ⋅ ⋅ (^) = 3,14 · 7 (^2) · 5 +3,14 3^2 3
= 806,98 cm 3. b) El volumen del cuerpo geométrico es V = Vcilindro + Vsemiesfera = π · 3^2 · 3 +
⋅ π ⋅ ⋅
= 3,14 · 3^2 · 3 +
4 3,14 2^3
= 101,53 cm 3.
**87. Actividad resuelta.
- Halla el volumen de los siguientes troncos de cono.** a) b)
a) Para obtener el volumen, restamos el volumen de la parte superior sobrante al volumen del cono completo. Para hallar la altura del cono, utilizamos la semejanza de triángulos. 25 15 20
x (^) = x + ⇒ 20 x = 15 x + 375 ⇒ 5 x = 375 ⇒ x = 75 cm
Por tanto, la altura del cono completo es de 100 cm. El volumen del tronco de cono es, por tanto:
V (^) tronco =
π ⋅ ⋅ (^) − π ⋅ ⋅ = 3,14 20 2 100 3,14 15^2 3 3
⋅ ⋅ (^) − ⋅ ⋅ = 24 204 cm 3
b) Para obtener el volumen, restamos el volumen de la parte superior sobrante al volumen del cono completo. Para hallar la altura del cono, utilizamos la semejanza de triángulos. 5 15 21
x (^) = x + ⇒ 21 x = 15 x + 75 ⇒ 6 x = 75 ⇒ x = 12,5 m
Por tanto, la altura del cono completo es de 17,5 m. El volumen del tronco de cono es, por tanto:
Vtronco =
π ⋅ ⋅ (^) − π ⋅ ⋅ = 3,14 21^2 17,5 3,14 15^2 12, 3 3
⋅ ⋅ (^) − ⋅ ⋅ = 5133,9 m 3
Cuerpos geométricos | Unidad 11 319
89. Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas.
a) Si un punto pertenece a una recta y a un plano, la recta está contenida en el plano. b) Si dos planos son perpendiculares a una recta, son paralelos entre sí. c) Los poliedros que tienen dos caras paralelas iguales son, con seguridad, prismas. d) No existe ninguna pirámide triangular cóncava. e) El número de caras de una pirámide siempre es impar. f) Al cortar un cono por dos planos paralelos a la base, se obtiene un tronco de cono. a) Falsa. La recta puede ser secante al plano en ese punto. b) Verdadera. c) Falsa. Por ejemplo, el antiprisma pentagonal tiene dos caras paralelas iguales, pero sus caras laterales no son paralelogramos. d) Verdadera. e) Falsa. Por ejemplo, el tetraedro tiene cuatro caras. f) Verdadera.
90. Una diagonal de un poliedro es un segmento que une dos de sus vértices que no pertenecen a la misma cara. ¿Cómo son las diagonales en los poliedros convexos? ¿Y en los cóncavos? En los poliedros convexos, las diagonales quedan siempre en su interior. En los poliedros cóncavos, por lo menos una de las diagonales tiene una parte en el exterior. 91. Calcula el área total de un tetraedro si cada una de sus aristas mide 25 centímetros.
Todas las caras del tetraedro son triángulos equiláteros de lado 25 cm. Calculamos la altura de una cara, aplicando el teorema de Pitágoras:
h^2 = 25^2 – 12,5^2 = 468,75 cm ⇒ h = 468,75 = 21,65 cm
El área de una cara será A = 25 21, 2
⋅ (^) = 270,63 cm 2.
Por tanto, el área total del tetraedro es A (^) total = 270,63 · 4 = 1082,52 cm^2.
92. Halla el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.
a) b)
a) V = Vprisma triangular + Vortoedro + 2
V cilindro
Calculamos la altura del prisma triangular, aplicando el teorema de Pitágoras: h^2 = 5^2 – 4^2 = 9 ⇒ h = 3 cm.
Vprisma triangular = 4 3 2
⋅ (^) · 6 = 36 cm 3 V ortoedro = 10 · 6 · 3 = 180 cm^3
3,14 1,5^2
V cilindro (^) = ⋅ ⋅ = cm 3
El volumen del cuerpo es V = Vprisma triangular + Vortoedro + 2
V cilindro (^) = 36 + 180 + 21,20 = 237,2 cm 3.
b) V = Vcono + Vcilindro + Vcubo Calculamos la altura del cono, aplicando el teorema de Pitágoras: h^2 = 5^2 – 2^2 = 21 ⇒ h = 4,58 cm.
V (^) cono =
3,14 2^2 4,
⋅ ⋅ (^) = cm 3 Vcilindro =^ 3,14^ · 2^2 · 15 = 188,4 cm^3 Vcubo = 10^3 = 1000 cm^3
El volumen del cuerpo es V = Vcono + Vcilindro + Vcubo = 19,17 + 188,4 + 1000 = 1207,57 cm^3.
