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En este tema sobre Álgebra repasaremos los conocimientos adquiridos en cursos anteriores sobre polinomios, ecuaciones e inecuaciones, para adentrarnos en los sistemas de ecuaciones, su resolución y representación gráficas, basándonos en el método de resolución de sistemas de ecuaciones, "Método de Gauss", matemático muy importante en Álgebra pues fue el primero en dar una demostración del teorema fundamental del Álgebra.
Monomios. Operaciones
Recordamos previamente el concepto de monomio y sus operaciones. Un monomio viene dado por el producto de números reales e indeterminadas. Llamamos coeficiente de un monomio al número real que multiplica a la indeterminada, o indeterminadas. La indeterminada, o indeterminadas, conforman la parte literal del monomio. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. El grado de un mo- nomio es la suma de todos los exponentes de las letras.
Ejemplo 1 : 3 ab^3 : coeficiente 3 ,parte literal ab^3 , grado 4. − 1 2 x (^4) y (^2) z : coeficiente − 1 2 ,parte literal^ x (^4) y (^2) z , grado 7.
Suma y resta de monomios : La suma o resta de monomios semejantes es otro monomio que tiene por coeficiente, la suma o resta de los coeficientes (números) de los monomios que se suman o se restan y la misma parte literal que los monomios que se suman o se restan. Si los monomios no son semejantes , la suma o resta se deja indicada. Ejemplo 2 : Suma y resta estos monomios si es posible: a) 2 x + 3 x = 5 x b) 3 y + 5 z no se puede c) 5 x^2 − 3 x^2 = 2 x^2 d) 5 xy + 3 xz no se puede Productos y divisiones de monomios : Para multiplicar o dividir monomios, se multiplican o dividen, por un lado, los coeficientes y, por otro, las partes literales.
Ejemplo 3 : Multiplica y divide los siguientes monomios. a) 4 x^2 · (− 2 x ) = − 8 x^3 b) 23 xy^4 · 6 x^2 y = 4 x^3 y^5 c) 9 x
(^5) y 2 3 x^2 y = 3 x
(^3) y
Polinomios. Operaciones
Un polinomio es una expresión construida a partir de la suma de monomios. El grado de un polinomio viene dado por el mayor grado de sus monomios.
Ejemplo 4 : 1 7 ·^ x (^2) − 32 · x (^3) + 8 es un polinomio de grado 3 en la variable x. − 5 · y^4 + 6 · x^2 + 11 · x es un polinomio de grado 4 en las indeterminadas x e y.
Si fijamos, o escogemos, un valor concreto para la variable de un polinomio aparece un número real, el valor numérico del polinomio para ese valor determinado de la variable.
Ejemplo 5 : Si evaluamos el polinomio P ( x ) = − 3 x^4 + 15 x^2 +2 en x = 5 obtenemos el número: P (5) = − 3 · 54 + 15 · 52 + 2 = − 3 · 625 + 5 + 2 = −1875 + 7 = − 1868
Si evaluamos el polinomio Q ( x ) = 4 x^3 + 3 x − 7 en x = − 1 es Q (−1) = 4 · (−1)^3 + 3 · (−1) − 7 = 4 · (−1) − 3 − 7 = − 4 − 10 = − 14 Suma de polinomios : Como un polinomio es una suma de monomios, la suma de dos polinomios es otro polinomio. A la hora de sumar dos polinomios procedemos a sumar los monomios de igual parte literal.
Ejemplo 6 : (7 x^2 − 5 x + 3)+ (2 x^2 + 9 x − 8) = (7 x^2 + 2 x^2 ) +(− 5 x + 9 x ) +(3 − 8) = 9 x^2 + 4 x − 5 Resta de polinomios : Recordar que el polinomio opuesto de otro se obtiene simplemente cambiando el signo de cada monomio. La resta de un polinomio consiste en sumar a un polinomio el opuesto de otro.
Ejemplo 7 : Dado los polinomios P ( x ) = 2 x^4 − 3 x^2 +6 y el polinomio Q ( x ) = − 7 x^4 +6 x^2 +7.
P ( x )− Q ( x ) = (2 x^4 − 3 x^2 +6)−(− 7 x^4 +6 x^2 +7) = (2 x^4 − 3 x^2 +6)+(7 x^4 − 6 x^2 −7) = 9 x^4 − 9 x^2 − 1
Ejercicio : Resuelve los siguientes cuadrados mágicos:
x^3 + 2 x 2 x^3 + 5 x x^3 − x Suma 3 x^3 + 6 x
3 x^2 + 4 x 2 x^2 + 5 x 4 x^2 − x Suma 9 x^2 + 12 x Producto de polinomios : El resultado del producto de polinomios siempre será otro poli- nomio.
Ejemplo 8 : 3 x^2 · (2 x^2 − 4 x + 6) = (3 x^2 · 2 x^2 ) − (3 x^2 · 4 x ) + (3 x^2 · 6) = 6 x^4 − 12 x^3 + 18 x^2 ( x + 6) · ( x^2 − 2 x ) = ( x + 6) · x^2 + ( x + 6) · (− 2 x ) = ( x^3 + 6 x^2 ) + (− 2 x^2 + 12 x ) = x^3 + 4 x^2 + 12 x Productos notables de polinomios : En este apartado vamos a destacar una serie de productos concretos de polinomios que surgen frecuentemente.
( a + b )^2 = a^2 + 2 ab + b^2 ( a − b )^2 = a^2 − 2 ab + b^2 ( a + b ) · ( a − b ) = a^2 − b^2
Ejemplo 9 : ( a + 2)^2 = a^2 + 2 · a · 2 + 2^2 = a^2 + 4 a + 4 ( x − 5)^2 = x^2 − 2 · x · 5 + 5^2 = x^2 − 10 x + 25 (7 x + 5)^2 = (7 x )^2 + 2 · 7 x · 5 + 5^2 = 49 x^2 + 70 x + 25 ( x − 3 y )^2 = x^2 − 2 · x · 3 y + (3 y )^2 = x^2 − 6 xy + 9 y^2 (2 x + 1) · (2 x − 1) = (2 x )^2 − 12 = 4 x^2 − 1 ( x + 2) · ( x − 2) = x^2 − 22 = x^2 − 4 División de polinomios : Dados dos polinomios p(x) y q(x), la división de p(x), polinomio dividendo, entre q(x), polinomio divisor, nos proporcionará otros dos polinomios, el polinomio cociente c(x) y el polinomio resto r(x). También aquí pesará una exigencia sobre el polinomio resto: su grado deberá ser menor que el grado del polinomio divisor.
El cociente es − x^3 + 6 x^2 − 18 x + 49 y el resto − 143.
p ( x ) = − x^4 + 3 x^3 − 5 x + 4 = ( x + 3) · (− x^3 + 6 x^2 − 18 x + 49) + (−143)
Si evaluamos p ( x ) en x = − 3 no puede dar cero, pero ¿qué valor resulta? p (−3) = (−3 + 3) · ((−3)^3 − 6 · (−3)^2 − 18 · (−3) + 49)) + (−143) = 0 + (−143) = − 143 Naturalmente hemos obtenido el resto anterior. Vemos que coinciden, el valor numérico del polinomio y el resto de la división.
Factorización de polinomios
Raíces de un polinomio : Dado un polinomio p ( x ) diremos que un número real concreto a es una raíz , o un cero , del polinomio p , si al evaluar p en x = a obtenemos el número 0 , esto es, si p ( a ) = 0. Un polinomio tiene, como mucho, tantas raíces como indica su grado. Dado un polinomio cualquiera cuyos coeficientes son todos números enteros, sus raíces en- teras, si las tuviera, se encuentran necesariamente entre los divisores enteros de su término independiente.
Ejemplo 13 : Consideramos el polinomio s ( x ) = 2 x^3 + 2 x^2 − 8 x − 8.
- El número 2 es una raíz de s ( x ), puesto que s (2) = 2 · 23 + 2 · 22 − 8 · 2 − 8 = 16 + 8 − 16 − 8 = 0
- Otra raíz de s ( x ) es el número -1: s (−1) = 2 · (−1)^3 + 2 · (−1)^2 − 8 · (−1) − 8 = −2 + 2 + 8 − 8 = 0
- En cambio, el número 1 no es una raíz de s ( x ) s (1) = 2 · 13 + 2 · 12 − 8 · 1 − 8 = 2 + 2 − 8 − 8 = − 12 Ejemplo 14 : Dado el polinomio P ( x ) = 5 x^3 − 2 x − 12 , los únicos números enteros que pueden ser raíces de este polinomio son: ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 12
Factorización de polinomios : Todo polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales, alguna de las cuales puede aparecer repetida entre esos no más de n números reales. Basándonos en el cálculo de las raíces de un polinomio vamos a realizar el proceso de des- composición de un polinomio en forma de producto de otros polinomios más sencillos. Un polinomio P ( x ) es divisible por ( x − a ) ⇔ a es una raíz de P ( x ). Decimos que un polinomio es reducible si admite una factorización mediante polinomios de grado inferior al suyo. En caso contrario el polinomio será irreducible.
Ejemplo 15 Descomponer en factores irreducibles el polinomio P ( x ) = x^4 − 4 x^3 + 5 x^2 − 2 x. 1 º) Si puede sacarse factor común, un número o x , se saca: P ( x ) = x · ( x^3 − 4 x^2 + 5 x − 2).
2 º) Hay que encontrar una de sus raíces. Para polinomios de segundo grado se encuentran resolviendo la ecuación P ( x ) = 0. Si el polinomio es de grado mayor o igual a 3, se buscan raíces enteras entre los divisores del término independiente: se encuentran probando, sustituyendo. En nuestro caso, las posibles raíces enteras del polinomio P ( x ) son: ± 1 , ± 2 y ocurre que P (1) = 0 3 º) Cuando se conozca alguna raíz, se divide (por Ruffini) para obtener factores de menor grado, y, por tanto, más cómodos de manejar. 1 − 4 5 − 2 1 1 − 3 2 1 − 3 2 0
P ( x ) = x · ( x − 1) · ( x^2 − 3 x + 2)
4 º) A continuación, se repite el mismo proceso con ( x^2 − 3 x + 2). En este caso, al ser un polinomio de grado 2 es más sencillo resolver la ecuación de 2º grado x^2 − 3 x + 2 = 0, cuyas soluciones son x = 1 y x = 2. Entonces, la descomposición es P ( x ) = x · ( x − 1) · ( x − 1) · ( x − 2) = x · ( x − 1)^2 · ( x − 2) siendo sus raíces 0 , − 1 (doble) y 2 Recuerda que:
- El coeficiente del término de mayor grado siempre debe incluirse como un factor más.
- Hay polinomios que no admiten raíces reales, es decir, que no se anulan nunca para un valor real. Por ejemplo, x^2 + 4 o x^2 + x + 1.
4.1.2 Sacando factor común y usando las expresiones notables, factoriza los siguientes poli- nomios:
a) 3 x^5 + 6 x^4 b) 7 x^6 − 28 x^4 c) 12 x^4 − 6 x^3 d) 2 x^4 + 8 x^3 + 8 x^2 e) − 3 x^3 + 18 x^2 − 27 x f) 4 x^4 − 8 x^3 + 4 x^2 g) 5 x^3 − 45 x^2 h) − 3 x^5 + 48 x^3 i) 3 x^4 + 30 x^3 + 75 x^2 j) − 5 x^5 − 30 x^4 − 45 x^3
4.1.3 Utilizando Ruffini factoriza los siguientes polinomios: a) x^2 − x − 12 b) x^2 − x − 2 c) x^2 + 2 x − 15 d) x^3 + 3 x^2 − x − 3 f) x^3 + x^2 − 5 x + 3 g) 2 x^3 + 16 x^2 + 34 x + 20 h) x^3 + 3 x^2 + 3 x + 1 i) x^4 − 1
4.1.4 : Factoriza los siguientes polinomios: a) P ( x ) = 3 x^3 − 5 x^2 − 2 x b) Q ( x ) = x^3 + x^2 − 2 x c) R ( x ) = x^3 − 3 x + 2
4.1.5 Descompón en factores estos polinomios y di cuáles son sus raíces: a) x^2 − 2 x^2 − x + 2 b) x^4 − 5 x^2 + 4 c) 2 x^3 − 3 x^2 − 9 x + 10 d) x^5 − 7 x^4 + 10 x^3 − x^2 + 7 x − 10 e) 6 x^4 − 5 x^3 − 23 x^2 + 20 x − 4 f) x^5 − 16 x 4.1.5 soluciones: a) ( x + 1)( x − 1)( x − 2) Raíces: -1, 1 y 2, b) ( x − 1)( x + 1)( x − 2)( x + 2) Raíces: 1, -1, 2 y -2, c) ( x − 1)( x + 2)(4 x − 10) Raíces: 1, -2 y 2.5, d) ( x − 1)( x − 2)( x − 5)( x^2 + x + 1) Raíces: 1, 2 y 5, e) ( x + 2)( x − 2)(2 x − 1)(3 x − 1) Raíces: -2, 2, 0.5 y 13 , f) x ( x − 2)( x + 2)( x^2 + 4) Raíces: 0, 2 y -2.
