¡Descarga Porcentajes, documento base y más Apuntes en PDF de Lógica Matemática solo en Docsity!
PROYECTO Universidad Central del Ecuador Proyecto PAES Datos informativos Asignatura Razonamiento numérico Tema Porcentajes Los estudiantes serán capaces de entender y Objetivo de la clase aplicar los conceptos relacionados con porcentajes, incluyendo cálculos básicos, interpretación de porcentajes en contextos diversos y resolución de problemas prácticos que involucren el uso efectivo de porcentajes. Los estudiantes demostrarán su dominio en el Resultado de aprendizaje cálculo de porcentajes al resolver problemas prácticos que involucren descuentos, aumentos, tasas de interés y otros contextos del mundo real. Documento Base 7: Porcentajes 1. Introducción En Matemática y Estadística, se llama porcentaje ala expresión de una cantidad determinada como una fracción de cien (100) partes iguales. Dicho más fácilmente, el porcentaje es la relación de proporcionalidad entre dos unidades o entre una unidad y un conjunto de ellas, expresado en términos de x por cada 100 unidades, es decir, de tanto por ciento (literalmente: tanto por cada ciento o cada centena). Las relaciones (o razones) y los porcentajes están en todas partes. Cada vez que comparamos dos o máús cantidades aparece una relación. Los porcentajes son particularmente interesantes porque por ciento es algo fácil de entender. Si alguna vez escuchaste que hay un 90% de probabilidades de lluvia, seguramente fuiste precavido y saliste con tu paraguas. 2. Porcentajes 2.1 Porcentajes En Matemática y Estadística, el porcentaje es una herramienta fundamental para describir proporcionalidades. Consiste en expresar una cantidad como una fracción de cien partes iguales, lo que facilita la comparación entre magnitudes distintas y la interpretación de fenómenos reales. En términos simples: parte Porcentaje = —— Xx 100 total El documento original ya abordabha este concepto, pero ahora lo integramos con una explicación más sólida: Los porcentajes permiten comunicar relaciones cuantitativas complejas de forma accesible, razón por la cual aparecen en: . resultados estadísticos, . estudios demográficos, . análisis económicos, . ciencia y salud pública, . educación, . finanzas y comercio. En la vida utilizamos varias proporciones que se expresan comúnmente, por ejemplo: . “32 de cada 100 ecuatorianos viven con menos de USD 2,80 diarios.” . *11 de cada 100 habitantes están vacunados.” Estas expresiones demuestran que el porcentaje es un lenguaje universal de proporcionalidad. A continuación, se presentan las formas de representar los porcentajes: Representación | Ejemplo Uso didáctico Porcentaje 20% Comunicación rápida Fracción 20/100 = 1/5 | Comprensión conceptual de partes iguales Decimal 0.20 Cálculo eficiente mediante multiplicación PROYECTO Pp PROYECTO 2.2 Razón Es un vínculo entre dos magnitudes que son comparables entre sí. Se trata de aquello que resulta cuando una de las magnitudes o cantidades se divide o se resta por otra. Las razones, por lo tanto, pueden expresarse como fracciones o como números decimales. Veamos un ejemplo. La razón de24entre6es igual a4. Esto quiere decir que, si dividimos 24 en 6, obtendremos 4 como razón matemática. La razón entre dos números a y b, cuando b es un número distinto de cero, se escribe: a po 0byselee aesab 2.2.1 ¿Cómo calculamos una razón? Calcular una razón, significa determinar el valor de esta, el que se establece haciendo la división entre el a y b. Ejemplos El valor de la razón entre 1 y 2 es: Elvalor de la razón entre 300 y 150 es: l 1:2 300 300: 150 l >: —> . 2 : 150 : 1:2=05 300:150= 2 2.3 Proporción Una proporción es la igualdad entre dos o más razones. Se escribe: “=I=k6 b=cd=k bydx+0 pg óub=cd= yd + Para que pueda existir la razón a y c deben ser diferentes de cero, es decir:a:b=b:cx0 Se lee “aesabcomocesa d” Se denomina constante de proporcionalidad (k) al resultado de la división de las razones, el cual es el mismo para cada una de ellas en una proporción. Ejemplos: 9 18 55m 13 26 247 12 =0,166 67030 2.4 Regla de 3 Cuanto mayor es una proporción, mayor es el porcentaje que supone. Esto significa que el porcentaje es directamente proporcional a la proporción. Por esta razón, podemos calcular el porcentaje aplicando una regla de tres simple. Ejemplo: En una clase de 80 alumnos, 12 son rubios. Calculamos el porcentaje de alumnos rubios aplicando una regla de tres (con ayuda de una tabla): Alumnos % 80 100 12 Xx Armo la regla de tres _ 112x100 *= 80 Resuelvo 1200 _ 60, x= 80 = 0 2.4.1. Ejercicios resueltos 1) Ejercicio: En una biblioteca hay 900 libros. El 30% son de literatura y el 12% de ciencia. ¿Cuántos libros hay de cada tipo? Solución: Primero identifico que el ejercicio trabaja porcentajes de un total fijo (900). Entonces debo hallar partes de un todo usando la regla de tres directa. Para literatura uso el 30% y para ciencia el 12%. Finalmente interpreto que ambos valores deben calcularse por separado, ya que son categorías distintas. Libros % 900 100 x (literatura) 30 Pp PROYECTO Cálculo: x= 4/100 x 12,000 x= 0.04 x 12,000 x= 480 Solución: 480 tornillos defectuosos. 4) Ejercicio: En un colegio, el 55% de 360 estudiantes son niñas. ¿Cuántos niños hay? Análisis: Primero calculo el número de niñas (55%). Luego entiendo que los niños son el complemento (45%) o restando del total. No es necesario calcular dos veces, pero el ejercicio pide las dos tablas. Tabla (niñas) Estudiantes % 360 100 x (niñas) 55 Cálculo niñas x=55/100 x 360 x= 0.55 x 360 x= 198 Solución (niñas): 198 niñas. Tabla (niños) Estudiantes % 360 100 x (niños) 45 Cálculo niños x=45/100 x 360 x= 0,45 x 360 x=162 Solución (niños): 162 niños. Pp PROYECTO 5) Ejercicio: Un ordenador cuesta 950 USD y sube un 18%. ¿Cuál es el nuevo precio? Análisis: Aquí identifico que el porcentaje no se aplica para encontrar “parte de un total actual”, sino para obtener un aumento que luego se suma al precio original. El procedimiento estándar es: Calculo el aumento (18%). Sumo al precio base. Tabla (aumento) Precio (USD) % 950 100 x (aumento) 18 Cálculo aumento: x= 18/100 x 950 x=0.18 x 950 x=171 Precio final: 950 + 171 = 1,121 USD Solución: 1,121 USD. 6) Ejercicio: Un deportista completó el 48% de una carrera de 25 lan. ¿Cuántos kilómetros ha corrido? Análisis: Es un porcentaje directo del recorrido total. Como el 48% es “lo ya recorrido”, solo calculo esa parte y obtengo los kilómetros completados. Tabla Kilómetros % 25 100 x (recorridos) 48 Cálculo: x=48/100 x 25 x= 0.48 x 25 x= 12 Solución: 12 km. Pp PROYECTO 9) Ejercicio: En una clase de 40 alumnos, el 12.5% usa lentes. ¿Cuántos son? Análisis: Aquí se usa un porcentaje con decimal (12.5%). Debo convertirlo a número decimal (0.125) o trabajar con fracción equivalente (1/8). El cálculo entrega directamente cuántos alumnos usan lentes. Tabla Alumnos % 40 100 x (con lentes) 12.5 Cálculo: x=12.5/100 x 40 x= 0.125x 40 x=5 Solución: 5 alumnos. 10) Ejercicio: Un tanque contiene 900 L. Se consumió el 28%. ¿Cuántos litros quedan? Análisis: Primero calculo cuánto se consume (28% del total). Luego deduzco que los litros restantes se obtienen restando ese valor al total inicial de 900 L. Tabla (consumidos) Litros % 900 100 x (consumidos) 28 Cálculos consumidos: x=28/100 x 900 x= 0.28 x 900 x=252 Litros restantes: 900 - 252 = 648 Solución: 648 litros. Pp PROYECTO 11) Ejercicio: De 240 trabajadores, el 15% tiene posgrado. ¿Cuántos trabajadores son? Análisis: Es un porcentaje directo de una población laboral. Solo debo hallar cuántos corresponden al 15%. No requiere operaciones adicionales. Tabla Trabajadores % 240 100 x (posgrado) 15 Cálculo: x=15/100 x 240 x=0.15 x 240 x=36 Solución: 36 trabajadores. 12) Ejercicio: Un libro cuesta 45 USD y aumenta 9%. ¿Cuál es el nuevo precio? Análisis: Sigo el mismo razonamiento que para aumentos de precio: 1. Calculo el 9% del precio. 2. Lo sumo al valor original para obtener el nuevo precio. Tabla (aumento) Precio (USD) % 45 100 x (aumento) 9 Cálculo aumento: x=9/100 x 45 x= 0.09 x 45 x= 4.05 Precio final: 45 + 4.05 = 49.05 USD Solución: 49.05 USD. Pp PROYECTO 15) Ejercicio: Una empresa aumenta su producción 22%. Si producía 450 unidades, ¿cuánto produce ahora? Análisis: Se trata de un aumento productivo 1. Calculo 22% del valor base. 2. Lo sumo al total inicial. Esto da la nueva producción total. Tabla (aumento) Unidades % 450 100 x (aumento) 22 Cálculo aumento: x=22/100 x 450 x= 0.22 x 450 x= 99 Producción final: 450 + 99 = 549 unidades Solución: 549 unidades. 16) Ejercicio: En un edificio hay 320 departamentos. El 75% están ocupados. ¿Cuántos están libres? Análisis: Debo encontrar los ocupados (75%) y luego usar la diferencia para hallar los libres, dado que: libres = total - ocupados. Tabla (ocupados) Departamentos % 320 100 x (ocupados) 75 Cálculos ocupados: x=75/100 x 320 x= 0.75 x 320 x= 240 Libres: 320 - 240 = 80 Solución: 80 departamentos libres. Pp PROYECTO 17) Ejercicio: Un agricultor vendió el 65% de sus 1,200 naranjas. ¿Cuántas vendió? Análisis: Calculo directamente la fracción vendida (65%). No es necesario hallar el complemento porque el ejercicio pregunta únicamente por las vendidas. Tabla Naranjas % 1,200 100 x (vendidas) 65 Cálculo: x=65/100 x 1,200 x= 0.65 x 1,200 x= 780 Solución: 780 naranjas vendidas. 18) Ejercicio: Un artículo de 500 USD sube un 7.5%. ¿Cuál es su precio final? Análisis: Aquí el porcentaje tiene decimal, 7.5%. Lo convierto a 0.075 y lo aplico al valor base. Después sumo ese aumento al precio original. Tabla (aumento) Precio (USD) % 500 100 x (aumento) 7.5 Cálculo aumento: x=7.5/100 x 500 x=0.075 x 500 x= 37.5 Precio final: 500 + 37.5 = 537,5 USD Solución: 537.5 USD. Pp PROYECTO 1. Un examen tiene 120 preguntas. Si un estudiante respondió correctamente el 92.5%, ¿cuántas preguntas respondió correctamente? Solución: Calculamos las preguntas correctas: C t 23 120=111 orrectas =
