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i 3 (t)
u 2 (t)
i 2 (t)
i 1 (t)
u 1 (t)
u 3 (t)
i 1 (t)
i 2 (t) i 3 (t)
u 2 (t)^3
u (t)
u 1 (t)
Z 1
Z 2
Z 1
Z 2
Z 3
Z 3
TEMA 9
POTENCIA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS.
9.1. Potencias en sistemas equilibrados y simétricos en tensiones
Un sistema trifásico puede considerarse como 3 circuitos monofásicos, por lo que la potencia total instantánea transferida a un circuito trifásico será la suma de las potencias instantáneas transferidas a cada uno de los tres sistemas monofásicos que lo forman.
Si denominamos a u 1 (t), u 2 (t) y u 3 (t) a las tensiones instantáneas aplicadas a cada
impedancia ¯Z 1 , ¯Z 2 y ¯Z 3 respectivamente e i 1 (t), i 2 (t) e i 3 (t) las intensidades de las corrientes que
la recorren, la potencia instantánea transferida a la carga trifásica tendrá por expresión:
p(t) ' p 1 (t) % p 2 (t) % p 3 (t) ' u 1 i 1 % u 2 i 2 % u 3 i 3 ' '
K' 3 K' 1
uK(t) iK(t)
(expresión válida, independientemente de si el sistema es equilibrado o desequilibrado) y la potencia media total transferida a la carga trifásica será:
P ' U 1 I 1 cos n 1 % U 2 I 2 cos n 2 % U 3 I 3 cos n 3 ' '
3 1
UK IK cos nK
siendo: UK la tensión eficaz aplicada a la carga K. IK la intensidad eficaz de la corriente que recorre dicha carga K. nnnnK el ángulo de fase de la impedancia ZK cos nnnnK factor de potencia de la carga K.
De igual forma la potencia reactiva que pone en juego la carga trifásica valdrá:
Q ' '
K' 3 K' 1
UK IK sen nK
y la potencia aparente: S ' P 2 % Q 2
Para una carga monofásica: P ' U I cos n Q ' U I sen n
S ' P 2 % Q 2 ' U 2 I 2 cos^2 n % U 2 I 2 sen 2 n ' U I
Para una carga trifásica "NO ES CIERTO" que:
S ' ' (Suma aritmética)
k' 3 k' 1
Sk ' '
k' 3 k' 1
UK IK
Es necesario sumar triángulos de potencias y la potencia aparente de una carga trifásica es la suma geométrica de UK IK fácil de realizar si utilizamos el concepto de potencia compleja.
Supongamos que los fasores de las tensiones e intensidades aplicadas que recorren cada impedancia son las siguientes:
U¯ 1 ' U 1 *α ¯I 1 ' I 1 *α & n 1
U^ ¯ 2 ' U 2 *β ¯I 2 ' I 2 *β & n 2
U^ ¯ 3 ' U 3 *γ ¯I 3 ' I 3 *γ & n 3
La potencia compleja de una fase, por ejemplo la fase 1, vendrá expresada por:
S¯ 1 ' U¯ 1 ¯I 1 ( ' U 1 * n I 1 *&α % n 1 ' U 1 I 1 * n 1
siendo ¯I 1 ( el Fasor conjugado de ¯I 1
La potencia compleja total valdrá: ¯S ' S¯ 1 % S¯ 2 % S¯ 3 (Suma geométrica) sustituyendo
valores tendremos:
% cos (ωt & 240) cos (ωt & 240 & n)
teniendo en cuenta la ecuación trigonométrica:
cos (a) cos (b) ' 1 2
cos (a % b) % cos (a & b)
se tendrá que la potencia instantánea vale:
p(t) ' 2 UF IF ( 1 2
cos (2ωt & n) % 1 2
cos n % 1 2
cos (2ωt & 240 & n) % 1 2
cos n %
cos (2ωt & 480 & n) % 1 2
cos n) '
' UF IF 3 cos n % cos (2ωt&n) % cos (2ωt % 120 & n) % cos (2ωt & 120 & n)
los tres últimos sumandos se anulan ya que corresponden a la suma de tres senoides desfasadas 120º, por lo que se tendrá:
p(t) = 3 UF IF cos nnnn
observamos que LA POTENCIA INSTANTÁNEA EN UN SISTEMA TRIFÁSICO EQUILIBRADO ES IGUAL A TRES VECES LA POTENCIA MEDIA DE UNA DE SUS FASES.
La potencia instantánea como se ve no depende del tiempo, es un valor constante. Esta circunstancia constituye un extremo ventajoso respecto a la potencia instantánea que pone en juego una carga monofásica la cual no es constante, es pulsatoria con frecuencia 2ω y cuyo valor medio era: P = U I cos n.
En general, en un sistema polifásico equilibrado (n fases), la potencia instantánea valdrá:
p(t) ' UF IF (cos (2wt & n) % cos(2wt & n & 2 ( 2π n
% cos (2wt & n & 2(n&1) 2π n
% n cos n) ' n UF IF cosn
La potencia media consumida por la carga trifásica equilibrada será:
P ' 1
T m
T 0
p(t) dt ' 3 UF IF cos n ' 3 PF
La potencia media e instantánea coinciden y su valor es 3 veces la potencia de una fase.
De forma análoga la potencia reactiva:
Q ' 3 QFase ' 3 UF IF sen n
y la potencia aparente
S ' P 2 % Q 2
como los ángulos son iguales n 1 ' n 2 ' n 3 ' nresulta que
S ' 3 UF IF ' ' (en este caso suma aritmética = suma geométrica).
3 1
UF IF
Solo en este caso de cargas equilibradas coincide que la suma aritmética de las potencias aparentes coinciden con la suma geométrica
El triángulo de potencias, por ejemplo de una carga inductiva, seria:
Q ' 3UFIF sen n ' 3
UF
IF
I (^) F^2 sen n
' 3 Z sen n I (^) F^2 ' 3 X I (^) F^2
P ' 3UFIF cos n ' 3
UF
IF
cos nI (^) F^2 ' 3Z cos nI (^) F^2 ' 3 R I (^) F^2
En ocasiones, no son accesibles las fases por lo que es necesario medir la potencia utilizando magnitudes de línea. En este supuesto y en sistemas equilibrados se tiene:
U L
P
Q
Cos i
i
I L
Se observa que, independientemente de que la carga este en estrella o en triángulo, las potencias activa, reactiva y aparente de una carga trifásica equilibrada en función de las magnitudes de línea serán:
P '''' 3 UL IL cos nnnn
Q '''' 3 UL IL sen nnnn
S '''' 3 UL IL
9.2. CORRECCIÓN DEL FACTOR DE POTENCIA
Solo se va a considerar la corrección del factor de potencia en sistemas equilibrados.
Mejora del factor de potencia en las instalaciones eléctricas equilibradas.
Para mejorar el factor de potencia de un receptor trifásico equilibrado inductivo (99% de los receptores industriales) hay que colocar en paralelo al receptor una batería de condensadores conectados en estrella o en triángulo.
Si el receptor consume una potencia activa P con un cos ni, de una línea trifásica de tensión aparente UL, la potencia reactiva que suministra la línea al receptor será:
Qi ' P tg (ni)
Si lo que se desea es disminuir esta potencia reactiva hasta un valor QF y por lo tanto, hasta un nuevo factor de potencia, cos (nF), se tendrá que poner una batería de condensadores, con una capacidad tal que nos suministre una potencia reactiva,
Qc ' Qi & QF ' P tg (ni) & P tg (nF) ' P (tg(ni) & tg(nF))
Conociendo la potencia reactiva que suministran los condensadores podemos calcular la capacidad de éstos.
U
1(R)
2(S)
3(T)
1 3 C
2
1
2
3 C (^) C
T
i
Cos i
P
Q
Cos F
P
QF
T T
I (^) L L
Esquema de la conexión de un triángulo de condensadores en paralelo con un receptor trifásico equilibrado
Condensadores conectados en triángulo:
La potencia reactiva "suministrada" por cada condensador es
Q C) ' I C^2 XC '
UF
1/(ωCT)
2 1 ω CT
' U (^) L^2 C (^) T^2 ω^2 CT ω
' U (^) L^2 CT ω
y la potencia reactiva suministrada por los tres en triángulo sera: QC ' 3 Q (^) C) ' 3 U (^) L^2 CT ω
como la potencia a compensar es Q ' P (tg(ni) & tg(nF)), se tendrá:
P (tg(ni) & tg(nF)) ' 3 U (^) L^2 CT ω
de aquí CT ' faradios (1)
P (tg(ni) & tg(nF)) 3 U (^) L^2 ω
Condensadores conectados en estrella:
La potencia reactiva "suministrada" por los tres condensadores es
QC ' 3 Q C) ' 3 I C^2 XC ' 3
UL/ 3
1/(CE ω)
2 1 CE ω
3 U (^) L^2 ω CE 3
' U (^) L^2 ω CE
por consiguiente la capacidad de cada condensador será:
Z 1
Z (^2) Z 3
1
2
3
2'
3'
1'
N'
W 1
W 2
W (^3)
9.3. MEDIDA DE LA POTENCIA ACTIVA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
9.3.1. Carga en estrella con neutro accesible
Si tenemos un receptor trifásico, compuesto por tres impedancias conectadas en estrella
y con neutro, la potencia absorbida por las tres impedancias ¯Z 1 , ¯Z 2 y ¯Z 3 se puede medir mediante
tres vatímetros conectados según la figura siguiente:
Las lecturas de los vatímetros serán:
W 1 = U1'N' I 1 cos(U1'N',I 1 ) = UF I 1 cos n 1
W 2 = U2'N' I 2 cos(U2'N',I 2 ) = UF I 2 cos n 2
W 3 = U3'N' I 3 cos(U3'N' I 3 ) = UF I 3 cos n 3
que coinciden con las potencias activas consumidas por cada impedancia respectivamente
W 1 = PZ1 , W 2 = PZ2 , W 3 = PZ
por lo que la potencia activa total consumida por este receptor, que es la suma de las potencias activas consumidas por cada impedancia, coincide con la suma de las lecturas de los vatímetros conectados según la figura anterior.
P = PZ1 + PZ2 + PZ3 = W 1 + W 2 + W 3
Si las tres impedancias son iguales Z¯ 1 ' ¯Z 2 ' Z¯ 3 tendremos un sistema equilibrado en
intensidades y tensiones, por lo que I 1 ' I 2 ' I 3 y n 1 = n 2 = n 3 , por consiguiente solo se necesita
un vatímetro, W , para medir la potencia activa total, que será:
P = 3 W
9.3.2. Carga en estrella con neutro NO accesible.
El caso de este receptor que solo dispone de tres conductores (tres fases), la medida de la potencia activa total consumida por el receptor se puede obtener mediante tres vatímetros montados según el esquema de la figura, donde vemos que se ha formado un neutro artificial con las bobinas voltimétricas de los vatímetros.
La potencia media consumida por el receptor trifásico es el valor medio de la potencia instantánea transferida al receptor. Esta potencia instantánea vale:
pr(t) = u1'N' i 1 + u2'N' i 2 + u3'N' i 3
La lectura de un vatímetro es el valor medio del producto de la onda tensión aplicada en su bobina voltimétrica por la onda de intensidad aplicada en su bobina amperimétrica.
La suma de las lecturas de los vatímetros, P = W 1 + W 2 + W 3 , es la media de la potencia instantánea:
pW(t) = u1N i 1 + u2N i 2 + u3N i 3
considerando que u11' = u22' = u33' = 0 y recordando las siguientes expresiones:
La potencia activa total consumida por la carga trifásica en triángulo, será la suma de las potencias de cada uno de los tres sistemas monofásicos que lo forman:
P = PZ12 + PZ23 + PZ
donde PZ12 +PZ23 y PZ31 son las potencias activas consumidas por las impedancias ¯Z 12 , ¯Z 23 y ¯Z 31
respectivamente.
La lectura del vatímetro W 1 coincide con la potencia media o activa consumida por la impedancia Z 12
W 1 = U1'2' I1'2' Cos (U1'2', I1'2') = PZ
de igual manera la lectura de los vatímetros W 2 y W 3 son:
W 2 = U2'3' I2'3' Cos (U2'3', I2'3') = PZ
W 3 = U3'1' I3'1' Cos (U3'1', I3'1') = PZ
Esto implica que la suma de las lecturas de los tres vatímetros nos da la potencia activa total consumida por el receptor en triángulo.
P = W 1 + W 2 + W 3
Si las tres impedancias fueran iguales, Z¯ 12 ' ¯Z 23 ' Z¯ 31 la lectura de los tres vatímetros
también sería la misma, W 1 = W 2 = W 3 , por lo que con un solo vatímetro, W, sería suficiente para medir la potencia activa, siendo:
P = 3 W.
Medida de potencia en sistemas trifásicos con tres o cuatro conductores.
9.3.4. Carga en triángulo con fases NO accesibles.
Se resuelve con neutro artificial igual que en las cargas trifásicas en estrella a tres hilos (debido a que una carga en triángulo equivale a una carga en estrella).
Como resumen de lo visto hasta ahora, en un sistema trifásico, para obtener la medida de la potencia activa, distinguiremos entre receptores o sistemas que disponen de tres conductores (tres fases) y aquellos que disponen de cuatro conductores (tres fases más neutro).
Para ello, se dispondrá de dos aparatos de medida de tal manera que las bobinas amperimétricas están en serie con dos fases cualesquiera (1 y 2 por ejemplo) y que sus bobinas voltimétricas esten en paralelo entre la fase respectiva y la fase que no lleva vatímetro (la 3 en el caso de la figura).
Los otros dos montajes posibles son (ya que el neutro puede ser cualquier fase y la demostración sería igual):
Considerando el neutro de la estrella en la fase 2.
Cambio: i 2 = - i 1 - i 3.
Considerando el neutro de la estrella en la fase 3.
Cambio: i 1 = - i 2 - i 3.
2
ϕ
U' 3 = E 3
U 2 =U 31
3
U 3 = U 12
30
U' 1 =E 1
30
ϕ
U' 2 =E 2
U 1
ϕ 1
U ϕ (^) -
13
= U 23
9.3.5.1. Principio de los dos Vatímetros aplicado a un sistema equilibrado.
En un receptor trifásico equilibrado, las intensidades de línea tienen igual valor eficaz y están desfasados 120o^ entre sí. Para una carga inductiva se tendría el diagrama vectorial de tensiones o intensidades de la figura siguiente.
Si colocamos dos vatímetros W 1 y W 2 en conexión ARON a este receptor (ver figura) las lecturas de los vatímetros serán:
W 1 = U 13 I 1 Cos (U 13 , I 1 )
W 2 = U 23 I 2 Cos (U 23 , I 2 )
Según vemos en el diagrama vectorial, el ángulo entre U¯ 13 e ¯I 1 vale n & 30 , y el ángulo
entre U¯ 23 e ¯I 2 vale n % 30 por lo que:
W 1 = UL IL Cos (n - 30)
W 2 = UL IL Cos (n + 30)
9.4. MEDIDA DE LA POTENCIA REACTIVA EN SISTEMAS TRIFÁSICOS
Los mismos esquemas utilizados para medir la potencia activa se pueden utilizar para medir la potencia reactiva, con la salvedad de utilizar varímetros en lugar de vatímetros. Pero, lo más frecuente, es utilizar vatímetros para la medida de la potencia reactiva, siendo algunos casos posibles de conexión estudiados en los apartados siguientes.
9.4.1. Sistemas equilibrados
Ya se ha visto que por el procedimiento de los dos vatímetros, la potencia consumida por
un receptor es: Q ' 3 (W 1 & W 2 ), siendo válida esta expresión solo para sistemas equilibrados.
También, en estos casos de sistemas equilibrados puede utilizarse un simple vatímetro conectado según se representa en la figura.
Siendo la lectura del vatímetro 1 / 3 de la potencia reactiva del conjunto:
W ' Q
En efecto, para un sistema en estrella o en triángulo, la intensidad de línea I 1 está desfasada n respecto a la tensión simple U 1 ', por lo que la lectura del vatímetro será:
W ' U 23 I 1 Cos (U 23 , I 1 ) ' UL IL Cos (90 & n) ' UL IL Sen n ' Q 3
9.4.2. Sistemas trifásicos sin hilo neutro equilibrados en generación y desequilibrados en cargas.
El método de medida más común es el representado en la figura, siendo la potencia reactiva:
Q '
(W 1 % W 2 % W 3 )
Sabemos que la potencia reactiva consumida por el receptor trifásico es la suma de las potencias reactivas suministrada por los generadores, por lo que si suponemos que las tensiones de línea son producidas por tres fuentes de tensión ideales en estrella, se tendrá que la potencia reactiva suministrada por el generador será:
Q ' U1N I 1 sen α 1 % U2N I 2 sen α 2 % U3N I 3 sen α 3 ' ' UF I 1 sen α 1 % UF I 2 sen α 2 % UF I 3 sen α 3
siendo αi el desfase entre las tensiones simples de generación UiN y las intensidades de línea.
