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Departamento de Ciencias

COMPLEMENTO MATEMÁTICO PARA

INGENIEROS

SESIÓN 11 : Operaciones con Funciones

INTRODUCCIÓN

Matrimonios y Divorcios

En la siguiente tabla se observa el número total matrimonios y divorcios inscritos

en Lima metropolitana desde 2014 hasta 2018.

𝑀 𝑡 = 33 343 − 1052 𝑡 + 110 𝑡

2

𝐷 𝑡 = 10 208 + 553 𝑡 − 41 𝑡

2

Donde 𝑡 representa el año, con 𝑡 = 0 correspondiente al 2014.

1. Determine e interprete 𝑀 𝑡 − 𝐷 𝑡.
2. Interprete el valor 𝐷 3.

Año Matrimonios, 𝑀 Divorcios, 𝐷

2014 33 679 10 274

2015 31 888 10 578

2016 31 205 11 082

2017 32 323 11 596

2018 30 403 11 606

LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión, el estudiante

plantea y resuelve problemas de

ingeniería, mediante modelos

matemáticos relacionados a su

especialidad, haciendo uso de las

operaciones entre funciones de

variable real con valor real, en

forma correcta.

CONTENIDOS

1. Adición de Funciones

2. Sustracción de Funciones

3. Multiplicación de Funciones

4. División de Funciones

Algebra de Funciones

𝐷𝑜𝑚

𝑓

𝑔

= 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 − 𝑥 ∣ 𝑔 𝑥 = 0

= 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑔 𝑥 ≠ 0

1. 4 DIVISIÓN DE FUNCIONES

Es decir:

1. 3 MULTIPLICACIÓN DE FUNCIONES

Es decir:

Resumen de las Operaciones

Los dominios de las operaciones básicas son iguales, salvo la división

OPERACIÓN

REGLA DE

CORRESPONDENCIA

DOMINIO

ADICIÓN

𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)

SUSTRACCIÓN

𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)

MULTIPLICACIÓN

𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)

DIVISIÓN

𝑓

𝑔

𝑥 =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑔 𝑥 ≠ 0

Ejemplo

ii) SUSTRACCIÓN: “f-g”

Se procede en forma análoga. Como: Dom(f)  Dom(g) = { 1 ; 5 ; 9 ; 8 } , luego:

De: f={ ( 1 ; 2 ) , ( 5 ; 3 ) , ( 4 ; 7 ) , ( 9 ; 6 ) , ( 8 ; 1 )} y

g={( 9 ; 7 ) , ( 5 ; 1 ) , ( 8 ; 0 ) , ( 1 ; 4 ) }

Se tiene:

f – g = { (1;2-4) , (5;3-1) , (9;6-7) , (8;1-0) }

f – g = { (1;-2) , (5;2) , (9;-1) , (8;1) }

iii) MULTIPLICACIÓN: “f.g”

f.g = { (1;2.4) , (5;3.1) , (9;6.7) , (8;1.0) }

f.g = { (1;8) , (5;3) , (9;42) , (8;0) }

Ejemplo

iv) DIVISIÓN: “f/g”

f/g = { (1;24) , (5;3:1) , (9;6:7) }

f/g = { (1;1/2) , (5;3) , (9;6/7) }

Primero determinar: Dom(f/g) = Dom(f) { Dom(g) / g(x)  0 }.

Se tiene:

Dom(f) = { 1 ; 5 ; 4 ; 9 ; 8 }, Dom(g) = { 9 ; 5 ; 8 ; 1 } , pero g( 8 )= 0

 Dom(f/g) = { 1 ; 5 ; 4 ; 9 ; 8 }  { 1 ; 5 ; 9 } , luego:

 Dom(f/g) = { 1 ; 5 ; 9 }

Ahora:

Si: f = {( 1 ; 2 ), ( 5 ; 3 ), ( 4 ; 7 ), ( 9 ; 6 ), ( 8 ; 1 )} y

g = {( 9 ; 7 ), ( 5 ; 1 ), ( 8 ; 0 ), ( 1 ; 4 )}

Ejemplo

Solución:

1. Para 𝑓 + 𝑔 :

Hallamos los dominios de 𝑓 y 𝑔 son

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = [ 4 ; +∞[ y

𝐷𝑜𝑚 𝑔 = ℝ respectivamente,

luego 𝐷𝑜𝑚 𝑓 + 𝑔 = [ 4 ; +∞[,

además, su regla de correspondencia es:

Considera las siguientes funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 8.

Determina la función 𝑓 + 𝑔 y

𝑓

𝑔

con sus respectivos dominios.

Ejemplo

Considera las siguientes funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 8.

Determina la función 𝑓 + 𝑔 y

𝑓

𝑔

con sus respectivos dominios.

Solución:

2. Para 𝑓/𝑔:

Tenemos que 𝑔 𝑥 = 0 cuando 𝑥 = 8.

Entonces su dominio es 𝐷𝑜𝑚

𝑓

𝑔

= [ 4 ; +∞[ − 8 ,

además, su regla de correspondencia es:

Ejemplo

Obtenemos la regla de

correspondencia

2

2

3 2, [0; 2]

( )( )

1, 2;

5 , [3;5]

x x si x

f g x

x x si x

x si x



  



  

    



 

 GRÁFICA :

Ran f (  g )  [ 2;8]

   

2

f  g  x  3 x  2 si x  0;

x y

P 0;  2

P 2;

 

2

f  g  x  x  1 si x  2;

x y

P 2;

P 3;

   

f  g  5  x si x  3;

y x

P 3;

P 5;

2

3 2 , [0; 2]

, [0;

( ) ; ( )

1 , 2;5] 4, [3;6]

x si x

x si x

f x g x

x si x si x

      

 

 

     

Ejemplo

Problema

Si se sabe que las funciones de ingreso 𝐼(𝑥) y costo 𝐶(𝑥) de una compañía

productora de lácteos están dadas por:

𝐼 𝑥 = 25𝑥 𝐶 𝑥 = 10𝑥 + 9000

Determine

• la función Utilidad 𝑈(𝑥)
• Indique la utilidad cuando se producen y venden 2000 unidades.
• Determine el punto de equilibrio

Problema (solución)

Se sabe que la función utilidad 𝑈(𝑥) esta dada por la siguiente

expresión: 𝑈(𝑥) = 𝐼(𝑥) – 𝐶(𝑥)

• Para obtener la función de utilidad, realizamos los reemplazos

correspondientes:

• Hallando la utilidad cuando se producen y venden 2000 artículos:

• Para determinar el punto de equilibrio, resolvemos la ecuación

0 = 15𝑥 − 9000

9000 = 15𝑥

𝑥 = 600

El punto de equilibrio está en 600 unidades