Prácticas de Laboratorio: Funciones, Gráficas y Coordenas Polares - Prof. Aymerich José, Ejercicios de Tecnología Industrial

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DEPARTAMENT DE MATEM ATIQUES`

FUNDAMENTOS

MATEM ´ATICOS

DE LA INGENIER´IA

Pr´acticas de Laboratorio

• 1. Introducci´on a Mathematica
  • 1.1. Convenios sobre notaci´on
  • 1.2. El Front End y el N´ucleo
  • 1.3. Notaci´on matem´atica de Mathematica
  • 1.4. Corchetes, par´entesis y llaves
  • 1.5. Funciones incorporadas
  • 1.6. Definiendo funciones no incorporadas
  • 1.7. Listas y matrices
  • 1.8. Resoluci´on de ecuaciones
  • 1.9. Reglas de sustituci´on
  • 1.10. Ayudas incorporadas
  • 1.11. Ejercicios
• 2. Algebra Lineal´
  • 2.1. Matrices
    • 2.1.1. Ejercicios
  • 2.2. C´onicas
• 3. Gr´aficas en dos y tres dimensiones
  • 3.1. Gr´aficas en dos dimensiones
    • 3.1.1. Gr´aficas en coordenadas cartesianas
    • 3.1.2. Gr´aficas en coordenadas polares
    • 3.1.3. Gr´aficas de funciones impl´ıcitas
    • 3.1.4. Gr´aficas en coordenadas param´etricas
  • 3.2. Gr´aficas en tres dimensiones
    • 3.2.1. Gr´aficas 3D en coordenadas cartesianas
    • 3.2.2. Gr´aficas 3D en forma param´etrica
    • 3.2.3. Representaci´on gr´afica de curvas en el espacio
  • 3.3. Animaci´on de gr´aficos
• 4. Interpolaci´on y aproximaci´on de funciones
  • 4.1. Polinomio interpolador de Lagrange
  • 4.2. Polinomio interpolador de Newton
  • 4.3. Cota de error en la interpolaci´on
    • 4.3.1. El efecto Runge
  • 4.4. Interpolaci´on con un splin c´ubico
  • 4.5. Ejercicios 4 Pr´acticas de Laboratorio
• 5. Integraci´on num´erica
  • 5.1. Reglas de cuadratura
  • 5.2. Obtenci´on de reglas de cuadratura
    • 5.2.1. El m´etodo interpolatorio
    • 5.2.2. El m´etodo de coeficientes indeterminados
  • 5.3. Error de cuadratura
  • 5.4. Reglas compuestas
    • 5.4.1. Errores en las reglas compuestas
  • 5.5. Integrales m´ultiples
  • 5.6. Algoritmo de los m´etodos en Mathematica
  • 5.7. Ejercicios
• 6. Sucesiones y series
  • 6.1. Sucesiones
  • 6.2. Series de n´umeros reales
  • 6.3. Series de Taylor
• 7. Ecuaciones diferenciales con Mathematica
  • 7.1. Tratamiento anal´ıtico
    • 7.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
    • 7.1.2. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
    • 7.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales
  • 7.2. M´etodos num´ericos para la resoluci´on de ecuaciones diferenciales
    • 7.2.1. Resoluci´on num´erica con Mathematica
    • 7.2.2. Algoritmo de los m´etodos num´ericos en Mathematica
    • 7.2.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales
  • 7.3. Ejercicios
• 8. Derivadas parciales. Extremos en funciones de varias variables
  • 8.1. Derivadas parciales
  • 8.2. Extremos libres
  • 8.3. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
• 9. Sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales
  • 9.1. Estudio geom´etrico: campos de direcciones
  • 9.2. Estudio cualitativo. Retrato de fases
  • 9.3. Ejercicios

Pr´actica 1

Introducci´on a Mathematica

Los ingenieros necesitan realizar una gran cantidad de c´alculos y manipulacio- nes matem´aticas. La mayor´ıa de estos c´alculos es posible realizarlos mediante un programa de ordenador como Mathematica. Mathematica, por tanto, trabaja sobre problemas que no es pr´actico realizar a mano. Mathematica es una herramienta util para hacer manipulaciones simb´´ olicas y num´ericas, as´ı como para trabajar con gr´aficos. Mathematica es un lenguaje interpretado, es decir, lee expresiones, eval´ua el resultado y luego lo muestra en pantalla. Al ser interactivo, es m´as f´acil de usar que los lenguajes compilados como C o FORTRAN. Mathematica dispone de una gran cantidad de funciones ya definidas (funciones incorporadas) con las que se pueden cubrir los aspectos m´as generales de las inge- nier´ıas. Adem´as, Mathematica es programable; cualquier funci´on no disponible la puede escribir uno mismo.

1.1. Convenios sobre notaci´on

Para introducirnos en el lenguaje de Mathematica, en cada pr´actica veremos algunos ejemplos que muestran las posibilidades de este programa. Para comenzar con Mathematica es conveniente probar con los ejemplos propuestos. Las expresiones escritas en letra mecanografiada corresponden al input y se deben escribir tal y como aparecen en los ejemplos; las correspondientes al output no se tienen que escribir: es la respuesta de Mathematica. Las palabras y s´ımbolos escritos en cursiva se deben reemplazar por expresiones introducidas por el usuario. En el siguiente ejemplo la expresi´on 2 + 2 corresponde al input, y por tanto se debe escribir tal y como aparece, mientras que la expresi´on 4 (de color m´as claro) corresponde al output, y no se debe escribir en pantalla.

2 + 2 4

En este otro ejemplo la expresi´on ?+ corresponde al input y la respuesta de Mat- hematica no va precedida por Out[n] , puesto que es informaci´on y no un resultado propiamente dicho.

Fundamentos Matem´aticos de la Ingenier´ıa II 3

supuesto, los outputs aparecen en el ordenador personal de la misma forma que si el c´alculo lo hubiese realizado el Kernel instalado en dicho ordenador (kernel local). Para ello es preciso que los dos ordenadores est´en conectados por medio de una red.

1.3. Notaci´on matem´atica de Mathematica

Mathematica es un programa interactivo. En las versiones de Mathematica que utilizaremos con Front End tipo Notebook, cuando introducimos una expresi´on, co- mo por ejemplo una operaci´on matem´atica, no ocurre nada. Al ejecutar esta expre- si´on (cosa que en las versiones actuales puede hacerse presionando simult´aneamente Intro+ May´usculas o la tecla de Intro del teclado num´erico) Mathematica la proce- sa, inserta In[n]:= despu´es de que Mathematica haya calculado el resultado y, si corresponde, muestra el resultado, con una etiqueta de la forma Out[n]=. A con- tinuaci´on Mathematica muestra un nuevo indicador de input, y el ciclo comienza otra vez. El n´umero comprendido entre corchetes se va incrementando al introducir nuevas expresiones. En ning´un caso hay que introducir los indicadores In[n]:= y Out[n]=. En la primera expresi´on a evaluar n = 1. Es posible referirse a expresiones ya introducidas o a resultados ya obtenidos gracias a estos indicadores. Mathematica tiene incorporados la mayor´ıa de los s´ımbolos matem´aticos con los que se trabaja habitualmente. Entre ellos est´an las operaciones b´asicas: suma (+), diferencia (-), producto (*), divisi´on (/) y potencia (^). Como se ha indicado en el apartado 1.1, los nombres de todas las funciones incorporadas de Mathematica em- piezan con may´uscula. Los nombres de las funciones incorporadas correspondientes a los s´ımbolos anteriores los podemos ver en la siguiente tabla.

S´ımbolo matem´atico Funci´on incorporada

• Plus

• Minus, Subtract

• Times / Divide ^ Power

Los s´ımbolos matem´aticos y las funciones incorporadas asociadas, evidentemente, consiguen el mismo resultado; por ejemplo,

2 + 4 6

Plus@2, 4D 6

Una primera operaci´on sencilla que podemos efectuar es 23^7. 23 ^ 7 3 404 825 447

Para referirnos a este ´ultimo resultado se utiliza el car´acter %. As´ı, %^2 nos de- volver´a 23^14.

4 Pr´acticas de Laboratorio

% ^ 2 11 592 836 324 538 749 809

Utilizaci´on de resultados obtenidos previamente ( %n): Se puede hacer referencia a un resultado anterior mediante uno o m´as signos de porcentaje; es decir, % se refiere al ´ultimo resultado, % % al pen´ultimo, y as´ı sucesivamente. Tambi´en nos podemos referir a un resultado concreto mediante %n, donde n es el n´umero de la l´ınea de output. Conservaci´on y p´erdida de datos del Kernel: Mathematica conserva todos los datos de entrada y salida as´ı como el valor de todas las variables definidas en alg´un momento de la sesi´on. Si se escribe por ejemplo x = 2, en un Notebook, a partir de ese momento Mathematica identificar´a x con 2 (y producir´a errores si por ejemplo escribimos Solve[x+1==7,x]). Cuando se cierra el Kernel (lo que ocurre siempre al salir del programa, pero tambi´en se puede hacer sin salir utilizando Quit Kernel en la pesta˜na Kernel ), se pierden los valores de las variables y ya no es posible referirse a los resultados anteriores mediante %n. Al combinar varios s´ımbolos matem´aticos en un mismo input se deben tener en cuenta los criterios de prioridad habituales entre ellos, que determinan el orden de evaluaci´on de la expresi´on. 2 ^ 3 * 6 + H 9 - 1 L ê 4 50

2 ^ H 3 * 6 L + H 9 - 1 L ê 4 262 146

2 ^ 3 ¥ 6 + 9 - 1 ê 4 227 4 En este ´ultimo ejemplo hemos utilizado las dos formas alternativas de indicar una multiplicaci´on en Mathematica(mediante ∗ o bien dejando un espacio en blanco entre ellos^1 ). En algunas ocasiones puede ser conveniente asignar un nombre a un resultado para ser utilizado despu´es. Esta asignaci´on permite trabajar con mayor comodidad que refiri´endonos al resultado mediante el n´umero de la l´ınea de output. La expre- si´on velocidadDeLaLuz = 300000 hace que Mathematica asocie el valor 300000 al nombre velocidadDeLaLuz (se entiende que las unidades son Km/s en el vac´ıo).

velocidadDeLaLuz = 300 000 300 000

Una vez realizada la asignaci´on, podemos referirnos al valor 300000 por su nom- bre y podemos, incluso, realizar operaciones usando la variable definida. velocidadDeLaLuz - 269 000 31 000 (^1) Mathematica 6 a˜nade, entonces, el aspa.

6 Pr´acticas de Laboratorio

1 + 2 * 3 7

H 1 + 2 L * 3 9

Los corchetes [ ] se usan para especificar los argumentos de una funci´on. En el apartado 1.10 ped´ıamos informaci´on acerca de la funci´on Sin; esta funci´on requiere un ´unico argumento: un n´umero. El concepto de argumento ser´a aclarado en el apartado 1.5.

Sin@Pi ê 2 D 1

Sin@ID ‰ Sinh@ 1 D

En este ´ultimo ejemplo I representa el n´umero imaginario

Las llaves se utilizan para definir conjuntos de elementos de forma similar a la utilizada en la notaci´on matem´atica para definir un conjunto por extensi´on. En no- taci´on matem´atica, el conjunto formado por los cinco primeros n´umeros naturales se puede representar por { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }. En el lenguaje de Mathematica estas entida- des (conjuntos de elementos definidos por extensi´on) se llaman listas y tambi´en se utilizan para definir vectores y matrices. Por ´ultimo, el texto entre (* y *) no se eval´ua. Estos par´entesis se utilizan para hacer comentarios en el notebook.

v = 8 7, 3, - 1 < H Aqui v es un vector L 8 7, 3, - 1 <

1.5. Funciones incorporadas

El Kernel de Mathematica reconoce m´as de 1100 funciones. Estas funciones se llaman funciones incorporadas (built-in functions). En los apartados anteriores he- mos usado algunas de ellas: Sin, Plus, Pi, y otras han aparecido en el output: Sqrt, I, Sinh. Con el nombre gen´erico de funciones incorporadas se consideran: funciones, variables, constantes y opciones. Dentro del primer grupo estar´ıan Sin, Plus, Sqrt y Sinh; por una variable se entiende una funci´on como velocidadDeLaLuz (apartado 1.3); dentro de las constantes est´an las funciones Pi y I; ejemplos de opciones los daremos m´as adelante. Los nombres de las funciones incorporadas consisten en palabras inglesas com- pletas o abreviaciones matem´aticas est´andar, de forma que la primera letra de cada palabra se escribe con may´uscula. Por ejemplo, para utilizar la funci´on arco-seno de- bemos escribir ArcSin, de modo que si queremos obtener arc sen 1/2, introducimos:

Fundamentos Matem´aticos de la Ingenier´ıa II 7

ArcSin@ 1 ê 2 D Π 6

Las funciones propiamente dichas son el equivalente a las funciones que emplea- mos en matem´aticas, en el sentido de que no tienen por qu´e tomar siempre un valor constante. La funci´on trigonom´etrica sin(x) es una funci´on no constante; la letra x decimos que es su variable. En la notaci´on de Mathematica la funci´on seno hemos visto que se representa por Sin, de forma que cuando queremos calcular sin(π/2) escribimos Sin[Pi/2]. El concepto an´alogo al concepto matem´atico de variable en la terminolog´ıa de Mathematica es el t´ermino argumento. Evidentemente, no todas las funciones requieren un ´unico argumento. Cuando una funci´on requiere m´as de un argumento, estos van separados por comas. Aqu´ı cal- culamos la derivada de x^2 :

D@x ^ 2, xD 2 x

Hay funciones que no requieren ning´un argumento. La funci´on TimeUsed da el n´umero total de segundos de tiempo de CPU usados hasta ese momento en la sesi´on de Mathematica. Hay que tener en cuenta que el resultado puede variar dependiendo en qu´e m´aquina se est´e usando Mathematica.

TimeUsed@D

Si una funci´on es invocada con m´as, o menos, argumentos de los requeridos Mathematica devuelve un mensaje de error y como output la expresi´on sin evaluar.

Sin@2, 3D

Sin::argx : Sin called with 2 arguments; 1 argument is expected. á Sin@2, 3D

Otras funciones, en cambio, pueden tener un n´umero variable de argumentos. Plus@2, 5, - 3, 7D 11

Existen funciones que pueden tomar un n´umero de argumentos opcionales. Por ejemplo, la funci´on Expand requiere un ´unico argumento: una expresi´on.

Expand@Hx ^ 2 + x + 1 L ^ 2D 1 + 2 x + 3 x^2 + 2 x^3 + x^4

En cambio la siguiente expresi´on no puede expandirla: Expand@Sin@ 2 xDD Sin@2 xD

Fundamentos Matem´aticos de la Ingenier´ıa II 9

Una funci´on puede tener m´as de un argumento. Aqu´ı definimos la funci´on g(x, y) = xy y la evaluamos en (2, 3):

g@x_, y_D = x y; g@2, 3D 6

Definici´on aplazada de funciones: En ocasiones deseamos definir una funci´on o asignar un valor a una variable, pero no deseamos que la definici´on se procese de inmediato, sino cuando vaya a ser usada. En este caso el signo igual (=) debe ir precedido por dos puntos (:=). Veamos por ejemplo la diferencia entre la definici´on inmediata y aplazada de una funci´on como f (x) = x^2 , cuando previamente hemos definido x = 4. Con definici´on inmediata: x = 8; f@x_D = x ^ 2; f@ 5 D 64

Con definici´on aplazada: x = 8; f@x_D := x ^ 2; f@ 5 D 25

Son muchas las situaciones en las que podemos necesitar una definici´on aplazada. Por ejemplo, cuando definimos la funci´on factorial.

factorial@ 0 D = 1; factorial@x_D := x Factorial@x - 1 D factorial@ 4 D 24

1.7. Listas y matrices

Una lista es un conjunto de datos (constantes, funciones, otras listas, etc.) dis- puesto en la forma: {dato 1 , dato 2 ,... ...} Las listas contituyen una de las estructuras m´as importantes de Mathematica. Hay que se˜nalar que el concepto de lista en Mathematica es m´as extenso que el concepto matem´atico de conjunto. Una lista puede tener elementos repetidos.

8 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5< 8 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5<

Como se ha se˜nalado antes, los elementos de una lista no tienen por qu´e ser n´umeros reales.

10 Pr´acticas de Laboratorio

8 2, x + 1, 2 x ^ 2 + 3 x + 7 < 9 2, 1 + x, 7 + 3 x + 2 x^2 =

Los vectores y las matrices tambi´en se representan mediante listas. En el ejemplo anterior se ha dado un vector cuyas componentes son polinomios. Con una lista se pueden efectuar operaciones aritm´eticas b´asicas (elemento a elemento) o bien utilizarlas como argumento de una funci´on para obtener una lista de valores: 8 1, 2, 3< ^ 4 8 1, 16, 81<

Sin@80, Pi ê 6, Pi ê 4, Pi ê 3, Pi ê 2 <D

:0, 1 2

, 1 2

, 3 2

, 1>

Una matriz es una lista de listas. Cada uno de los elementos de esta lista es otra lista que representa los vectores fila de la matriz. As´ı, la matriz

a =

en el lenguaje de Mathematica se representa como

a = 88 0, - 1, 3<, 8 7, 2, - 4 << 88 0, - 1, 3<, 8 7, 2, - 4 <<

Extracci´on de datos de una lista: Los dobles corchetes se utilizan para extraer un elemento de una lista. Por ejemplo, dado el vector v = {7, 3, -1} el primer elemento de esta lista es 7. v = 8 7, 3, - 1 < 8 7, 3, - 1 <

v@@ 1 DD 7

En general, el elemento i-´esimo de una lista v es v[[i]]. Tambi´en podemos extraer los elementos de una matriz. a@@ 1 DD@@ 2 DD

• 1

Una forma alternativa m´as c´omoda es: a@@1, 2DD

• 1

Generaci´on de listas: Una forma de generar listas es mediante la funci´on Table.

12 Pr´acticas de Laboratorio

1.8. Resoluci´on de ecuaciones

Una funci´on que se requiere en muchas ocasiones es la de resolver ecuaciones. El comando Solve intenta resolver la ecuaci´on que se le plantea. Debemos indicar la ecuaci´on o ecuaciones a resolver y cu´ales son las inc´ognitas. Salvo que le indiquemos lo contrario, Mathematica puede utilizar funciones inversas cuando las ecuaciones no son polin´omicas. En estos casos alguna soluci´on (o quiz´a una cantidad infinita de ellas) pueden no aparecer expl´ıcitamente.

Solve@Sin@x + y - x ^ 2D ä 1 ê 2, yD Solve::ifun : Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use Reduce for complete solution information. á

::y Æ

Π 6

• x + x^2 >>

Observemos que otras soluciones son posibles, como por ejemplo y = 2π + π 6 − x + x^2. Observemos que el resultado del comando Solve es una tabla y como tal podemos usarlo, as´ı por ejemplo podemos definir una lista con las soluciones de una ecuaci´on para utilizarlas m´as adelante. Si una ecuaci´on o sistema de ecuaciones no tiene soluci´on la respuesta es {}. En el ejemplo que sigue se define una ecuaci´on con una inc´ognita y un par´ametro; utilizamos la definici´on aplazada porque s´olo nos interesa resolver la ecuaci´on para algunos par´ametros.

Ejemplo 1.1 Encontrar alg´un b > 0 , b ∈ Z, tal que la ecuaci´on x^3 + x + b = 0 tenga soluci´on con parte real menor que − 2 , 5. Hallar esta soluci´on.

Antes de resolver el problema definimos la ecuaci´on (recordemos que el resultado es una lista con tres entradas) y hacemos algunas pruebas con b = 0 para ver la forma que tiene la lista formada por las soluciones. Extraemos a continuaci´on diversas partes de la soluci´on:

ecu@b_D := Solve@x ^ 3 + x + b ä 0, xD; ecu@ 0 D ecu@ 0 D@@ 1 DD HNos dará la primera solución que será también una listaL ecu@ 0 D@@ 2 DD ecu@ 0 D@@ 1 DD@@ 1 DD ecu@ 0 D@@ 2 DD@@ 1 DD@@ 2 DD** 88 x Æ 0 <, 8 x Æ -‰<, 8 x Æ ‰<< 8 x Æ 0 < 8 x Æ -‰< x Æ 0 -‰

Ahora ya estamos preparados para comprender lo que sigue. Utilizaremos el comando While para ir rastreando las soluciones de la ecuaci´on, While[test,cuerpo;b++] va ejecutando “cuerpo”(en este caso no hace m´as que

Fundamentos Matem´aticos de la Ingenier´ıa II 13

almacenar el valor de b sin hacer nada), mientras “test” sea verdadero. Cada vez b aumenta en una unidad y cuando “test” es falso, para. En este momento b tendr´a el valor deseado: ecu@b_D := Solve@x ^ 3 + x + b ä 0, xD; b = 0; While@Min@Re@ecu@bD@@ 1 DD@@ 1 DD@@ 2 DDD, Re@ecu@bD@@ 2 DD@@ 1 DD@@ 2 DDD, Re@ecu@bD@@ 3 DD@@ 1 DD@@ 2 DDDD > -2.5, b; b ++D Print@"La primera solución con parte real mayor que - 2.5 se obtiene con b igual a: ", bD Print@"Esta parte real es: ", N@ Min@Re@ecu@bD@@ 1 DD@@ 1 DD@@ 2 DDD, Re@ecu@bD@@ 2 DD@@ 1 DD@@ 2 DDD, Re@ecu@bD@@ 3 DD@@ 1 DD@@ 2 DDDDDD Print@"que corresponde a la solución: ", N@ecu@bDDD La primera solución con parte real mayor que - 2.5 se obtiene con b igual a: 19 Esta parte real es: - 2. que corresponde a la solución: 88 x Æ -2.54358<, 8 x Æ 1.27179 - 2.41916 ‰<, 8 x Æ 1.27179 + 2.41916 ‰<<

1.9. Reglas de sustituci´on

En muchas situaciones realizamos manipulaciones simb´olicas que posteriormente deseamos concretar para valores determinados, o queremos sustituir determinadas expresiones por otras. Se utiliza entonces el comando /. que aplica una regla o una lista de reglas de sustituci´on. En el ejemplo siguiente resolvemos la ecuaci´on x+t = 0 con t como par´ametro y a continuaci´on le asignamos el valor 2 al par´ametro:

Solve@x + t ä 0, xD 88 x Æ -t<<

% ê. t Æ 2 88 x Æ - 2 <<

Tambi´en podemos usar las reglas de sustituci´on con fines simb´olicos. A conti- nuaci´on por ejemplo las utilizamos para escribir una funci´on en coordenadas polares (englobamos todo el c´alculo con el comando Simplify para obtener un resultado simplificado); conviene observar que al ejecutar m´as de una sustituci´on es necesario agrupar la lista de sustituciones con unas llaves.

Simplify@x Hx ^ 2 + y ^ 2L ê Hx ^ 4 + y ^ 4 - 2 x ^ 2 y ^ 2L ê. 8 x Æ r Cos@tD, y Æ r Sin@tD<D Cos@tD Sec@2 tD^2 r

1.10. Ayudas incorporadas

Mathematica proporciona varios mecanismos para obtener ayuda e informaci´on sobre las m´as de 800 funciones incorporadas, as´ı como de las introducidas por el usuario. Esto da informaci´on acerca de la funci´on incorporada Sin.

Fundamentos Matem´aticos de la Ingenier´ıa II 15

? ê

x ê y or Divide@ x , y D is equivalent to x y^-1. á

Hay que poner atenci´on al pedir informaci´on acerca del s´ımbolo ∗, ya que en- trando ?∗ obtendremos como salida el nombre de todas las funciones incorporadas, as´ı como los nombres de las funciones definidas por el usuario. Para solventar este problema hemos de entrar ?*. La informaci´on solicitada acerca del operador ∗ nos da una forma alternativa de indicar la multiplicaci´on en Mathematica: dejando un espacio en blanco entre los factores.

1.11. Ejercicios

Ejercicio 1.1 Definir una funci´on gam tal que gam( 12 ) =

π, gam(0) = 1 y

gam( x 2

x − 2 2

x − 4 2

x − 6 2

π,

si x es impar y tal que gam(n) = (n − 1)!, si n es entero. ¿Podremos obtener gam[1/3]? Si x ∈ Z?. ¿Qu´e ocurre si definimos gam sin utilizar definiciones apla- zadas?.

Ejercicio 1.2 Plantear y resolver cuatro ecuaciones de modo que haya alguna con:

una soluci´on. doce soluciones.

ninguna soluci´on.

infinitas soluciones.

Ejercicio 1.3 Obtener una lista con todos los valores sin(k^2 ) para k ∈ { 1 ,... , 50 }.

Ejercicio 1.4 Definir la expresi´on p = x^3 + x (x + a)(x^3 − 3 x^2 + x − 3)

. A continuaci´on

resolver la ecuaci´on Denominadordep = 0, cuando a = 2. Obtener el valor num´erico de p cuando x = 2, a = 2. Descomponer p como suma de fracciones simples. A con- tinuaci´on hacer denominador com´un en la suma de fraccciones obtenida; comparar con p (simplificar p puede ayudar). Escribir una lista con las ra´ıces del denominador de p cuando a = { 0 , 1 , 2 ,... , 20 }^2 , utilizar la ayuda (F 1 ) para conocer su sintaxis.

Ejercicio 1.5 Calcular num´ericamente el determinante de la matriz A = (aij ), de tama˜no, 5 × 5 cuyas entradas son aij = sin(ij).

Ejercicio 1.6 Encontrar el primer n´umero x tal que la ecuaci´on x^2 + 12x + a = 0 tenga soluciones con parte real mayor que 3.

(^2) Aqu´ı ser´a necesario utilizar algunos comandos que no hemos introducido a´un como: Apart, Together, Denominator.

Pr´actica 2

Algebra Lineal^ ´

En esta pr´actica analizaremos algunas de las posibilidades que ofrece Mathema- tica para resolver problemas de ´algebra lineal. Comenzaremos en la primera secci´on por proporcionar los comandos b´asicos necesarios y mostraremos ejemplos que ilus- tren su utilizaci´on. Con los comandos que se estudian en esta secci´on se estar´a en con- diciones de resolver la mayor´ıa de los problemas elementales que se pueden plantear en un primer curso de ´algebra lineal. En la segunda secci´on daremos una aplicaci´on al estudio de las c´onicas.

2.1. Matrices

Como ya hemos visto, en Mathematica los vectores se representan mediante listas, y las matrices, como listas de listas. Por ejemplo, la lista de listas {{a,b}, {c,d}} representa la matriz 2 × 2 cuyas filas corresponden a cada una de las filas de la matriz: (a, b) y (c, d).

Algunas de las funciones incorporadas que Mathematica utiliza para construir matrices son las siguientes:

DiagonalMatrix[lista]

genera una matriz diagonal con los elementos de lista en la diagonal;

IdentityMatrix[n]

genera la matriz identidad n × n.

El comando

MatrixForm[matriz]

imprime la matriz en forma de tablero bidimensional, haciendo as´ı m´as clara su estructura. Por otra parte, Mathematica dispone de algunas ´ordenes para hacer referencia a los elementos de la matriz: