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INGENIER´IA de TELECOMUNICACIONES
ESTAD´ISTICA
PR ´ACTICA 2. PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS
Nota: Se evaluar´a la claridad, s´ıntesis y el formato de tu presentaci´on. Debes inclu´ır las l´ıneas de c´odigo que has utilizado para responder a cada pregunta.
Probabilidad
Ejercicio 1 (3 puntos) Dado el circuito de la figura, formado por los componentes A, B, C y D que funcionan de manera
independiente:
AA B
C
D
a) Calcula mediante simulaci´on con MATLAB/Octave la probabilidad de que el sistema funcione, suponiendo que P (A) = 0.80, P (B) = 0.85 y P (C) = P (D) = 0.75. ¿A qu´e valor te´orico se aproximar´a la soluci´on mediante simulaci´on? Justifica tu respuesta.
b) Calcula mediante simulaci´on con MATLAB/Octave el incremento en la fiabilidad del sistema original (en porcentaje) si se agregan dos componentes E y F (que funcionan de manera independiente) con probabilidad de funcionar igual a 0.75 en el subsistema final formado por los componentes C y D. ¿A qu´e valor te´orico se aproximar´a la soluci´on mediante simulaci´on? Justifica tu respuesta. Nota: El incremento en la fiabilidad se calcula como: Prob. sist. nuevoProb. sist. original−Prob. sist. original × 100 %.
c) Calcula mediante simulaci´on con MATLAB/Octave el cambio en la fiabilidad del sistema original cuando:
se incrementan las probabilidades de que las componentes A y B funcionen en 0.1; se incrementan las probabilidades de que las componentes C y D funcionen en 0.2.
¿En cu´al de los dos casos se observa un mayor impacto en la fiabilidad del sistema original?
Ing. de Telecomunicaciones - Estad´ıstica (2023-2024) - PR ACTICA 2. PROBABILIDAD y VA’s´ 1
Variables aleatorias
Ejercicio 2 (2 puntos) Sea p = P (S = s) una funci´on de probabilidad definida para el espacio de sucesos S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } con las siguientes probabilidades:
S 1 2 3 4 5 p 0.3 0.2 0.2 0.2 0. a) Genera en MATLAB/Octave dos v.a.’s independientes (X 1 y X 2 ) con funci´on de probabilidad p. ¿Qu´e valores aproximados deber´ıan dar la media y la varianza de X 1 y X 2? b) Comprueba gr´aficamente mediante una tabla de frecuencias y un diagrama de barras que la generaci´on de X 1 y X 2 es correcta. c) Calcula mediante simulaci´on en MATLAB/Octave la probabilidad P (2 × X 1 = X 2 ). ¿A qu´e resultado te´orico deber´a parecerse el resultado obtenido? Justifica tu respuesta. Ejercicio 3 (3 puntos) Utiliza el m´etodo de la transformaci´on inversa de la funci´on de distribuci´on para generar una variable aleatoria continua cuya funci´on de distribuci´on FX (x) sea
FX (x) =
0 x < 0 x^2 2 0 ≤^ x^ ≤^1 1 − (2−x)
2 2 1 < x^ ≤^2 1 x > 2 a) Determina anal´ıticamente la funci´on de densidad fX (x). b) Escribe el pseudoc´odigo para generar n´umeros aleatorios de la variable aleatoria X mediante el m´etodo de la transformaci´on inversa. c) Escribe el c´odigo MATLAB/Octave que genera la variable aleatoria X. d) Calcula anal´ıticamente E[X] y Var[X]. ¿C´omo se podr´ıa comprobar que se ha generado de forma correcta la v.a. X en el apartado anterior?
Ejercicio 4 (2 puntos) Sea X una variable aleatoria cuya funci´on de densidad f (x) viene dada por
f (x) =
αβxβ−^1 exp
−αxβ^
x > 0 0 x ≤ 0 a) Indica el c´odigo MATLAB/Octave para generar n = 100000 valores X con α = 0.2 y β = 0.5. Justifica tu respuesta. b) Sabiendo que la variable aleatoria anterior tiene media y varianza dadas por
μ = E [X] = α−^
(^1) β Γ
β
y σ^2 = Var [X] = α−^
(^2) β
β
β
¿C´omo se podr´ıa comprobar que se ha generado de forma correcta la v.a. X en el apartado anterior? Nota: La funci´on gamma Γ(·) para valores enteros positivos se define como Γ(n) = (n − 1)!
Ing. de Telecomunicaciones - Estad´ıstica (2023-2024) - PR ACTICA 2. PROBABILIDAD y VA’s´ 2
