Pràctica 2: Espai euclidià.
Objectius:
Conèixer les aplicacions del producte escalar habitual
Estudiar la perpendicularitat entre vectors
Calcular la norma d’un vector
Estudiar l’angle entre dos vectors
Calcular la distància entre vectors
Saber determinar el signe de les formes quadràtiques
1. Si u = (3,1,2, k)iv = (−3,4,2k, k), determineu
(a) El producte escalar u ·v
(b) La norma del vector u
(c) El valor de ksi volem que u iv siguin perpendiculars
2. Donats els vectors u = (3,4,1) iv = (−1,1,1),
(a) Calculeu l’angle que formen els vectors u iv
(b) Calculeu la distància entre u iv
3. A R
2
considerem el vector u = (5,2)
(a) Si v = (2, k), quins són els valors del paràmetre kque fan que l’angle entre u iv sigui de 30
o
?
Representeu gràficament el vector u i la solució.
(b) Si v = (k, 2) ,quin és el valor kque fa que l’angle entre u iv sigui de 30
o
?
(c) Compareu els resultats obtinguts en ambdós apartats i raoneu què succeeix en l’apartat (b).
4. Si u iv són vectors ortogonals (i no nuls), proveu que u iv són perpendiculars.
5. Determineu els valors del paràmetre kper als quals el vector w és unitari en els casos següents:
w = (7, k)iw =
1
2
, k.
És possible que un vector sigui unitari si un dels seus components és més gran que 1?
6. Determineu la distància entre els vectors u = (2,1,1) iv = (1,2,2). Estudieu si hi ha algun vector de
la forma w = (x, 2,3) tal que la distància d(v, w)sigui 4.
7. Si fés una forma quadràtica de R
3
que té per matriu A=
3 2 0
2 3 2
0 2 5
,
(a) Determineu l’expressió analítica de la forma quadràtica f.
(b) Estudieu el signe d’aquesta forma quadràtica.
8. Estudieu el signe de la forma quadràtica de R
3
definida per f(x, y, z) = 4x
2
−y
2
+3z
2
+2xy + 6xz −2yz
quan la restringim al subespai
S=(x, y, z)∈R
3
|x−y= 0
9. Donada la forma quadràtica de R
3
definida per f(x, y, z) = 5x
2
+ 2y
2
+ 2xy + 2xz −4yz
(a) Determineu quin és el seu signe
(b) Determineu quin és el seu signe quan la restringim al subespai de R
3
definit per
S=(x, y, z)∈R
3
|2x+y−z= 0
10. Estudieu per a quins valors del paràmetre k, la forma quadràtica de R
3
definida com f(x, y, z) =
kx
2
+ 3y
2
+kz
2
+ 2xy + 2yz + 4xz és definida positiva.
1
