Practica algebra números complejos, Ejercicios de Álgebra

¡Descarga Practica algebra números complejos y más Ejercicios en PDF de Álgebra solo en Docsity!

Álgebra (Ingeniería en sistemas industriales)

TRABAJO GRUPAL

Números complejos

• 1. Introducción …………………………………………………………………………………………… pg. Índice
• 2 Potencias en números complejos ………………………………………………... pg.
• 3 Operaciones con números complejos…………………………………….…… pg.
  • 3 1 Suma y resta de números complejos …………….………………………… pg,
  • 3 2 Producto y cociente de numeros complejos …….…………………. pg.
• 4 Módulo y argumento de un número complejo ………………………..pg.
• 5 Cambio de forma binómica a polar …………………………………………….pg.
• 6 Bibliografía ……………………….…………………………………………………………………… pg.

3

Características

Las principales características de los números complejos son:

• Los números reales que intervienen en una fórmula de números complejos pueden

expresarse en forma par, binómica y vectorial.

• Dos números complejos se consideran iguales cuando tienen el mismo componente real

e imaginario.

• Se denomina con la letra C al conjunto de todos los números complejos. De igual

forma, C conforma un espacio vectorial de dos dimensiones.

• A diferencia de los números reales, los números complejos no pueden mantener un

orden.

• Existen los números imaginarios puros, cuya parte real es 0 y su fórmula se representa

de la siguiente manera: 0 + b𝑖 = b𝑖.

4

2. Potencias en números complejos

La unidad imaginaria 𝑖 se puede multiplicar por ella misma como cualquier número real, obteniéndose

entonces lo que se llaman las potencias de la unidad imaginaria. Se establece por convenio que 𝑖

0

1. Las siguientes potencias se calculan de la siguiente forma:

A partir de 𝑖

5

= 𝑖 por lo que se convierte en una sucesión periódica:

Los valores de las cuatro primeras potencias, que son: 𝑖, - 1, −𝑖, 1; se repiten indefinidamente. Por lo

que cualquier potencia de 𝑖

𝑛

, se puede calcular dividiendo 𝑛 4

y sustituyendo 𝑛 por el resto de esta

división.

6

3. 1 Producto y cociente de números complejos

Producto

El producto de números complejos expresados en la forma binómica se opera de acuerdo a la

siguiente fórmula:

o también puede efectuarse como el producto de binomios.

Ejemplo de acuerdo a la fórmula:

Ejemplo como producto de binomios:

7

Cociente

La división de dos números complejos se efectúa multiplicando tanto el numerador como el

denominador de dicha fracción por el complejo conjugado del denominador y, posteriormente,

realizando las simplificaciones correspondientes hasta expresar el resultado de la forma.

Ejemplos:

9

El argumento de un número complejo es el ángulo positivo (el cual gira en sentido contrario a las

manecillas del reloj) que forma el vector con la parte positiva del eje real. Se designa por y se

calcula mediante las siguientes fórmulas, dependiendo el cuadrante en el que se ubica el número

complejo.

PRIMER CUADRANTE SEGUNDO CUADRANTE

TERCER CUADRANTE CUARTO CUADRANTE

10

5. Cambio de forma binómica a polar.

Como se ha explicado en la introducción los números complejos en forma polar constan de dos

partes, el módulo y el ángulo por lo que tienen la siguiente forma:

∝

, siendo 𝑧 el número imaginario y 𝑟

∝

su representación en forma polar.

El módulo 𝑟 se calcula calculando el módulo del vector del número complejo en forma binómica,

siendo el número complejo en forma binómica:

𝑎 + 𝑏𝑖; el módulo 𝑟 = √

2

2

El ángulo ∝ se calcula:

∝= atan (

𝑏

𝑎

Al revés el número complejo en forma binómica a partir de la forma polar se calcula:

𝑧 = 𝑟(cos(∝) + 𝑠𝑒𝑛(∝)𝑖)