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Primera práctica de resistencia de materiales 2
Tipo: Exámenes
1 / 15
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A lo largo de la resoluci´on del examen se indican las puntuaciones asignadas a los
diferentes apartados o pasos a realizar. Estas puntuaciones repetan los porcentajes
indicados en los enunciados. La nota final se obtiene sumando estas puntuaciones,
siendo la puntuaci´on m´axima posible de 100 puntos. Un m´ınimo de 50 puntos se debe
obtener para una evaluaci´on positiva.
conectado a un tubo piezom´etrico en la parte izquierda, y a un tubo en U en la parte derecha. En
la parte inferior tiene conectado un cilindro de di´ametro d, en cuyo extremo existe un pist´on m´ovil.
Inicialmente las v´alvulas M y N est´an abiertas. En la situaci´on representada en la figura se pide:
a) Presi´on absoluta del aire
del dep´osito en Pa y bar.
b) Presi´on del aceite en el
punto A en kg/cm
2 .
c) Fuerza F que es necesario
ejercer sobre el pist´on en
Newton.
d) Altura H de la columna
de aceite en el tubo
piezom´etrico, si el
di´ametro de dicho tubo es
de 1 mm y el aceite moja
totalmente al s´olido.
Datos: γaceite = 7750 N/m
3 ; SHg = 13, 6; Patm = 10
5 P a; d = 0, 12 m;
X 0 = 1 m; X 1 = 1 m; a = 0, 6 m; σaceite = 3, 8. 10
− 2 N/m.
Soluci´on
a) Puntuaci´on: 3,5 ptos
2
1
a
3
2
(aire)
abs = P 1 + γHg a = P 1 + SHg ρ 0 g a
abs
= 10
5
abs = 179968 P a ' 1 , 8 bar
b) Puntuaci´on: 3,5 ptos
PA = P 3 + γaceite a = γHg a + γaceite X 0 = 13, 6 × 9800 × 0 , 6 + 7750 × 1 = 87718 P a = 0, 895 kg/cm
2
c) Puntuaci´on: 3,5 ptos
π d
2
π × 0 , 12
2
d) Puntuaci´on: 4,5 ptos
La altura H corresponder´a a la suma de la altura hidrost´atica (H
hidr ) y la elevaci´on por capilaridad
(h), dado que el l´ıquido moja al s´olido).
4
3
0
1
) = 79968 + 7750 × (1 + 0, 2) = 89268 P a
Altura hidrost´atica correspondiente (H
hidr ):
P 5 = 0 = P 4 − γaceite H
hidr =⇒ H
4
γaceite
hidr = 11, 518 m
Para el ascenso capilar se tiene que el peso del volumen elevado en el capilar es igual a la fuerza debida
pivota sobre el punto A, separa dos compartimentos de un dep´osito, con dos l´ıquidos diferentes (γ 1 y
γ 2 ). Si la compuerta se encuentra en equilibrio en la posici´on indicada, se pide:
a) Deducir la relaci´on entre
los pesos espec´ıficos de los
dos l´ıquidos.
Nota: dibujar los prismas de
presiones acotados correspondi-
entes a las fuerzas hidrost´aticas.
Dato: Coordenadas del cen-
troide del cuarto de cilindro:
G
G
4 R
3 π
Soluci´on
Esquema con los dos fluidos:
γ 1 γ 2
Paso 1, puntuaci´on: 6 ptos
Prismas y fuerzas horizontales (considerando un grosor b):
Fluido de la izquierda, fuerza horizontal (F 1
H
)
1
H
γ 1
H
=
1
2
.(R).(γ 1 .R).b (→)
Fluido de la derecha, fuerza horizontal (F 2
H )
2
H
γ 2 .R
H
=
1
2
.(R).(γ 2 .R).b (←)
Paso 2, puntuaci´on: 3 ptos
Prismas y fuerza horizontal (solo existe componente horizontal en el lado izquierdo):
1
V
1
V = (γ 1
π.R
2
4
).b (↑)
Paso 3, puntuaci´on: 6 ptos
Al estar la compuerta en equilibrio, la suma de momentos respecto a la articulaci´on A debe ser nula ∑
i
Mi = 0, condici´on que nos permitir´a la relaci´on entre los pesos espec´ıficos que nos pide el enunciado.
Considerando las componentes horizontal (F 1
H
) y vertical (F 2
V
) de las fuerzas que actuan desde la parte
izquierda por una parte, y la componente horizontal de la fuerza desde la partde derecha, as´ı como los
puntos de aplicaci´on de dichas fuerzas deducimos los momentos individuales generados por cada una de
dichas fuerzas:
H
1
R
3
1
2
.R.γ 1
.R.b)
V
1
4 R
3 π
).(γ 1
π.R
2
4
.b)
H
2
R
3
1
2
.R.γ 2
.R.b)
H
1
V
1
H
2
γ 1
γ 2
Nota: el punto de aplicaci´on de los prismas verticales est´a a un altura de un tercio de la altura del prisma
(R) contando desde la base en los prismas triangulares, y a la distancia indicada por el enunciado en el caso
de la fuerza vertical.
Fin soluci´on
Al ser la placa totalmente lisa consideramos las fuerzas de fricci´on nulas, por lo que de esta condici´on
que implica que Fy = 0 se deduce que:
Q 1 .ω − Q 2 .ω = Q 0 .ω.cos(60) =⇒ Q 1 − Q 2 = Q 0 .cos(60)
Paso 3, puntuaci´on: 3 ptos
Si adem´as se tiene en cuenta la ecuaci´on de continuidad, que en esta ocasi´on tiene la forma Q 0 = Q 1 +Q 2 ,
se deduce la distribuci´on de caudales:
1
1 + cos(60)
0
2
1 − cos(60)
0
Paso 4, puntuaci´on: 3 ptos
Como ya se discuti´o, la fuerza Fy es nula por lo que queda solamente la componente Fx por deducir:
x
= −ρ.Q 0
.ω.sin(60) = −ρ.A chorro
.ω
2 .sin(60) = −(1000).(
π. 0 , 08
2
2 ).(
Por lo tanto, conocida la fuerza sobre el fludio (
F ), la fuerza (
R) sobre la placa es :
F =⇒ Rx = −Fx = 735, 68 N, Ry = −Fy = 0
Paso 5, puntuaci´on: 3 ptos
Por ´ultimo, una vez conocida la fierza sobre la placa podemos deducir la potencia ´util, y mediante esta
deducir el rendimiento utilizando para ello la potencia del chorro:
P ot util
R.~u |= R x
.sen(60).u = (735, 68).(
P ot chorro
= γ 0
0
v 0
2
2 g
= γ 0
chorro
v 0
3
2 g
π. 0 , 08
2
3
2 g
P ot util
P ot chorro
=⇒ η chorro
P ot util
P ot chorro
= 0, 7605 =⇒ η chorro
Fin soluci´on
a 1,5 m/s. Si el tiempo de cierre de una v´alvula situada aguas abajo de la misma es 3 s, calcular el
di´ametro m´ınimo de la tuber´ıa para que el cierre sea r´apido. Los di´ametros comerciales van de 50 en
50 mm ¿Cu´al es la sobrepresi´on generada (mca)?
Datos: m´odulo de elasticidad volum´etrico del fibrocemento 1. 825. 000 N/cm
2 y del agua 2, 2. 10
9 P a.
Ayuda:
a =
K/ρ
1+(K/E)(D/e)
Allievi → ∆H = a · v/g
Micheaud → ∆H = 2 · L · v/g · T cierre
Soluci´on
Paso 1, puntuaci´on: 1 pto
Datos :
L = 1500 m
e = 12. 10
− 3 m
v = 1, 5 m/s
9 N/m
2 (agua)
6 N/cm
2 = 1, 825. 10
10 N/m
2
Paso 2, puntuaci´on: 3 ptos
El el contexto del golpe de ariete, para que un cierre sea r´apido se debe verificar que:
t tc
a
siendo t tc
el tiempo de cierre, L la logitud de la tuber´ıa y a la velocidad de propagaci´ıon de la onda de
sobrepresi´on, que viene dada por la expresi´on proporcionada por el enunciado.
Considerando el tiempo de cierre l´ımite asignado de 3 s deducimos la velocidad a que le corresponder´ıa a
dicho caso. Esta velocidad es la m´axima (a ≡ a max
) premitible para la onda de propagaci´on dado que para
cualquier velocidad superior a esta un cierre de 3 s se tornar´ıa en lento:
t tc
a max
=⇒ a max
= 1000 m/s
Paso 3, puntuaci´on: 3 ptos
Teniendo en cuenta la expresi´on de la velocidad de propagaci´on de la terturbaci´on y los datos propor-
cionados:
a =
K/ρ
1 + (K/E)(D/e)
=⇒ a max
min
se deduce que el di´ametro correspondiente a dicha velocidad m´axima ser´a a su vez el dim´ametro m´ınimo
(a ≡ a max
min
). De la ecuaci´on anterior y utilizando los datos proporcionados por el enunciado
deducimos el di´ametro exacto necesario para una velocidad de 1000 m/s:
de un fluido de densidad ρ y viscosidad din´amica μ, depende de las variables mencionadas y de la
gravedad g:
T = f (d, ω, ρ, μ, g)
a) Mediante el an´alisis dimensional obt´engase los par´ametros adimensionales.
Variables repetidas: d, ω, ρ.
b) Un disco de 230 mm de di´ametro absorbe 160 W al girar dentro del agua a una velocidad de 146
rad/s. ¿Cu´al ser´ıa la velocidad de rotaci´on correspondiente de un disco similar, de 690 mm de
di´ametro, cuando gira en condiciones din´amicamente semejantes en aire? Calcular la potencia
absorbida a esa velocidad.
Datos: μagua = 101, 3. 10
− 5 P l; aire = 1, 25 kg/m
3 ; μaire = 1, 85. 10
− 5 P l.
Soluci´on
Apartado a)
Paso 1, puntuaci´on: 3 ptos
Tabla de dimensiones de las variables involucradas y deducci´on del n´umero de variables adimendionales o
n´umeros Π involucrados (variables repetidas):
d 0 1 0
ω 0 0 -
ρ 1 -3 0
μ 1 -1 -
g 0 1 -
N umero de variables´ : n = 6
N umero de dimensiones f undamentales´ : m = 3
=⇒ n − m = 3 =⇒ π 1 , π 2 , π 3
Paso 2, puntuaci´on: 6 ptos (2 cada)
Deducimos los tres n´umeros adimensionales:
1
π 1 = T. d
a
. ω
b ρ
c
[π 1 ] = M
0 .L
0 .T
2 .T
− 2 ].[L]
a .[T
− 1 ]
b .[M.L
− 3 ]
c
M : 0 = 1 + c
L : 0 = 2 + a − 3 c
T : 0 = − 2 − b
a = − 5
b = − 2
c = − 1
=⇒ π 1
d
5 ω
2 ρ
π 2
= μ. d
a
. ω
b ρ
c
[π 2
0 .L
0 .T
− 1 .T
− 1 ].[L]
a .[T
− 1 ]
b .[M.L
− 3 ]
c
M : 0 = 1 + c
L : 0 = −1 + a − 3 c
T : 0 = − 1 − b
a = − 2
b = − 1
c = − 1
=⇒ π 2 =
μ
d
2 ωρ
3
π 3 = g. d
a
. ω
b ρ
c
[π 3
0 .L
0 .T
− 2 ].[L]
a .[T
− 1 ]
b .[M.L
− 3 ]
c
M : 0 = 0 + c
L : 0 = 1 + a − 3 c
T : 0 = − 2 − b
a = − 1
b = − 2
c = 0
=⇒ π 3
g
dω
2
Apartado b)
Datos:
Variable Agua Aire
D (mm) 230 690
ρ (kg/m
3 ) 1000 1,
μ (P l) 101 , 3. 10
− 5 1 , 85. 10
− 5
ω (rad/s) 146?
P ot (W ) 160?
Paso 3, puntuaci´on: 3 ptos
En condiciones din´amicas semejantes tendremos (n´umero adimesional que contiene la viscosidad):
(π 2 )
agua
= (π 2 )
aire
Desarrollando esta ecuaci´on llegaremos a la relaci´on entre las velocidades de rotaci´on entre los discos que
giran en agua y aire:
μ agua
d
2
agua
.ω agua
.ρ agua
μ aire
d
2
aire
.ω aire
.ρ aire
ω aire
= ω agua
μ aire
.ρ agua
.d
2
agua
μ agua
.ρ aire
.d
2
aire
ω aire
− 5 ).(1000).(0, 230)
2
− 5 ).(1, 25).(0, 690)
2
= 237 rad/s
Paso 4, puntuaci´on: 3 ptos
Por ´ultimo utilizaremos la igualdad (π 1 )
agua = (π 1 )
aire y la definici´on de la potencia P ot = T.ω para deducir
la relaci´on de potencias entre los dos casos estudiados:
P ot agua
P ot aire
agua
.ω agua
aire
.ω aire
ρ agua
.d
5
agua
.ω
3
agua
ρ aire
.d
5
aire
.ω
3
aire
P ot aire
= P ot agua
ρ aire
.d
5
aire
.ω
3
aire
ρ agua
.d
5
agua
.ω
3
agua
P ot aire
5 .(237)
3
5 .(160)
3
Fin soluci´on
BA = BX + hf A→X
Donde BA y BX son los tde Bernoulli correspondientes a los puntos A y X, mientras que hf A→X
las
p´erdidas producidas entre los dos puntos. Estas p´erdidas las que deberemos expresar siguiendo la ecuaci´on
de Hazen-Williams, y teniendo en cuenta que la longitud total de la tuber´a debe incluir las longitudes
casa
y L acometida
indicadas en la figura, as´ı como la longitud z x
vertical desde la acometida hasta la salida
del grifo. Desarrollamos los tres t´erminos:
A
PA
γ 0
v A
2
2 g
z A
v A
2
2 g
PX
γ 0
v X
2
2 g
PX
γ 0
atm
en X);
v X
2
2 g
16 .Q
2
2 g.π
2 .D
4
hf A→X
tot
1 , 582
l/s
tot
= 11 + 8 + z x
γ 0
= z x
2
2 g.π
2 .D
4
tot
1 , 582
3
= z x
− 4 )
2
2 g.π
2 .(16. 10
− 3 )
4
1 , 852
z X
= 24, 78 m (contando desde A)
donde :
− 5 → (abaco) → C HW
10
1 , 852 .(16)
4 , 87
Por lo tanto la altura m´axima que se nos pide es de 24, 78 m medida desde el punto de acometida A, o
bien 23, 78 m desde el nivel de la calle.
Apartado b)
Paso 2, puntuaci´on: 3 ptos
Teniendo en cuenta la geometr´a del problema la ´ultima planta a la que se pueda dar sevicio ser´a la
septima:
P lanta 7 : ≈ (6.3) + (3, 5) + (1) + (0, 4) = 22, 9 m
que equivale a una altura de 40 cm sobre la base de dicho planta.
Fin soluci´on
a) Definir brevemente: flujo permanente, flujo no uniforme, flujo m´asico y flujo laminar.
b) Hip´otesis de partida en la deducci´on de la ecuaci´on de Bernoulli a partir de la ecuaci´on de Euler.
c) Aparatos que miden la presi´on din´amica del flujo en un conducto cerrado. An˜adir esquemas
gr´aficos.
d) Hip´otesis de partida en la deducci´on de la expresi´on del caudal para vertederos de pared delgada.
Soluci´on
Pregunta a, puntuaci´on: 8 ptos (2 por definici´on)
Definiciones:
Flujo permanente: La velocidad en un punto cualquiera es constante en el tiempo. La velocidad de
las sucesivas part´ıculas que ocupan un punto en los sucesivos instantes es la misma. Esa continuidad en el
tiempo en un punto se puede aplicar tambi´en al resto de las variables que definen el estado del fluido en ese
punto. Ejemplo: Bombeo de agua por una tuber´ıa de caudal constante.
∂v
∂t
∂ρ
∂t
∂t
∂p
∂t
Flujo no uniforme: El vector velocidad var´ıa en un instante dado de un punto a otro. Ejemplo: L´ıquido
que fluye a trav´es de una tuber´ıa de secci´on variable, o una tuber´ıa curvada.
∂v
∂s
Flujo m´asico: masa de fluido que atraviesa una secci´on por unidad de tiempo ( ˙m):
m˙ = ρ.v.A = ρ.Q
Flujo laminar: En funci´on del intercambio de la cantidad de movimiento entre mol´eculas los flujos se
clasifican como laminares o como turbulentos. El flujo laminar es aquel en el que las trayectorias del fluido
se mueven a lo largo de trayectorias lisas en capas o l´aminas, desliz´andose una capa sobre la adyacente, sin
intercambio de cantidad de movimiento y cumpli´endose la ley de Newton de la viscosidad:
τ = μ.
dv
dy
Pregunta b, puntuaci´on: 2,5 ptos (0,5 por hip´otesis)
a) Hip´otesis 1: Fluido perfecto (μ = 0)
b) Hip´otesis 2: Campo externo es el gravitatorio
c) Hip´otesis 3: Aplicaci´on sobre a una misma l´ınea de corriente (s)
d) Hip´otesis 4: Flujo permanente
e) Hip´otesis 5: Flujo incompresible
