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UNIVERSIDAD DE CARABOBO FACULTAD EXPERIMENTAL DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE COMPUTACIÓN GRUPO DE MATEMÁTICAS DE LA COMPUTACIÓN ELEMENTOS DISCRETOS
Practica de Algebra de Boole
I. Parte Teórica:
Forma normal. Forma normal disyuntiva (f.n.d). Forma normal conjuntiva (f.n.c.). Forma normal completa. Álgebra de Boole. Modelos de álgebra de Boole. Principio de dualidad. Propiedades del álgebra de Boole. Planteamiento de soluciones a problemas utilizando tablas de verdad. Circuitos interruptores. Circuitos lógicos. Representación de instrucciones lógicas a través de interruptores y compuertas lógicas. Variable booleana. Expresión booleana. Función booleana. Representación estándar de funciones booleanas: Suma de productos, producto de sumas. Literal de una expresión booleana. Producto fundamental, suma fundamental. Mintérmino, maxtérmino. Forma canónica de una función booleana. Conversión entre las formas canónicas. Simplificación de funciones booleanas por medio de mapas de Karnaugh. Características de los mapas de Karnaugh.
II. Parte Práctica:
- Verifique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser falsas explique brevemente:
a) Sea n ∈ Z+^ y Bn^ = { (b 1 , b 2 , …, bn) / bi ∈ {0, 1} ∧ 1 ≤ i ≤ n } entonces, una función f: Bn^ B es una función booleana de n variables. verdadero falso
b) Una función g : Bn^ B puede ser representada como la suma de los mintérminos o como el producto de los maxtérminos. verdadero falso c) xx = x. verdadero falso
d) Sea B = {0, 1} y sea f : B^3 B. La representación de la función f ( x , y, z ) = xy es una forma normal disyuntiva. verdadero falso e) La forma normal conjuntiva de una función f : Bn^ B es la suma de conjunciones fundamentales. verdadero falso
f) Sea B = {0, 1} y sea f : B^3 B. La representación de la función f ( x , y, z ) = xy es una forma normal disyuntiva completa. verdadero falso
- Encuentre la forma normal disyuntiva de las siguientes proposiciones:
a) (x ∧ y) →(¬x ∧ ¬y) b) y ∧ ¬(x ∨ ¬x) c) ¬w ∧ (x ∨ ¬y)
d) (x ∧ y) → x e) (y ∨ ¬z) ↔ x f) (w → ¬x ) ∧ y ∧ ¬(y ∧ z)
- Encuentre la forma normal conjuntiva de las siguientes proposiciones:
a) (x ∧ y) →(¬x ∧ ¬y) b) y → (¬x ∧ x) c) w ∨ ¬(x ∨ ¬y)
d) (x ∧ y) → x e) (y ∨ ¬z) ↔ x f) (w ∧ x ) ∨ y ∨ ¬(y ∧ z)
- Encuentre la forma normal disyuntiva completa de las siguientes proposiciones:
a) (x → (x ∧ y)) ∧ ((x ∧ y) ∨ z) b) (w ∧ x ∧ ¬y) ∨ (w ∧ y ∧ ¬z) ∨ (x ∧ y)
- Encuentre la forma normal conjuntiva completa de las siguientes proposiciones:
a) ¬{ [ x → (y → ¬z) ] → [ (x ∧ y) → z ] } b) (w ∨ x ∨ y) ∧ (x ∨ ¬y ∨ z) ∧ (w ∨ ¬y)
- Sea f : Bn^ B. Si la f.n.d. de f tiene m conjunciones fundamentales y su f.n.c. tiene k disyunciones fundamentales, ¿cómo se relacionan m , n y k?
- Si x , y, z son variables booleanas y x + y + z = xyz , demuéstrese que x , y, z son simultáneamente 0 ó 1.
- Exprese su opinión acerca de la veracidad de la siguiente afirmación:
La estructura B = (B, +,. , -; 0, 1) es un álgebra de Boole si satisface que: (B, +; 0) y (B,. ; 1) son dos monoides tales que ‘+’ y ‘.’ son conmutativas; ‘+’ y ‘.’ deben ser distributivas, cada una respecto de la otra; todo elemento a ∈ B, admita un complementario ac^ ∈ B, con el cual verifique que: a. ac^ = ac^. a = 0 a + ac^ = ac^ + a = 1
- Escriba el dual de las siguientes proposiciones y concluya con respecto a su veracidad:
a) (a + 0) + (1. ac) = 1 b) a. (ac + b) = a. b c) (a. 0) + (a. 1) = a d) { [c. (a + bc)] + [ ((a + bc). c). (a + c) ] }. 1 = (a + bc). c
- Sea B = (B, +,. , -; 0, 1) un álgebra booleana. Demostrar:
a)0 = 1 b)1 = 0 c) a + (a.b) = a d) a. (a + b) = a (Leyes de absorción) e) a + a = a f) a.a = a (Leyes de idempotencia) g) a + 1 = 1 h) a.0 = 0 (Leyes de identidad)
i) x + y = x.y^ j) x.y = x + y^ (Leyes de De Morgan)
b)
Para cada uno de ellos:
i.- Determine la expresión lógica asociada. ii.- Encuentre un circuito lógico equivalente.
- Simplifique las siguientes funciones booleanas usando mapas de Karnaugh y construya el circuito digital usando compuertas lógicas:
a) f (w, x, y) = ∑m( 0, 3, 6 ) b) f (w, x, y) = ∑m( 0, 2, 4, 6 ) c) f (x, y, z) = ∑m( 1, 3, 5, 7 ) d) f (w, x, y) = ∏M( 0, 2, 4, 6 ) e) f (x, y, z) = ∏M(1, 3, 5, 7) f) f (x, y, z, w) = ∑m( 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10 ) g) f (x, y, z, w) = ∑m( 3, 4, 5, 7, 9, 13, 14, 15 ) h) f (x, y, z, w) = ∏M( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ) i) f (x, y, z, w) = ∑m( 0, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 14, 15 )
j) f^ (x, y, z) = ∏M( 0, 2, 4, 6 )
- Resuelva los siguientes problemas:
a) Los habitantes de la Casa del Ritmo andan desesperados porque quieren instalar un sistema de alarmas, debido a la gran cantidad de personas que desean colearse a las fiestas. Este sistema de alarmas lo quieren mandar a instalar, de manera que se active la alarma siempre y cuando en el instante en que alguien quiera colearse por la ventana, el vigilante esté en el baño o estén llegando invitados a la fiesta (o sea que el timbre esté sonando). Desarrolle el proyecto, especificando tabla(s) de verdad, significado de la(s) variable(s) y representando el circuito asociado usando compuestas lógicas.
b) En la Electricidad de Valencia, se encienden a las 4:00 p.m. las luces del piso 1, si el encargado de turno así lo ordena. Las del piso 2 no sólo dependen de la decisión del encargado de turno, sino que el guardia también lo debe ordenar. Por otra parte, si no hay alguna persona en el piso 1, no se pueden encender las luces de éste. Además de todo esto, en vista de que hubo problemas con el encargado de turno, se acordó también que cuando éste ordenara no encender las luces en el piso 2 y el guardia si 1o ordenara, fueran encendidas sin restricción alguna. Diseñe y represente el circuito lógico asociado e indique cuándo se encienden las luces en cada uno de los pisos.
c) Una luz en un salón es controlada independientemente por tres interruptores de pared (A, B, y C), localizados en tres entradas diferentes del salón. Cada interruptor tiene dos estados, abierto (0), cuando no deja pasar la corriente y cerrado (1), cuando deja pasar la corriente. Se cumplen las siguientes condiciones:
- La luz se enciende si A y C están cerrados o si B y C están cerrados.
- La luz se apaga si están A y C abiertos y B cerrado, si están B y C abiertos y A cerrado, si están A y B abiertos y C cerrado, si está C abierto y A y B cerrados, o si los tres interruptores están abiertos. Diseñe un circuito que permita a la corriente eléctrica fluir de la manera requerida.
d) En una planta de refinación de petróleo se realizan tres procesos P0, P1 y P2 y dependiendo de ciertas combinaciones en la ejecución de los mismos, se puede caer en un estado de alerta o en un estado de peligro. Para controlar esta planta se tienen tres sensores: S0, S1 y S2, de tal manera que si el sensor Si toma el valor de 1, significa que se está ejecutando el proceso Pi, para i = 0, 1, 2. Por otra parte, los estados de alerta y de peligro, se presentan bajo los siguientes criterios:
- Cuando dos o más procesos se están ejecutando o cuando se ejecuta P2 y no se ejecuta P1 ni P0, se está en un estado de peligro.
- Cuando P1 y P0 se ejecutan de manera excluyente y P2 no se está ejecutando, se está en un estado de alerta.
Ante esta situación, la compañía de petróleos ha decidido contratar sus servicios para que desarrolle un proyecto sobre un circuito lógico que permita activar la señal de peligro y la señal de alerta. En el informe de diseño, usted debe especificar tabla(s) de verdad y significado de las variables; y además representar el circuito lógico asociado.
e) Se requiere crear un circuito lógico, que señale la toma de decisiones del Banco "Crédito Fácil", cuya junta directiva está formada por el Presidente, el Vice-Presidente y un Gerente General, los cuales pueden votar una sóla vez cada uno respecto al otorgamiento de un crédito. Las políticas del banco son las siguientes:
Se aprueba:
- Si se vota a favor en forma unánime.
- Si el Vice-Presidente vota a favor, pero los restantes votan en contra.
- Si el Vice-Presidente vota en contra, pero los restantes votan a favor.
- Si el Vice-Presidente y el Gerente General votan a favor.
Se rechaza:
f) Debido a los errores de transmisión que pueden ocurrir al transmitir un bloque de datos, los diseñadores de redes han desarrollado varias estrategias para detectar y corregir dichos errores. Una de las herramientas usadas para este propósito, es el código Hamming para detección y corrección de errores, que comprende una etapa de codificación de la palabra a transmitir (esto se realiza en el emisor) y una etapa de decodificación de la palabra transmitida (esto se realiza en el receptor). En este momento nos enfocaremos en el emisor.
