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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
PRÁCTICA No. 3
“LA DERIVADA Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA”
COMPETENCIA
Calcula la pendiente de la recta tangente y la recta normal a una función utilizando el concepto de derivada y las
herramientas geométricas de GeoGebra.
MARCO TEÓRICO
Cualquier recta que corte en dos puntos a una curva se denomina recta secante, en la figura 1 se ejemplifica una recta
secante que pasa por los puntos definidos P x f ( , ( )) x y Q x ( + h f , ( x + h ))sobre la curva.
Figura 1. Recta secante
La diferencia de las abscisas se denota como el incremento “ h ” el cual es asignado al segundo punto. Considerando la
recta secante establecida, su pendiente está determinada por la ecuación (1):
Si se considera al punto P como fijo y al punto Q como un punto que se mueve a lo largo de la curva hacia P , el valor
de h disminuye y tiende a cero a medida que Q se aproxima a P. La pendiente de la recta secante va a ir cambiando a
medida que Q se aproxima a P , hasta llegar a una posición límite. Cuando Q llega a P la recta secante se convierte en
recta tangente y se denomina recta tangente a la gráfica de f^ ( ) x en el punto P.
( ) ( ) s
f x h f x
m
h
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Definición de recta tangente a la gráfica de una función
Supóngase que la función f ( x )es continua en x. La recta tangente a la gráfica de f ( x )en el punto P x f ( , ( )) x es la
recta que pasa por P y tiene pendiente ms dada por la ecuación (2)
0 s^ lím h
f x h f x m → h
Si ese límite existe
Definición de la derivada de una función
La derivada de una función f ( x )es aquella función, denotada por f '( x ), tal que su valor en un número x del dominio
de^ f^ ( x )está dado por la ecuación (3)
0
' lim x
f x x f x f x → x
Si ese límite existe.
Comparando las ecuaciones (2) y (3), se observa que la pendiente de la recta tangente a la curva dada por la función
f ( x ) en el punto P x f ( , ( x ))es precisamente la derivada de f ( x )evaluada en x.
En general para una curva la pendiente no es constante, ya que varía de un punto a otro. Para hallar la pendiente de una
curva en algún punto, se hace uso de la recta tangente a la curva en el punto en cuestión.
En la figura 2 se observa que la recta tangente a la curva y = f ( ) x en P , es la recta que mejor se aproxima a la gráfica
de f^ ( ) x en tal punto. El problema de hallar la pendiente a una curva en un punto se convierte así, en el de calcular la
pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. De un modo informal, cuando nos referimos a la recta tangente
a una curva, entendemos una tangente local a la curva en un punto concreto, sin que nos interese el que la recta y la curva
se corten en algún otro punto.
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Figura 4. Pendiente de la recta secante que pasa por P y Q
En la figura 4 se observa que con los puntos P x f ( , ( )) x y Q x ( + x f , ( x + x ))la pendiente de la recta secante que
pasa por P y Q está dada por la ecuación (5):
s
y f x x f x
m
x x
Cuando Q → P tenemos que → x 0. Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en P esta dada por la ecuación
0 0
t lim^ lim
x x
y f x x f x
m
→ x → x
Ahora se puede definir la pendiente a una curva en uno de sus puntos.
Definición. En el punto (^) P x f ( , ( )) x la pendiente m de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) es igual a la pendiente de su recta tangente en
P x f ( , ( )) x^ y queda determinada por^ la ecuación (7):
0 0
lim lim
x x
y f x x f x
m
→ x → x
Si el límite existe.
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DESARROLLO
MATERIAL O EQUIPO : Computadora con software
requerido instalado
SOFTWARE : GeoGebra
INSTRUCCIONES :
- Ingresar en la barra la función a estudiar. Por ejemplo. Coloree de azul.
- Crear un deslizador de número en el intervalo de - 10 a 10 con incremento de 0.1. Nombrar como “c”.
- Crear el punto A ingresando en la barra de entrada A=(c,f(c)). Este punto se moverá al mover el deslizador.
- Con la herramienta tangentes , trazar una recta tangente a la gráfica de la función en el punto A.
- Trazar una recta normal a la recta tangente en el punto A. Emplear la herramienta perpendicular.
- Con la herramienta pendiente medir las pendientes de la recta tangente y la normal. Nombre la
pendiente de la recta tangente como mt y la pendiente de la recta normal como mn.
- Colore la recta tangente de rojo y la recta normal de verde con trazo discontinuo.
8. Obtenga la primera derivada de la función f ( ) x , ingrese en la barra de entrada
Geogebra la nombrará f '( ) x.
- Evalué la primera derivada en c, ingresando en la barra de entrada f '( ) c y nombre como fc.
Obtendrá un gráfico como el mostrado en la figura 5.
Figura 5. Ejemplo de gráfica obtenida en GeoGebra
REPORTE
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a) Siga los pasos del 1 al 9 indicados en el apartado de desarrollo para la función para la función
4 2
( ) 4 2
x x f x = −
Pegue el gráfico obtenido:
b) Mueva el deslizador c y complete la siguiente tabla:
x - 2 - 1.5 - 1 - 0.5 0 0.5 1 1.5 2
m ct ( )
La función es creciente o decreciente
c) Complete:
Si la pendiente de la recta tangente a un punto de la gráfica de
4 2 ( ) 4 2
x x f^ x^ =^ − es _____________ entonces la
pendiente de la función es ___________________ y la función es creciente.
Si la pendiente de la recta tangente a un punto de la gráfica de
4 2 ( ) 4 2
x x f^ x^ =^ − ________________ entonces la
pendiente de la función es ___________________ y la función es decreciente.
Alrededor del punto donde la pendiente de la recta tangente es cero la función
4 2 ( ) 4 2
x x f^ x^ =^ − cambia de
creciente a ___________________ o de ______________________ a ________________________
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d) Determine analíticamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto A(- 3 ,63/4).
Compruebe su resultado con Geogebra.
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d) Determine analíticamente la ecuación de la recta tangente en ( 2 , 8 ) a la gráfica de
3 f ( ) x = x. Compruebe su
resultado con GeoGebra
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GUÍA DE PREGUNTAS
- La recta tangente de la gráfica de una función puede representarse matemáticamente a través del siguiente
límite :
- Si la derivada de una función es negativa en algún intervalo abierto, entonces ¿se concluye que la función es
creciente o decreciente en ese intervalo?
- Si la derivada de una función es positiva en algún intervalo abierto, entonces ¿se concluye que la función es
creciente o decreciente en ese intervalo?
- Si la derivada de una función es cero en un punto de su gráfica, entonces la recta tangente a esa gráfica en
dicho punto tiene una orientación:
- Si la derivada de una función no existe en un punto de su gráfica, entonces la recta tangente a esa gráfica
en dicho punto tiene una orientación:
