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PRACTICA PRODUCTO INTERNO, Ejercicios de Álgebra Lineal

Universidad Nacional de San Agustin de Arequipa (UNSA)Álgebra Lineal

esta practica esta realiazada por el profesor Edgar de segundo año del segundo semestre es mut practico que puedna resolver estos ejercicios

Tipo: Ejercicios

2021/2022

Subido el 07/07/2022

karol-rosmery-mamani-mendoza
karol-rosmery-mamani-mendoza 🇵🇪

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¡No te pierdas las partes importantes!

bg1
1 Practica de Producto Interno
1. Considere los vectores x= (x1; x2)yy= (y1; y2)el espacio vectorial
R2:Determine cuales de las siguientes aplicaciones de…nen un producto
interno real en R2
(a) hx;yi=x1y1+ 3x2y2x1y2
(b) hx;yi=x1y1+x2y2+x1y2
(c) hx;yi= 2x1y1x2y2+1
2x1y2
(d) hx;yi= 2x1y1+x2y2x1y2x2y1
(e) hx;yi= 2x1y1+ 3x2y1x2y2+ 3x1y2
2. (Producto interno de Frobenius, caso real) Demuestre que la siguiente
función bilineal de…nida en el espacio vectorial Mnn(R)
hA;Bi=traza(ATB)
es un producto interno.
3. (Producto interno de Frobenius, caso complejo) Demuestre que la siguiente
función bilineal de…nida en el espacio vectorial Mnn(C)
hA;Bi=traza(AB)A=AT
es un producto interno.
4. Sea A2M22(R)y considere la forma bilineal en el espacio vectorial R2
de…nida por
hx;yi=xTAy
donde x=x1
x2yy=y1
y2:Demuestre que:
(a) Si hx;yies un producto interno, entonces A=AT;a11 >0ydet(A)>
0:
(b) Si A=AT;a11 >0ydet(A)>0entonces hx;yies un producto
interno.
5. Dados los vectores x= (x1; x2)yy= (y1; y2)el espacio vectorial R2y el
producto interno de…nido por
hx;yi= 2x1y1+x2y2x1y2x2y1
resulva los siguientes items.
(a) Calcule la norma del vector v= (1;1)
1
pf2

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¡Descarga PRACTICA PRODUCTO INTERNO y más Ejercicios en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!

1 Practica de Producto Interno

  1. Considere los vectores x = (x 1 ; x 2 ) y y = (y 1 ; y 2 ) el espacio vectorial R^2 : Determine cuales de las siguientes aplicaciones deÖnen un producto interno real en R^2

(a) hx; yi = x 1 y 1 + 3x 2 y 2 x 1 y 2 (b) hx; yi = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 1 y 2 (c) hx; yi = 2x 1 y 1 x 2 y 2 + 12 x 1 y 2 (d) hx; yi = 2x 1 y 1 + x 2 y 2 x 1 y 2 x 2 y 1 (e) hx; yi = 2x 1 y 1 + 3x 2 y 1 x 2 y 2 + 3x 1 y 2

  1. (Producto interno de Frobenius, caso real) Demuestre que la siguiente funciÛn bilineal deÖnida en el espacio vectorial Mnn(R)

hA; Bi = traza(AT^ B)

es un producto interno.

  1. (Producto interno de Frobenius, caso complejo) Demuestre que la siguiente funciÛn bilineal deÖnida en el espacio vectorial Mnn(C)

hA; Bi = traza(AB) A^ = A

T

es un producto interno.

  1. Sea A 2 M 2  2 (R) y considere la forma bilineal en el espacio vectorial R^2 deÖnida por hx; yi = xT^ Ay

donde x =

x 1 x 2

y y =

y 1 y 2

: Demuestre que:

(a) Si hx; yi es un producto interno, entonces A = AT^ ; a 11 > 0 y det(A) > 0 : (b) Si A = AT^ ; a 11 > 0 y det(A) > 0 entonces hx; yi es un producto interno.

  1. Dados los vectores x = (x 1 ; x 2 ) y y = (y 1 ; y 2 ) el espacio vectorial R^2 y el producto interno deÖnido por

hx; yi = 2x 1 y 1 + x 2 y 2 x 1 y 2 x 2 y 1

resulva los siguientes items.

(a) Calcule la norma del vector v = (1; 1)

(b) Calcule el ·ngulo formado por los vectores v 1 = (1; 0) y v 2 = (1; 2) (c) Determin el valor de 2 R de manera que los vectores v 1 = ( 1 ; 1) y v 2 = ( ; 2) sean ortogonales.

  1. (Identidad de Parseval) Sea V un espacio vectorial con producto interno. Si B = fv 1 ; v 2 ; :::; vng es una base ortonormal, pruebe que se cumple la identidad kuk^2 = hu; v 1 i^2 + hu; v 2 i^2 + ::: + hu; vni^2

para todo vector u 2 V:

  1. (Identidad de Pitagoras Generalizado) Sea V un espacio vectorial con producto interno y v 1 ; v 2 ; :::; vn vectores ortogonales en el espacio vectorial V. Demuestre que se cumple la identidad

kv 1 + v 2 + ::: + vnk^2 = kv 1 k^2 + kv 2 k^2 + ::: + kvnk^2

  1. Considere los vectores x = (x 1 ; x 2 ) y y = (y 1 ; y 2 ) el espacio vectorial C^2 : Determine cuales de las siguientes aplicaciones deÖnen un producto interno complejo en C^2

(a) hx; yi = 2x 1 y 1 + x 2 y 2 x 1 y 2 x 2 y 1 (b) hx; yi = x 1 y 1 x 2 y 2 (c) hx; yi = x 1 y 1 + x 2 y 2 x 1 y 2 x 2 y 1

  1. Considere los vectores x = (x 1 ; x 2 ) y y = (y 1 ; y 2 ) el espacio vectorial R^2 : Determine los valores de y reales para que la forma bilineal deÖnida por hx; yi = (1 ) x 1 y 1 + x 1 y 2 x 2 y 1 + x 2 y 2

sea un producto interno.

  1. Considere los vectores x = (x 1 ; x 2 ) y y = (y 1 ; y 2 ) el espacio vectorial R^2 : Determine los valores de 2 R para que la forma bilineal deÖnida por

hx; yi = x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + x 2 y 2

sea un producto interno.

  1. Considere los vectores x = (x 1 ; x 2 ; x 3 ) y y = (y 1 ; y 2 ; y 3 ) el espacio vectorial R^3 : Determine los valores de ; 2 R para que la forma bilineal deÖnida por hx; yi = x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + (1 + ) x 3 y 3

sea un producto interno.