Funciones Inversas: Propiedades y Cálculo de Derivadas - Prof. Tenorio Burga, Ejercicios de Ingeniería Civil

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PROPIEDADES BASICAS DE LAS FUNCIONES INVERSAS.

1 1.1 DEFINICION. Decimos que una función y = f ( x ) tiene función inversa en el in-

tervalo 1 si se verifican las dos condiciones siguientes

(1) f ( x ) está definida en todo punto x de 1 ;

(2) para cada valor y , que la función f ( x ) toma en el intervalo hoy exuctamente un

X, en 1 tal que f ( x , ) = y ,.

Cuando las condiciones (1) y (2) se.-plen, se define la función x = f y^ se^ le

llama la función inversa de f ( x ) en el intervalo 1, mediante la siguiente regla:

Para cada valor y de la función f ( x ) en el intervalo, escribimos

x = f - l ( y ) si y sólo si y = f ( x ) , con x en 1.

Nota.

1) Una función puede tener inversa o no en^ un^ intervalo.

2) Supongamos que tratamos de determinar si la^ funci6n^ y^ =^ f^ (z)^ tiene inversa^ en un intervalo.

En muchos casos es posible resolver la ecuación

expresando x en términos de y en forma explícita.

Si resulta entonces que hay exactamente un valor de x para cada valor de y, la función dada admite inversa, la cual es dada por la expresión obtenida para x. Por

otra parte , si hay dos o más valores de x para algún valor de y, la función dada

no admite inversa en el intervalo dado.

En otros casos no es posible resolver explícitamente la ecuación (A) para x en

términos de y,como por ejemplo, cuando se trata de las funciones trigonometricas.

Veremos entonces que condiciones muy simples, tales como que la derivada de la función sea no nula en todo punto, garantizan la existencia de la función inversa en el intervalo.

EJEMPLO 1. Encontrar la función inversa de y = 2 x + 5 en el intervalo (-m, + m) si existe.

SOLUCION. Despejando x en términos de y en la ecuación y = 2 x + 5 resulta el único

valor (^) x = - y - 5 , y por lo tanto, la función dada tiene inversa y es dada por 2

X = - S^ Y-

EJEMPLO 2. Hallar la función inversa de y = x^2 - 3 , si existe, en cada uno de los si- guientes intervalos:

(1) [-5,8] (2) (O, +m) (3) (-m, O].

SOLUCION. Resolviendo la ecuación y = x^2 - 3 para x en términos de y resultan

los valores x = i JY + 3.

(1) En el intervalo [-5,8] la función no tiene inversa pues, por ejemplo para y = 1

hay dos valores de x = f J4 = f 2 en el intervalo.

(2) En el intervalo (O, + m) la función dada tiene inversa pues para cada valor de^ y

hay exactamente un valor de x > O tal que

x = J y + 3. La función inversa es dada por esta expresión.

Representación geométrica del teorema.

Las gráficas de f (x)

y f '(x) , son simé-

tricas respecto de la diagonal y = x

La figura muestra la gráfica de una ecuación f ( x ) continua y creciente en el intervalo

cerrado [ a ,b] , y también la gráfica de la función inversa definida en el intervalo ce-

rrado [A, B] , donde escribimos f - ' ( x ) , llamando x a la variable independiente y,

para obtener la gráfica de esta función referida al sistema de ejes XY.

Resulta entonces que las gráficas de las funciones f (r) y f -'(x) son simétricas res-

pecto de la diagonal y = x.

En efecto, de b = f ( a ) o a = f -'(b) se sigue que P = ( a ,b ) se encuentra en la gráfi-

ca de f si y sólo si Q = (b,a ) se encuentra en la gráfica de f -l.

1 1.3 TEOREMA. Sea y = f (x) una función continua y decreciente en un intervalo cerrado [a, b]. Entonces

1) f ( x ) tiene inversa x = f -'(y) en el intervalo dado ;

2) f - '(y) estd definida en el intervalo cerrado [B, A] , donde

A = f ( a ) Y B = f ( b ) ;

3) f - '(y) es continua y decreciente en [B, A].

La prueba de este resultado es similar a la del teorema 11.2.

Funciones Inversas 435

Si representamos con f - ' ( x ) la función inversa, llamando x a Ia variable independien-

te y , entonces las grhficas de f ( x ) y f - ' ( x ) son sim6tricas respecto de la diagonal y = x.

Las gráficas de f ( x ) y f - ' ( x ) , son simé- tricas respecto de la diagonal y = x.

EJEMPLO l. Hallar la función inversa de f ( x ) = - x^3 , y graficar f ( x ) y f - ' ( x ).

SOLUCION.

Resolviendo la ecuaci6n y = - x^3 ,

para x resulta el único valor

x = -6,

luego la huici6n inversa de f ( x ) es

y llamando x a la variable independien-

te y , obtenemos

f - ' ( x ) = -S.

EJEMPLO 2. Encontrar la inversa de f ( x ) = (^) Y ~ a f i c a rf ( x ) Y f - l ( x ).

Funciones Inversas 437

1 1.4 DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA.

Lema. Sea y = f ( x ) una función tal que

1) es continua en el intervalo cerrado^ [a,b]^ ,

2 ) f ' ( x ) > O en a < x < b , o f ' ( x ) < ~ en a < x < b.

Entonces la función f ( x ) tiene inversa x = f -'(y), la cual estA definida y es continua

en el intervalo cerrado de extremos f ( a ) y f (b).

Prueba. Por el teorema de 10.9, tenemos que

Si f ' ( x ) > O en a < x < b , entonces f ( x ) es creciente en [a,b] , y

si f ' ( x ) < O en a < x < b , entonces f ( x ) es decreciente en [a,b].

Luego f ( x ) es continua y creciente o decreciente en el intervalo dado, y aplicando el

teorema 11.2 o el teorema 11.3, según sea el caso, obtenemos la conclusión del lema.

TEOREMA. Sea y = f ( x ) una función que cumple las condiciones del lema.

Entonces para todo número y entre f ( a ) y f ( b ) se tiene

-(Y)^ df^ -'^ = -^1 d f , donde ~ = f - ' ( ~ ). dy (^) - (

di

Nota.

1) El teorema establece que la^ función^ inversa^ x^ =^ f^ -'(y),^ que existe por el lema, es

diferenciable en todo número y entre f (a) y f (b).

2) Puesto que y = f ( x ) , x = f -'(y), la fórmula dada en el teorema se puede escribir

dx 1

-(Y) = -r donde x = f -'(y). dy & ( x )

En forma breve

También se emplea la notación

PRUEBA DEL TEOREMA. Por el lema, la función inversa f - ' ( y ) está definida en todo

número y del intervalo cerrado de extremos f ( a ) y f ( b ).

Sean y t yo números entre f ( a ) y f ( b ). Fijemos y, y escribimos

Tenemos

En efecto,

lim x = q,

Y-+Yo

lim x = lim f -'(y) Y+Yo Y+Yo

(pues f - ' ( y ) es continua)

(dividiendoentre x - xo , pues x + xo ya que f ( x ) = y * yo = f ( x o ) .)

Puesto que y=senx , cosx = JiZX= Jg, resulta finalmente

3) Sustituyendo y^ =^ $^ en la fórmula que hemos obtenido

EJEMPLO 2. Sea la función f (x) = x2 + 2x - 5.

1) Probar que f (x) tiene inversa en el intervalo [-A + m) y encontrar f -'(y)

df -' 2) Hallar -(y) empleando la fórmula de la derivada de la función inversa dy df -' 3) Hallar -(y)^ derivando directamente la función^ f^ - '(y) dy df -' 4) Evaluar -(lo). dy

SOLUCION.

1) La función dada es diferenciable,^ y^ por consiguiente^ continua, en todo punto x.

Además f t ( x ) = 2 x + 2 = 2 ( x + 1 ) > 0 c u a n d o x > - l. Se sigue entonces del lema de 11.4 , aplicado en cada intervalo cerrado [-1, b] con b > -1 , que la función dada tiene inversa f en [-1, + m). Para encontrar f -'(y) resolvemos la ecuación y = x^2 + 2x - 5 para x en terminosdey: x^2 +2x-(y+5) = 0 , dedonde x = - l f m , con - 6 < y , y puesto que x 2 -1 debemos tener x = f - ' ( ~ l ) = - 1 + J y + G , (^) (A)

que es la función inversa buscada.

Funciones Inversas 441

2) Aplicando la fórmula de la función inversa tenemos

Pero - ( x ) = 2 x + 2^ df

dx

= 2 ( - 1 + J y c a ) + 2 (reemplazando el valor dado en (A))

df -' 1 Luego - ( y ) = -

dy 2 3 3 '

3) De (A) tenemos f -' ( y ) = - 1 + m,

y derivando respecto de la variable y : - ( y )^ df^ -'^ = -^1 , resultado idéntico

dy 2 -

al obtenido en (2).

4) Para y = 10 tenemos - ( l o )^ df^ -'^ = -^1. d ~ 8

1 1.5 PROBLEMAS RESUELTOS.

PROBLEMA 1. (^) Encontrar los intervalos en los cuales la función f ( x ) = x 2 - 6x + 8

tiene inversa y hallar las respectivas funciones inversas.

SOLUCION. Tenemos f ' ( x ) = 2x - 6 = 2(x - 3 ). Luego f ' ( x ) > 0 en 3 < x y^ f^ ' ( x ) <^ O^ en^ x^ <^^3 ,^ y^ por lo tanto, por el lema^ de^ 11.4, la función f ( x ) tiene inversa en cada uno de los intervalos (^) [3, + m) y (-m,3].

Para hallar cada función inversa resolvemos la ecuación^2

y = x - 6x + 8

para x en términos de y , x ' - 6 ~ + ( 8 - ~ ) = 0 ,

resultando x = 3 f J y + 1 ;

Funciones Inversas 443

2) Inversa^ de^ f^ ( x )^ en el^ intervalo^ [-&O).

vemos por simple inspección, por ejemplo, evaluando en y = -5 , que el signo es

+, y por lo tanto

y + J y 2 - f " ( y ) = 2

es la función inversa en el intervalo.

Procediendo en forma anhloga, evaluando esta vez en y = 5 , encontramos que

3) inversa de f ( x ) en el intervalo (0,2] es f -'(y) =

y - JG 9 2

4) inversa de^ f^ ( x )^ en el intervalo^ [2,^ +^ m)^ es^ f -'(y) =

y + JG 2

PROBLEMA 3. Probar que la función

tiene inversa en (-m, + m) y hallar f -'(y).

SOLUCION. Tenemos

y por lo tanto f ' ( x ) + O si x # O.

Luego f ( x ) tiene inversa en cada uno de los intervalos (-m, O] y [O, + m).

Resolviendo las ecuaciones y = si X S O 1 + X 2

para x en términos de y se obtienen las siguientes funciones inversas

de f ( x ) en los intervalos (-m, O] y (O, + m), respectivamente.

PROBLEMA 4.

(1) Probar que la función y = tg x tiene inversa en el intervalo (- f , +).

(2) Designando por arc tg y (función arco tangente) la función inversa de tg x ,

d 1 probar que - arc tg y = - - m < y < o o.

d y l + y 2 '

SOLUCION.

1) La función y = tg x es difereneiable en el intervalo (- +, 5 ) con

Luego, por el lema de 11.4, la función tg x tiene inversa en el intervalo dado.

2) Aplicando la fórmula de la derivada de la función inversa (teorema de 11.4) tenemos

d pero - tg x = sec2 r = 1 + tg2x = 1 + y2 , dx

y por lo tanto^ -are d^^ tg y^ =^ -^1 d y l + y 2 ' que era lo que queriamos demostrar.

(4) En el intervalo [ 4 , + m) la inversa de f ( x ) es

f - l ( y ) = 4 + ,/-.

PROBLEMA 6. Sea f ( x ) = x^5 + x^3.

(1) Probar que f ( x ) tiene inversa

(2) Hallar el intervalo en el que f - ' ( y ) esth definida

df -' (3) Hallar - ( - 2 ). dy

SOLUCION.

(1) Puesto que f ' ( x ) = 5 x 4 + 3 x 2 > O si x t O , por el lema de 11.4 la función f ( x ) tiene inversa en ( - a , + m ).

(2) Sea y = x5 + x 3.

De lim y=+oo y lim y = - a ,

x++m x+-m vemos que f - ' ( y ) está definida en el intervalo (-m, + a ) , esto es en todo número Y-

(3) Para y = -2 vemos por simple inspección que x = -1 satisface -2 = f ( - 1 ).

Luego por la fórmula de la derivada de la función inversa

df -' 1 y sustituyendo y = -2, x = -1, resulta - ( - 2 ) = -.

d~ 8

PROBLEMA 7. Sea f ( x ) =^ - x 6 + 3 x 2 + 1 '

(1) Encontrar los intervalos en los cuales f ( x ) tiene inversa.

Funciones Inversas 447

(2) Encontrar los intervalos en los cuales cada función inversa f -'(y) esta definida.

( 3 ) Hallar ( f )(-1 cuando -1= f(1) y -1= f(-1).

SOLUCION.

(1) Tenemos f ' ( x ) = ^ I 2 '

(x6 + 3x2 + 1)

Luego f ' ( x ) < O si x < O

Y_. f t ( x )_ > O si x > O , y por consiguiente, f ( x ) tiene inversa en los intervalos (-m, O] y [O, + m). Nótese que f ( x ) 5 -.

(2) En (-m,O] tenemos f ( 0 ) = -5 y lim f ( x ) = O , %-+-o

luego la inversa de f ( x ) en ( - c o , ~ ] está definida en el intervalo [-S, 0).

En [O,+ m) tenemos f ( 0 ) = -5 y lim f ( x ) = O ,

*++m luego la inversa de f ( x ) en [O, + a) tambibn este definida en el intervalo [-5,O).

( 3 ) De la fórmula de la derivada de la función inversa (teorema de 11.4)

tenemos donde y = f ( x ) ,

t Luego si y = - 1 , x=-1, (^) resulta (f-') (-1) = - & ; 1 Y y = - 1 , x = i , resulta ( f - ' ) ( - 1 ) = +.

PROBLEMA 8. Usando diferenciaci6n implicita en la ecuación (^) y2 - 3x2 - 2y - 8 = 0

encontrar los puntos ( x , y) en los cuales -^ dY^ y - dx son recíprocos. dx dy

Funciones Inversas 449

df -l 1 de donde - ( y ) = - dy - df ( rlx que es lo que queriamos demostrar.

df -' PROBLEMA 10. Hallar - ( y ) para cada una de las siguientes funciones en dy Y = f ( x ).

SOLUCION. Aplicamos la fórmula

(1) Tenemos f t ( x ) = 5 x 4 -15.

Luego sustituyendo 3 = f (2) en la f6rmula (*)

(2) Tenemos f ' ( x ) = - 3 sen 3 x.

Luego sustituyendo ;= f(%) en la fórmula (*)

PROBLEMA 11. Sea y = f ( x ) una funci6n continua y creciente en un intervalo ce-

rrado [a, 61. Probar que

(1) f ( x ) tiene inversa x = f -'(y) en [a,b].

(2) f -'(y) eetá definida en el intervalo cerrado [ A ,B] donde A = f ( a ) , y B = f ( b ).

(3) f -'(y) es creciente en [ A ,B].

(4) f -'(y) es continua en [ A ,B ].

(1) De acuerdo a la definición de función inversa 11.1,debemos probar que para cada valor yo de la función hoy emctamente un xo en [a,b] tal que yo = f ( x o ).

Por reducción al absurdo supongamos que hubiesen dos números distintos

De xo + x, se tiene xo < x, o x, < xo , y por lo tanto, por ser f ( x ) creciente

f ( x o ) < f ( x , ) O f ( ~ l ) < f ( ~ O ).

Luego en cualquier caso f (xo) # f ( x ,) , lo cual contradice (*). Así, para'el valor yo hay exactamente un xo en [a,b] talque yo = f (xo).

(2) Puesto que y = f ( x ) es creciente se cumple f ( a )íf ( x )S f ( b ) o A < y S B para

todo valor y de la función.

Luego los puntos y en los cuales f^ ' ' ( y )^ estd^ definida se encuentran en el

intervalo [ A ,B ].

Falta ver que f -'(y) está definida en todo punto y de [A, B].

Ahora bien dado yo tal que A S yo S B o (^) f ( a )S yo S f ( b ) , siendo f ( x ) una función continua , por el teorema del valor intermedio (7.9)

existe un x, en [a,b] tal que yo = f (x,). Luego el número dado y, es un valor

de la funci6n y por lo tanto f - '(y) Bsta definida en y,.

(3) Debemos probar que f - '(y 1 ) < f -'(y2) si y, < y, en [A$].

Escribimos x , = f -'(y1), x2 = f -'(y2); esto es (^) y1 = f (x,), y2 = f ( x? ) , donde x , , x2 se encuentran en [a,b]

Entonces debe cumplirse f -'(y1) < f -'(y,) pues de lo contrario