INDEPENDENCIA Y
TEOREMA DE BAYES
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Independencia y Teorema de Bayes: Ejercicios y Aplicaciones, Esquemas y mapas conceptuales de Probabilidad
Una introducción al concepto de independencia en probabilidad y al teorema de bayes, incluyendo ejemplos y ejercicios prácticos para comprender su aplicación en diferentes escenarios. Se exploran conceptos como la probabilidad condicional, la probabilidad total y la probabilidad a posteriori, ilustrando su utilidad en la resolución de problemas de probabilidad.
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
2023/2024
1 / 34
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INDEPENDENCIA Y
TEOREMA DE BAYES
Los sucesos A y B serán independientes si la
ocurrencia de B no influye en la probabilidad
de A y al revés. Es decir, si:
P A B P B A P A
P A
P A B
P B A
P A B P A B P B
P B
P A B
P A B
P ( A B ) P ( A ) P ( B ) Independencia P ( A | B ) P ( A ) y P ( B | A ) P ( B )
Como:
Entonces:
Independencia de m sucesos Similarmente, m sucesos A 1
...., A
m se llaman independientes si: P ( A 1
... A
m
) = P ( A
1
) ... · P ( A
m
y además para cada posible subconjunto de k sucesos: P ( A j +
... A
j+k
) = P ( A
j +
) ... · P ( A
j+k
donde j + k < m. De modo que, p. ej. tres sucesos A, B y C son independientes si: P ( A B) = P ( A ) P ( B ) P ( B C) = P ( B ) P ( C ) P ( A B) = P ( A ) P ( B ) P ( A B C) = P ( A ) P ( B ) P ( C )
5 Una caja contiene 10 bolas, 3 son rojas. Escogemos dos bolas al azar. Encuentra la probabilidad de que ninguna de ellas sea roja: (a) con reemplazo y (b) sin reemplazo. Consideremos los sucesos: A: Primera bola no-roja B: Segunda bola no-roja P ( A ) = 7/ Si el muestreo es con reemplazo , la situación para la segunda elección es idéntica que para la primera, y P ( B ) = 7/10. Los sucesos son independientes y la respuesta es: P ( A B) = P ( A ) P ( B ) = 0.7 0.7 = 0. Si es sin reemplazo , hemos de tener en cuenta que una vez extraída la primera bola, quedan solo 9 y 3 deben ser rojas. Así: P ( B | A ) = 6/9 = 2/3. En este caso la respuesta es: P ( A B ) = P ( A ) P ( B | A ) = (7/10) (2/3) 0.
Teorema de la probabilidad total
A
1
A
2
A
3
A
4 B Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces podemos calcular la probabilidad de B como la suma:
P(B) = P(B A
1
) + P(B A
2
) + P( B A
3
) + P( B A
4
P(B) = P(B|A 1 )P(A 1 ) + P(B|A 2 )P(A 2 ) + P(B|A 3 )P(A 3 ) + P(B|A 4 )P(A 4 )
Supongamos que A 1 , A 2 , ... ,An son una partición de E , es decir que los sucesos son mútuamente excluyentes entre sí ( Ai Aj= para todo par) y su unión es E entonces: ( ) ( | ) ( ) 1 i n i i P B P B A P A La ley de probabilidad total ( ) ( ) 1 n i i A 1 A 2 P B P B A
A
3
A
4 B
Estudiante Hombre No fuma Fuma No fuma Fuma 0, 0, 0, 0, 0, 0, Mujer P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M) = 0,1 · 0,7 + 0,2 · 0,3 = 0,
Thomas Bayes nació en Londres, Inglaterra. Su padre fue ministro presbiteriano. Posiblemente De Moivre fue su maestro particular, pues se sabe que por ese entonces ejercía como profesor en Londres. Bayes fue ordenado ministro presbiteriano y muere en 1761. Sus restos descansan en el cementerio londinense de Bunhill Fields. La traducción de la inscripción en su tumba es: "Reverendo Thomas Bayes. Hijo de los conocidos Joshua y Ann Bayes. 7 de abril de 1761. En reconocimiento al importante trabajo que realizó Thomas Bayes en probabilidad. Su tumba fue restaurada en 1969 con donativos de estadísticos de todo el mundo".
P(M) = 0,3, P(F) = 0, P(M|F) = P(F ∩ M)/P(F) = P(F|M) P(M) / P(F) = 0,2·0,3 / 0,13 = 0, Estudiante Hombre No fuma Fuma No fuma Fuma 0, 0, 0, 0, 0, 0, Mujer En el problema anterior: Se elige a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una mujer?
En una urna hay 5 bolas, 3 azules y 2 verdes. Se saca una bola de la urna y sin mirarla, se guarda. A continuación se vuelve a sacar otra bola que es verde. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera haya sido verde? (b) Y si la segunda hubiera sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea verde? (c) ¿Y azul? Nota: Realiza un árbol de sucesos. Llama (A1 y A2), al suceso "sacar azul la primera bola y azul la segunda" y análogamente los restantes: (A1 y V2), (V1 y A2), (V1 y V2). EJEMPLO 2:
Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido verde) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta: Probabilidad de que la primera haya sido verde (en el supuesto que la segunda ha sido azul) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:
Probabilidad de que la primera haya sido azul (en el supuesto que la segunda ha sido azul) Aplicamos el teorema de Bayes y resulta:
Problemas resueltos