Teoría de Probabilidades: Aproximación de Poisson, Apuntes de Probabilidad

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la palabra de hoy: Poisson

I (^) Sim ´eon Denis Poisson: matem ´atico franc ´es (1781 - 1840)

I (^) poisson: pescado en franc ´es

I (^) poison: veneno en franc ´es

I (^) poison: veneno en ingl ´es

Probabilidad - Clase 14

Teorema de aproximaci ´on de Poisson

Ernesto Mordecki

Facultad de Ciencias, Universidad de la Rep ´ublica. Montevideo, Uruguay

Curso de la Licenciatura en Matem ´atica - 2020

Modelo de Poisson

Consideramos, para λ > 0:

I (^) Ω = N = { 0 , 1 , 2 ,... }.

I (^) A = P(N)

I (^) P (m) = e−λ λ nn!. Sabemos que ∑∞

m= 0

λn n!

= eλ.

Esto nos da que el modelo est ´a bien definido, se cumple el Axioma 2.

Aproximaci ´on de Poisson a la distribuci ´on binomial

I (^) El siguiente resultado es una aproximaci ´on diferente de las estudiadas.

I (^) Es la probabilidad de que ocurran una cantidad determinada de ´exitos en una serie de experimentos independientes,

I (^) especialmente ´util cuando la probabilidad de ´exito es peque ˜na (y la cantidad de experimentos grande).

Demostraci ´on

Seg ´un la distribuci ´on binomial, tenemos

Pn(m) =

n m

pm( 1 − p)n−m^ =

n m

λ n

)m( 1 −

λ n

)n−m .

Entonces

P (μn = m) =

n m

λ n

)m( 1 −

λ n

)n−m

λm m!

×

n(n − 1 ) · · · (n − m + 1 ) nm

λ n

)n−m

λm m!

×

λ n

)n × ( 1 −

n

n

m − 1 n

λ n

)−m

λm m!

e−λ, n → ∞.

Usamos que

( 1 −

λ n

)n → e−λ^ (n → ∞),

La f ´ormula de aproximaci ´on (1) es adecuada, cuando

I (^) la cantidad de experimentos n es grande

I (^) la probabilidad p de ´exito de cada experimento es peque ˜na.

Ejemplo

La probabilidad de acertar en un blanco en cada disparo es de 0 ,01. Calcular la probabilidad de que ocurra, por lo menos, un acierto en 400 disparos. Soluci ´on Tenemos

P (μ 400 = 0 ) ≈ e−^400 (^0 ,^01 )^ = e−^4 = 0 , 0183 ,

por lo que

P (μ 400 ≥ 1 ) = 1 − P (μ 400 = 0 ) ≈ 0 , 9817.

Aproximaci ´on de una Poisson a una Gaussiana

Tenemos un resultado que concilia estas aproximaciones. λ vamos a hacer el siguiente razonamiento:

I (^) Si μ es la cantidad de ´exitos en n experimentos de Bernoulli, entonces

μ − np √ npq

∼ N ( 0 , 1 ), se lee “normal cero uno”.

I (^) Lo anterior es la abreviatura de

P

μ − np √ npq

≤ x

→ Φ(x) =

2 π

∫ (^) x

−∞

e−t

(^2) / 2 dt.

I (^) Ahora sabemos que si p es peque ˜no, y designamos

np = λ, obtenemos √ npq =

np( 1 − p) ∼

np =

λ.

I (^) Eso quiere decir que

μ − np √ npq

μ − λ √ λ

I (^) Por transitiva (?!)^1 , si μ es el resultado de un experimento de Poisson:

μ − np √ npq

μ − λ √ λ

∼ N ( 0 , 1 ).

(^1) En ajedrez: ?! es jugada dudosa, !? es jugada interesante

`(λ | m) = log P (μ = m) = log

e−λ^

λm m!

= −λ + m log λ − log(m!)

Derivamos ∂`(λ | m) ∂λ

m λ

Entonces, el estimador es la ra´ız de esta ecuaci ´on (se puede ver que es un m ´aximo) ˆλ = m.

Esto es lo mejor que podemos hacer con una ´unica observaci ´on. En realidad, se precisa observar varios resultados de experimentos independientes

Aplicaci ´on

El 8 de mayo el SINAE inform ´o de la realizaci ´on de 1140 tests, con 10 nuevos casos^2 El 9 son 623 tests. ¿Cual es la probabilidad de obtener 8 tests positivos, suponiendo las mismas probabilidades en ambos d´ıas?

I (^) Del dia 8, estimamos

p^ ˆ = 10 1140

I (^) Como la probabilidad es muy baja, para el d´ıa siguiente utilizamos la aproximaci ´on de Poisson, con

ˆλ = nˆp = 623 × 0 , 0114 = 5 , 465.

(^2) Es una aproximaci ´on de lo que ocurri ´o, porque entre los tests se realizaron unos pocos a algunas personas repetidas.

La distribuci ´on de Poisson en R

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Modelo de Poisson, lambda=

Valores de m

Probabilidad