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4 Distribuciones de probabilidad
Binomial y Normal
“Encuentra tu propio estilo, sea el que sea. Lo que sea que esté dentro de ti, sácalo. Ramin Djawadi
4.1 La distribución binomial
La distribución binomial fue desarrollada por J. Bernoulli (1654-1705) es la principal distri- bución de probabilidad discreta. A modo de resumen, en esta sección veremos que esta distribución aparece de forma na- tural al realizar repeticiones independientes de un experimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como éxito o fracaso. Por ejemplo, esa respuesta puede ser el hábito de fumar (sí/no), si un paciente hospitalizado desarrolla o no una infección, o si un artículo de un lote es o no defectuoso. La variable discreta que cuenta el número de éxitos en n pruebas independientes de ese experimento, cada una de ellas con la misma probabilidad de éxito igual a p , sigue una distribución binomial de parámetros n y p. Este modelo se aplica a poblaciones finitas de las que se toma elementos al azar con reemplazo, y también a poblaciones concep- tualmente infinitas, como por ejemplo las piezas que produce una máquina, siempre que el proceso de producción sea estable (la proporción de piezas defectuosas se mantiene constante a largo plazo) y sin memoria (el resultado de cada pieza no depende de las anteriores). Comenzaremos estableciendo algunos conceptos previos.
Definición 4. Si en una experiencia aleatoria únicamente nos fijamos en dos posibilidades: que ocu- rra el suceso A o que no ocurra (es decir, que ocurra A ), estamos ante una experiencia dicotómica. Al suceso A se le llama éxito y a la probabilidad de que ocurra, p. Es decir p = P ( A ). Al suceso A se le llama fracaso y a P ( A ) = 1 − P ( A ) se le denota con la letra q. Es decir, q=1-p o equivalentemente p+q=.
2 CAPÍTULO 4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y NORMAL
Ejemplo. Lanzamos una moneda y definimos como éxito A = “Salir cara”. En este caso, el suce- so fracaso es A = “Salir cruz”. Además aquí p = 12 = q. Ejemplo. Lanzamos un dado y definimos como éxito A = “Salir un 4”. En este caso, el suceso fracaso es A = “Salir 1,2,3,5 ó 6”. Además aquí p = 16 y q = 56. Ejemplo. Una máquina que fabrica tornillos se sabe que produce un 5 % de tornillos defectuo- sos. Realizamos la experiencia que consiste en extraer un tornillo de un gran contenedor lleno de tornillos fabricados por esta máquina y nos fijamos en si es defectuoso o no. Es una expe- riencia dicotómica pues podemos establecer como éxito A = “Salir defectuoso” y como fracaso A = “Salir correcto”. Se tiene que p = 0,05 y q = 0,95. Ejemplo. Extraemos una carta de la baraja española. Podemos elegir como éxito A = “Salir figura”. El fracaso será A = “No salir figura” y en este caso, p = 1240 = 0,3 y q = 2840 = 0,7. Pasamos a una definición muy importante. Para consolidar los conceptos que aparecen en ella ponemos diversos ejemplos que te pueden servir de ayuda.
Definición 4. Supongamos que tenemos que:
Se repite “n” veces la misma experiencia dicotómica. Dichas experiencias son independientes (el resultado de una no influye en el resul- tado de las otras.) En este caso, podemos definir la v.a. X = “Nº de éxitos obtenidos”. La v.a. X es discreta, pues puede tomar los valores 0, 1, 2, ..., n. La distribución de probabilidad de la variable X se llama distribución binominal de tipo (n,p) y se denota por
✞ ✝
☎ X ∼ B ( n , p ) , donde ✆ p = P ( A ) es la probabilidad de éxito en cada una de las experiencias y “n” es el número de repeticiones de la experiencia dicotómica. Además, si X ∼ B ( n , p ) se tiene que:
P ( X = k ) =
n k
pk^ qn − k^ k = 0, 1, 2,.. ., n
su media o esperanza matemática y desviación típica son:
μ = E [ X ] = np σ = p npq
Ejemplo. Lanzamos una moneda cinco veces y definimos la v.a. X =“Número de caras obte- nidas”. Se trata de la repetición (5 veces) de una experiencia dicotómica, donde el éxito es A = “Salir cara” y además las experiencias son claramente independientes. Como p = 12 , se tiene
que X ∼ B (5, 12 ). Ejemplo. Extraemos una carta de una baraja española, observamos si es figura o no y la devolve- mos al mazo. Barajamos y volvemos a extraer. Repetimos 8 veces la experiencia. Es decir, extrae- mos ocho cartas con reemplazamiento. Si definimos la v.a. X = “Número de figuras obtenidas”, se tiene que éxito es F = “Salir un figura”, p = 1240 = 0,3, y X ∼ B (8; 0,3). Ejemplo. Lanzamos un dado 10 veces y definimos la v.a. X = “Número de 4 obtenidos”. Se trata de la repetición (10 veces) de una experiencia dicotómica, donde el éxito es A = “Salir un cuatro”
4 CAPÍTULO 4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y NORMAL
4.6 Se lanza una moneda al aire cinco veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exacta- mente 5 caras? ¿Y la de obtener al menos tres caras?
4.7 Una urna contiene 40 bolas blancas y 60 bolas negras. Sacamos 8 veces una bola, devolviéndola, cada vez, a la urna. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 sean blancas? ¿Cuánto valen la media y la desviación típica?
4.8 El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por expe- riencia, que el 20 % de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?
4.9 Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 verdes. Se saca una al azar, se anota el color y se vuelve a meter; y se realiza 5 veces esta experiencia. Calcula la probabilidad de obtener:
a (^) Tres rojas
b Menos de tres verdes
c (^) Más de una verde
d Alguna roja
4.10 Se lanza una moneda seis veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
4.11 La probabilidad de que un golfista haga hoyo en un cierto tipo de lanzamiento es un 20 %. Si lo intenta 6 veces, calcular la probabilidad de que:
a (^) No acierte ninguna vez. b Acierte por lo menos dos veces.
4.12 La probabilidad de nacimientos de niños varones en España es de 48,4 %. Cal- cula la probabilidad de que una familia con 5 hijos tenga:
a (^) Por lo menos una niña.
b Tres niños exactamente.
c Dos niñas exactamente.
d Al menos un niño.
4.13 El 30 % de los habitantes de un determinado pueblo ve un concurso de televisión. Desde el concurso se llama por teléfono a 10 personas del pueblo elegidas al azar. Calcu- lar la probabilidad de que, de las 10 personas elegidas, estuvieran viendo el concurso de televisión: a (^) Tres o menos personas.
b Ninguna de las 10 personas a las que se ha llamado.
4.2 Distribución normal 5
4.2 Distribución normal
La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés A. de Moivre (1667- 1754). Posteriormente, Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecua- ción de la función de densidad; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la “campana de Gauss”. La gran importancia de esta distribución se debe a la enorme frecuencia con que aparece en las situaciones más variadas. Entre las muchas variables que se distribuyen normalmente , podemos citar: Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas) de una misma raza. Por ejemplo: tallas, pesos, envergaduras, etc. Caracteres fisiológicos. Por ejemplo, al estudiar los efectos de una misma dosis de un fármaco o de una misma cantidad de abono, los datos que aparecen se distribuyen nor- malmente. Caracteres sociológicos. Por ejemplo, el consumo de ciertos productos por individuos de un mismo grupo humano.
La función que da lugar a la curva normal
✞ ✝
☎ N ( μ , σ ) es ✆
✓
✒
✏
✑
f ( x ) =
σ
p 2 π
· e −^21
( (^) x − μ σ
) 2 y su gráfica:
Propiedades: El área bajo la curva es 1. Según sean los valores μ y σ , la gráfica de la función normal varía ligeramente. En particu- lar, el máximo absoluto de la curva (que coincide con un máximo relativo) se alcanza en el valor x = μ y los puntos de inflexión se encuentran en x = μ − σ y en x = μ + σ. Por tanto, si σ es un número pequeño, la curva presentará un aspecto puntiagudo mientras que si σ es un número grande la curva será más suave y achatada. En la siguiente ilustración
la curva normal A tiene una desviación típica muy pequeña y su representación es más puntiaguda. Por otro lado, la curva normal C tiene una desviación típica grande y por eso su representación resulta más achatada.
4.2 Distribución normal 7
Salvo en el primero, en el resto de los casos se nos pregunta por una probabilidad que no se puede obtener de la tabla directamente. Lo que hacemos es aplicar la simetría de la curva normal para hallar la probabilidad requerida usando nuestra tabla.
Ejemplos de uso de la tabla de la normal N (0, 1) CASO 1. Halla
✞ ✝
☎ P ( Z < 1,35). El área pedida es la que es menor que 1,35, que es justa- ✆ mente la que da nuestra tabla. Miramos directamente y resulta ser 0,9115.
CASO 2. Halla
✞ ✝
☎ P ( Z ≥ 0,81). El área pedida es la que hay en la curva desde el 0,81 hacia ✆ adelante. Como nuestra tabla da áreas desde un valor hacia detrás, razonamos así:
= -
Matemáticamente: P ( Z ≥ 0,81) = 1 − P ( Z < 0,81) = 1 − 0,7910 = 0,
CASO 3. Halla
✞ ✝
☎ P ( Z ≤ −1,03). Se trata del área que está a la izquierda de un número ✆ negativo. Por la simetría de la curva, ésta área es la misma que la que quedaría a la derecha del opuesto de dicho número:
Matemáticamente, se escribe P ( Z ≤ −1,03) = P ( Z ≥ 1,03). Ahora se resuelve como en el CASO 2 : P ( Z ≤ −1,03) = P ( Z ≥ 1,03) = 1 − P ( Z ≤ 1,03) = 0,
CASO 4. Halla
✞ ✝
☎ P ( Z ≥ −0,85). Se trata del área que está a la derecha de un número ne- ✆ gativo. Por la simetría de la curva, ésta área es la misma que la que quedaría a la izquierda del opuesto de dicho número:
Matemáticamente, se escribe P ( Z ≥ −0,85) = P ( Z ≤ 0,85). Ahora se resuelve como en el CASO 1 : P ( Z ≥ −0,85) = P ( Z ≤ 0,85) = 0,
8 CAPÍTULO 4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y NORMAL
CASO 5. Halla
✞ ✝
☎ P (0,42 ≤ Z ≤ 1,87). Se trata del área comprendida entre dos números po- ✆ sitivos. El área pedida es el área que hay por debajo del número mayor menos el área que hay por debajo del número menor:
= -
Matemáticamente, se escribe P (0,42 ≤ Z ≤ 1,87) = P ( Z ≤ 1,87) − P ( Z ≤ 0,42) = 0,9693 − 0,6628 = 0,3065.
CASO 6. Halla
✞ ✝
☎ P (−2,23 ≤ Z ≤ −0,77). Se trata del área comprendida entre dos números ✆ negativos. El área pedida es la misma que habría entre los opuestos a dichos números:
Matemáticamente, se escribe P (−2,23 ≤ Z ≤ −0,77) = P (0,77 ≤ Z ≤ 2,23). Ahora estamos en el CASO 5. Se tiene por tanto:
P (−2,23 ≤ Z ≤ −0,77) = P (0,77 ≤ Z ≤ 2,23) = P ( Z ≤ 2,23) − P ( Z ≤ 0,77) = 0,9871 − 0,7794 = 0,
CASO 7. Halla
✞ ✝
☎ P (−0,56 ≤ Z ≤ 1,08). Se trata del área comprendida entre un número ne- ✆ gativo y otro positivo. El área entre ellos es igual a la diferencia del área que hay por debajo del positivo y el área que hay por debajo del negativo:
= -
Matemáticamente, se escribe P (−0,56 ≤ Z ≤ 1,08) = P ( Z ≤ 1,08) − P ( Z ≤ −0,56). La pri- mera probabilidad se calcula mirando directamente en la tabla y la segunda se ha visto en el CASO 3. Por tanto,
P (−0,56 ≤ Z ≤ 1,08) = P ( Z ≤ 1,08) − P ( Z ≤ −0,56) = 0,8599 − (1 − 0,7123) = 0,
10 CAPÍTULO 4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y NORMAL
Ejemplo. La estatura de soldados se distribuye de acuerdo a una distribución normal de media 168 cm y desviación típica 8 cm. ¿Cuál es la probabilidad de que un soldado tenga una altura comprendida entre 166 y 170 cm?
.............................................................................................. Solución. Sea X la distribución de los soldados. Según los datos del problema tenemos que X ∼ N (168, 8) y nos piden P (166 ≤ X ≤ 170). Para calcularlo, utilizaremos el resultado anterior de la siguiente manera: Restamos μ = 168 en la desigualdad: P (166 − 168 ≤ X − 168 ≤ 170 − 168)
Dividimos entre σ = 8: P
8 ≤^
X − 168
8 ≤^
Llamando Z = X^ − 8168 , ésta es una normal N (0, 1). Haciendo las operaciones resulta que la probabilidad que nos piden es igual a P (−0, 25 ≤ Z ≤ 0, 25). Tomando ahora la tabla de la normal N (0, 1) y considerando las fórmulas de la sección anterior llegamos a que P (−0, 25 ≤ Z ≤ 0, 25) = P ( Z ≤ 0, 25) − (1 − P ( Z ≤ 0, 25)) = 0, 5987 − (1 − 0, 5987) = 0, 1984.
Ejercicios 4.18 En una distribución N (6, 4), calcula las siguientes probabilidades:
a
✞ ✝
☎ P ( X ≤ 3) (^) ✆(Sol.: 0,2266)
b
✞ ✝
☎ P ( X ≥ 12) (^) ✆(Sol.: 0,6668)
c
✞ ✝
☎ P (5 ≤ X ≤ 8) (Sol.: 0,2902) ✆
d
✞ ✝
☎ P ( X ≥ 6) (Sol.: 0,5) ✆
4.19 Calcula las probabilidades indicadas en cada uno de los casos siguientes: a Para X ∼ N (30, 5), calcula
✞ ✝
☎ P (25 ≤ X ≤ 35) (Sol.: 0,6826) ✆
b Para X ∼ N (3, 2), calcula
✞ ✝
☎ P ( X ≤ 2, 5) (Sol.: 0,4013) ✆
c (^) Para X ∼ N (25, 10), calcula
✞ ✝
☎ P (28 ≤ X ≤ 30) (Sol.: 0,0736) ✆
d Para X ∼ N (80, 10), calcula
✞ ✝
☎ P (70 ≤ X ≤ 80) (Sol.: 0,3413) ✆
4.20 En una distribución N (173, 6) halla las probabilidades:
a
✞ ✝
☎ P ( X ≤ 173) ✆
b
✞ ✝
☎ P ( X ≥ 180, 5) ✆
c
✞ ✝
☎ P (174 ≤ X ≤ 180, 5) ✆
d
✞ ✝
☎ P (161 ≤ X ≤ 180, 5) ✆
e
✞ ✝
☎ P (161 ≤ X ≤ 170) ✆
f
✞ ✝
☎ P ( X = 174) ✆
g
✞ ✝
☎ P ( X > 191) ✆
h
✞ ✝
☎ P ( X < 155) ✆
i
✞ ✝
☎ P (170 ≤ X ≤ 172) ✆
4.2 Distribución normal 11
Ejercicios 4.21 Las calificaciones para un examen para contratación laboral, se distribuye normal- mente con media 6,5 y varianza 4. a (^) Calcula la probabilidad de que un aspirante obtenga más de 7 puntos.
Solución: Si X es la variable que mide la nota de los alumnos, estamos ante una normal X ∼ N (6,5;
p
- = N (6,5; 2). Debemos calcular P ( X > 7). Tipifican- do la variable resulta P ( X > 7) = P
( X −6,
2 >^
7 −6, 2
, o sea, P ( Z > 0, 25), siendo Z ∼ N (0, 1). Teniendo en cuenta el razonamiento para el cálculo de éstas pro- babilidades, llegamos que P ( Z > 0, 25) = 1 − P ( Z < 0, 25) = 1 −0, 5987 = 0, 4013. Por tanto, la probabilidad pedida es 0, 4013.
b Determina el porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores a 5 puntos.
Solución: Razonando como el apartado anterior, debemos calcular:
P ( X < 5) = P
( X − 6,
2 <^
= P ( Z < −0,75)
De nuevo, sabemos que P ( Z < −0,75) = 1 − P ( Z < 0,75) = 1 − 0,7734 = 0,2266. Luego el porcentaje pedido es el 22,66 %.
c (^) Si se presentan 500 aspirantes ¿Cuántos se espera que obtengan calificaciones entre 5 y 7,5 puntos?.
Solución: Tipificando y realizando los cálculos oportunos, resulta que
P (5 ≤ X ≤ 7,5) = P (−0,75 ≤ Z ≤ 0,5) = 0,
Esto quiere decir que el 46,48 % de los aspirantes tienen calificaciones com- prendidas entre 5 y 7,5 puntos. Como hay 500 aspirantes, el porcentaje apli- cado a esta cantidad resulta ser de 500100 ·46,48 = 232,4. Esto indica que unos 232 aspirantes obtendrán una calificación entre 5 y 7,5.
4.22 Las tallas de los recién nacidos se distribuyen normalmente con una media de 50 cm y una desviación típica de 5 cm. En un hospital han nacido 800 bebés en este año, calcula cuántos de ellos se esperan que tengan una talla comprendida entre 47 y 52 cm.
4.23 El tiempo en minutos que necesita una persona en ser atendido en una ventanilla sigue una distribución normal con media μ = 4,35 minutos y σ = 0,59 minutos.
4.3 Aproximación de la binomial a la normal 13
4.29 Las alturas, expresadas en centímetros, de los estudiantes de la ESO se distribuyen según una normal de media 160 y una desviación típica de 20. Si consideramos 300 estu- diantes: a (^) ¿Cuántos alumnos se espera que midan menos de 170 cm?
b ¿Qué porcentaje de alumnos mide más de 140 cm?
c (^) ¿Cuál es la altura que no sobrepasa el 75 % de los estudiantes?
4.3 Aproximación de la binomial a la normal
Cuando aumentan los datos observados, muchas distribuciones de probabilidad se pue- den aproximar mediante una normal bajo ciertas condiciones pues facilita mucho los cálculos. Concretamente, para la binomial usamos:
Teorema 4.2 (de De Moivre-Laplace) Si X ∼ B ( n , p ) cumpliéndose que
✞ ✝
☎ n · p ≥ 5 y ✆
✞ ✝
☎ n · q ≥ 5 entonces se puede aproximar me- ✆ diante una normal: ✞ ✝
☎ X ∼ N ( np , (^) ✆ p npq )
Ejercicios 4.30 Se sabe que dos de cada ocho habitantes de una ciudad utiliza el transporte público para ir a su trabajo. Se hace una encuesta a 140 de esos ciudadanos. Determinar: a (^) Número esperado de ciudadanos que no van a su trabajo en transporte público.
b Probabilidad de que el número de ciudadanos que van al trabajo en transporte pú- blico esté entre 30 y 45.
4.31 En un centro comercial el 35 % de los clientes paga con tarjeta.
a (^) Si en una caja han pagado 120 clien- tes, ¿cuántos de ellos se espera que lo hayan hecho con tarjeta? b Si en una caja han pagado 200 clien- tes, ¿cuál es la probabilidad de que lo hayan hecho con tarjeta entre 60 y 85 de ellos? c Si en una caja han pagado 400 clien- tes, ¿cuál es la probabilidad de que al
menos 260 no lo hayan hecho con tar- jeta?
14 CAPÍTULO 4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD BINOMIAL Y NORMAL
4.32 El 90 % de los miembros de un club pasan sus vacaciones en la playa. Calcule una aproximación de la probabilidad de que, en un grupo de 60 miembros, 50 o menos vayan a ir a la playa a pasar sus vacaciones.
4.33 El 25 % de las viviendas de una región tiene conexión a internet. Se eligen 80 vivien- das y se pide : a (^) La probabilidad de que al menos 20 de ellas estén conectadas a internet.
b El número esperado de viviendas no conectadas a internet.
c (^) La probabilidad de que el número de viviendas con internet esté entre 10 y 30.
4.34 La probabilidad de que deje de fumar un paciente, que se ha sometido a un régimen médico riguroso, es de 0,8. Se eligen 100 pacientes, que se han sometido a dicho régimen. ¿Cuál es la probabilidad de que hayan dejado de fumar entre 74 y 85 pacientes, ambos inclusive?
