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Este documento introduce la teoría de la probabilidad, enfocándose en el estudio de experimentos aleatorios y la determinación de la probabilidad de que ocurra un evento específico. Se explica el concepto de espacio muestral, eventos y probabilidad, y se ilustra con ejemplos prácticos. Además, se abordan los conceptos de probabilidad condicional y estadística independencia.
Tipo: Apuntes
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“…A nuestras queridas Familias, a la Escuela Profesional de Derecho de la Universidad tecnológica de los andes, a nuestra docente por sus enseñanzas por ayudarnos e incentivarnos a ser mejores en el camino a ser profesionales y llegar a una excelencia académica… Introducción La teorıa de la probabilidad es la parte de las matem´aticas que se encarga del estudio de los fenomenos o experimentos aleatorios. Por experimento aleatorio entenderemos todo aquel experimento que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. El ejemplo mas sencillo y cotidiano de un experimento aleatorio es el de lanzar una moneda o un dado, y aunque estos experimentos pueden parecer muy modestos, hay situaciones en donde se utilizan para tomar decisiones de cierta importancia. En principio no sabemos cual sera el resultado del experimento aleatorio, asi que por lo menos conviene agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles. El espacio muestral (o tambien llamado espacio muestra de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento, y se le denota generalmente por la letra griega Ω (omega). Mas adelante mostraremos que este conjunto no es necesariamente unico y su determinacion depende del interes del observador o persona que realiza el experimento aleatorio. En algunos textos se usa tambi´en la letra S para denotar al espacio muestral. Esta letra proviene del termino sampling space de la lengua inglesa equivalente a espacio muestral. Por otro lado, llamaremos evento
a cualquier subconjunto del espacio muestral y denotaremos a los eventos por las primeras letras del alfabeto en may´usculas: A, B, C, etc. Con la ayuda de algunos ejemplos ilustraremos a continuaci´on los conceptos de espacio muestral y evento. Probabilidad
P(1 o 6)= 1 = 1
P (A/ B)= P (A B) siendo P(B) 0 (1) P(B) Si bien el Ejemplo 1 se resolvió de manera directa utilizando la definición clásica de probabilidad, podría resolverse utilizando la fórmula anterior, de la siguiente manera: Ejemplo 2 Consideremos el ejemplo anterior. La probabilidad de que la suma de los dos dados sea 3, sabiendo que el resultado del primer dado fue 2 es: Puede observarse que el condicionamiento es equivalente a “recortar” el espacio muestral: se eliminan del espacio muestral aquellos eventos que resultan imposibles de acuerdo a la información con la que contamos. Esta afirmación puede verse claramente en la figura del Ejemplo 1. 1.5.2 Eventos Estadísticamente Independientes Lógicamente, puede suceder que tengamos información sobre la ocurrencia de un evento determinado B y sin embargo la probabilidad marginal de ocurrencia del evento A no se vea alterada. Esto quiere decir, que la ocurrencia de B no tiene ninguna influencia sobre el evento A , es decir, que los eventos son estadísticamente independientes. Dos eventos A y B son estadísticamente independientes, si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro, es decir que: P(A/B)=P(A) (2) De las definiciones de probabilidad condicional y eventos independientes, se desprende la regla del producto de probabilidades de eventos independientes. Si A y B son dos eventos estadísticamente independientes, entonces la probabilidad conjunta es igual el producto de las probabilidades marginales: P(AB)=P(A).P(B) Se destaca que la independencia es una relación simétrica entre eventos, esto quiere decir que si A es independiente de B, entonces B es independiente de A. Como ejercicio, el lector puede demostrar esto a partir de las definiciones expuestas. Ejemplo 3 Consideremos el lanzamiento de dos dados y los siguientes eventos: A 1 = “el resultado del primer dado es dos” y A 2 = “el resultado del segundo es tres”. La probabilidad marginal de cada uno de ellos es:
Ejemplo 16 Consideremos el lanzamiento de dos dados y los siguientes eventos: B 1 = “el resultado del primer dado es dos” y B 2 = “la suma de los resultados de los dos dados es cinco”. La probabilidad marginal de cada uno de ellos es: La probabilidad conjunta es: ya que existe una única manera de que simultáneamente, el resultado del primer dado sea 2 y la suma sea 5 (el primero resultado debe ser 2 y el segundo 3). En este caso, los eventos son dependientes, ya que el producto de las probabilidades marginales no iguala a la probabilidad conjunta.