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Estadística I Semestre 2007-II Guía 11 Tema VI: Probabilidades Elaborado por: Ing. Bethzaida Africano
PROBABILIDADES.
CONCEPTOS BÁSICOS
Las probabilidades existen porque hay fenómenos aleatorios.
Un fenómeno es aleatorio cuando al realizar un experimento su ocurrencia está determinada por factores fortuitos o por el azar. En cambio, en los fenómenos determinísticos hay seguridad de la ocurrencia o no de un hecho.
El resultado de la tirada de una moneda o de un dado es un ejemplo clásico de un fenómeno aleatorio ya que situaciones aleatorias determinarán si ocurre cara o sello en la moneda o, los números 1, 2, ..., 6 en el dado.
También son ejemplos de fenómenos aleatorios el número de accidentes de tránsito en una ruta, el resultado de un partido de fútbol o el número de defectuosos de un producto en un proceso productivo.
Experimento: Cualquier situación u operación en la cual se pueden producir uno o varios eventos o sucesos.
Los experimentos pueden ser de dos tipos:
Determinísticos. Se obtienen siempre los mismos resultados. Ejemplo: Medir con la misma regla en idénticas condiciones la longitud de una trozo de madera
Aleatorios. No se obtienen siempre los mismos resultados. Ejemplo: El lanzamiento de una moneda observando la sucesión de caras y sellos que se presentan.
Espacio Muestral
Es un conjunto cuyos elementos representan los resultados posibles de un experimento. Es el conjunto universal y se representa por S. Encierra todos los casos posibles.
EJEMPLOS
- E: lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
- E: Lanzar una moneda al aire.
S={Cara, Sello}
- E: Lanzar dos monedas.
S={CC,CS,SC,SS}
C: Cara S: Sello
En el cuadro siguiente se representa los resultados posibles del experimento aleatorio consistente en el lanzamiento de dos monedas una de 100 Bs. y otra de 50 Bs.
Cara Sello
Cara (1,1) (0,1) sello (1,0) (0,0)
Se ha asociado el número 1 al resultado “cara” y el número 0 el resultado “sello”. En consecuencia el espacio muestral asociado a este experimento es
EVENTOS
Es un subconjunto del espacio muestral. Pueden ser elementales o compuestos.
Dos sucesos A y B , se llaman incompatibles ó mutuamente excluyentes cuando no tienen ningún elemento común. Es decir, cuando = Ø ( A y B son disjuntos )
EJEMPLO
E: Lanzar una moneda al aire. S={Cara, Sello}
Los eventos elementales son: e1 = cara y e2 = sello
Dados dos sucesos, A y B, se llaman:
Se definen los sucesos A: Tener entrenamiento B: Acertar una prueba de razonamiento espacial
Acierto Error Tener entrenamiento
No tener entrenamiento
Probabilidad de acierto dado que el sujeto extraído no tiene entrenamiento: 3/8 = 0,
O bien
P(B ∩ A') 3/
P(B/A) = _________ = ______ = 0,
P(A') 8/
Ejemplo
Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertenso ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso?
A =
B =
P(A/B) =
P(A ∩ B) 0,
P(A/B) = _________ = ______ = 0,
P(B) 0,
Teoremas Básicos.
Teorema de la suma
La probabilidad de la unión de los sucesos A y B es
P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Teorema del producto Dos sucesos A y B son independientes si se cumple
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
Analisis Combinatorio Principio Fundamental del Análisis Combinatorio Suponga que una persona tiene 2 formas de ir de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez llegada a B, tiene 3 maneras de llegar a otra ciudad C, ¿De cuántas maneras podrá realizar el viaje de A a C pasando por B?
Si empezó a pie, podrá tomar luego avión, carro o trasatlántico, y si empezó en bicicleta, también podrá tomar avión, carro o trasatlántico. La persona tuvo 6 formas diferentes de realizar el viaje que son: (iniciales) pa, pc, pt, ba, bc, bt. (2 x 3 = 6) Se puede representar en un diagrama de árbol
Por lo que el principio fundamental del análisis combinatorio, puede expresarse así: Si una primera decisión, operación o acción puede efectuarse de a formas diferentes, una segunda acción puede efectuarse de b formas diferentes, una tercera acción puede efectuarse de c formas diferentes y así sucesivamente hasta la enésima acción que puede efectuarse de z formas diferentes, entonces el número total de formas diferentes que pueden efectuarse estas n acciones es igual con: a x b x c x ... x z
Este principio también se llama principio de conteo ó principio multiplicativo. Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes podrá vestirse un joven que tiene 3 camisas diferentes, 4 pantalones y 2 pares de calzado? Solución: 3 x 4 x 2 = 24 maneras diferentes Ejemplo: En una ciudad los números de teléfono constan de 5 dígitos, cada uno de los cuales se llama con alguno de los 10 dígitos (0 al 9). ¿Cuántos números diferentes pueden formularse? Solución: 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100,000 números diferentes Notación Factorial En algunos problemas de matemáticas se nos presentan multiplicaciones de números naturales sucesivos tal como: 4 x 3 x 2 x 1 = 24; 3 x 2 x 1 = 6; 2 x 1 = 2. Para abreviar estas expresiones, se usa una notación especial llamada notación factorial y nos denota las multiplicaciones sucesivas de n hasta l y se define como: 4 x 3 x 2 x 1 = 4! Se lee“ cuatro factorial ” 3 x 2 x 1 = 3! Se lee “ tres factorial ” En términos generales: n(n-1)(n-2)...x 2 x 1 = n! Se lee “ n factorial ” Propiedades: a) para n natural n! = n(n-1)! Ejemplo: 7! = 7 x 6! = 7 x 6 x 5 x 4! b) 0! = 1
Solución: P (^) 7,3 =
Ejemplo:
De cuántas maneras 3 fresadoras, 4 tornos, 4 taladros y 2 cepillos pueden ordenarse en fila en un taller, de modo que el mismo tipo de máquina quede juntas.
3F 4T 4T 2C
P 3 = 3! P 4 = 4! P 4 = 4! P 2 = 2!
P 4 = 4!
3! 4! 4! 2! 4! = 165,888 maneras diferentes
Combinaciones Una combinación de n elementos tomados de r en r es un subconjunto no ordenado de r elementos con. 2 combinaciones formadas por r elementos son distintas, si difieren al menos en un elemento. Ejemplo: Sea el conjunto {a, b, c} de cuántas maneras podemos seleccionar: a) un elemento b) dos elementos c) tres elementos
Solución:
a) Existen 3 formas de seleccionar un elementos: a; b; c. b) Existen 3 formas de seleccionar dos elementos: ab, ac, bc c) Existe 1 forma de seleccionar 3 elementos: abc Notación: (^) n Cr ; Para determinar el número de combinaciones de n elementos tomando de r en r :
Ejemplo: Si n = 10 r = 7
Ejemplo: El congreso anglo mexicano de administración pública, debe elegir el futuro comité ejecutivo que regirá a esa institución durante el próximo año. La comisión directiva se forma con 6 integrantes y este año han sido propuestos 7 representantes mexicanos y 4 ingleses para ser electos. Se pide determinar de cuántas maneras se pueden integrar la comisión en los siguientes casos: a) Si en la comisión debe haber 4 mexicanos y 2 ingleses. b) Si en la comisión debe haber como mínimo 2 ingleses y 2 mexicanos. Solución: a) Los mexicanos se pueden escoger de:
Los ingleses se pueden escoger de:
Conjuntamente
b) Se pueden presentar los casos:
- 2 ingleses y 4 mexicanos:
- 3 ingleses y 3 mexicanos:
- 4 ingleses y 2 mexicanos:
Ejemplo:
En los laboratorios “ ELKO ” hay 3 plazas vacantes de un total de 33 solicitudes de empleo, sólo 14 se han considerado aceptables, en bases en las entrevistas practicadas por el departamento de personal. ¿De cuántas maneras pueden asignarse las 3 plazas?
a) Si todos los empleos son de la misma categoría
b) Si un empleo es de gerente de ventas, uno es de agente visitador para las ciudades de Puebla y Tlaxcala y otro de agente visitador para las ciudades de Tampico y Cd. Madero.
Solución: a)
b)
Teorema de Bayes
El teorema de Bayes , enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A. Sea {A 1 ,A 2 ,...,A (^) i,...,A (^) n } un conjunto de sucesos incompatibles cuya unión es el total y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | A (^) i ). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:
donde: P ( Ai ) son las probabilidades a priori. P ( B | A (^) i ) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai. P ( Ai | B ) son las probabilidades a posteriori. Esto se cumple Ejemplo
Una fábrica produce un artículo en tres diferentes máquinas. Del total de la producción el 30% es producido en la máquina A, el 50% en la B y el 20% lo produce la máquina C. La probabilidad de que un artículo producido por una máquina específic A sea de primera calidad, se muestra en la siguiente tabla:
Maquina Probabilidad A 0, B 0,
Pregunta a Si se selecciona un artículo aleatoriamente de la línea de producción: ¿Cuál es la probabilidad de que sea de primera calidad?
P(Q) = P(A ∩ Q) + P(B ∩ Q) + P(C ∩ Q)
P(Q) = 0,24 + 0,35 + 0,18 = 0,
Lo que significa que la probabilidad de obtener un artículo de primera calidad es de 77%.
Pregunta b Si se selecciona un artículo aleatoriamente de la línea de producción Si el artículo seleccionado es de primera calidad, cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la máquina A.
P(A ∩ Q)
P(A/Q) = ___________________________
P(A ∩ Q) + P(B ∩ Q) + P(C ∩ Q)
P(A/Q) = ________ = 0,
Por lo tanto podemos concluir que la probabilidad de que la máquina A haya producido un artículo de primera calidad elegido al azar es del 31%.
Ejemplo
En un cierto edificio se usan dos ascensores; el primero lo usan el 45
% de los inquilinos y el resto usan el segundo. El porcentaje de fallos
es del 5%, mientras que el del segundo es del 8 %. Si en un cierto día
un inquilino queda "atrapado" en un ascensor, hallar la probabilidad
de que hayan sido en el primero.
Utilizamos el diagrama del árbol:
- Se aplica el teorema de Bayes:
p(de ser atrapado en el 1º)=p(utilizar A/condicionado a que falle)=
que es la probabilidad pedida
Glosario.
Probabilidad: Una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Experimento: Cualquier proceso que genere resultados bien definidos. Espacio muestral: El conjunto de todos los puntos muestrales (resultados experimentales) posibles. Punto muestral: El resultado individual de un experimento Evento: Un conjunto de puntos muestrales o resultados experimentales. Complemento del evento A : El evento que contiene todos los puntos muestrales, no existentes en el evento A Diagrama de Venn: Dispositivo gráfico para representar el espacio muestra y las operaciones que involucran eventos. Unión de eventos A y B: El evento que contiene todos los puntos muestrales existentes en A, en B o en ambos. Intersección de eventos A y B: El evento que contiene todos los puntos muestrales existentes, tanto en A como en B. Ley aditiva: Una ley de probabilidades utilizada para calcular la probabilidad de una unión:P(AU B) =P(A) + P(B) - P(A∩B). Para eventos mutuamente excluyentes, P(A∩B) = 0, y por tanto, P(AU B) =P(A) + P(B) eventos mutuamente excluyentes: Eventos que no tiene ningún punto muestral en común: esto es, A∩B = vacío y P(A∩B) = 0 Probabilidad condicional: La probabilidad de que un evento suceda, dado otro evento, haya ocurrido. La probabilidad condicionada de A, dado B, es P(A/B) = P(A∩B) / P (B) Probabilidad conjunta: La probabilidad de la intersección de dos eventos. Tabla de probabilidades conjuntas: Tabla utilizada para mostrar probabilidades conjuntas y marginales.
Probabilidades marginales: Los valores en los márgenes de la tabla de probabilidades conjuntas, que proporcionan la probabilidad de cada evento por separado. Eventos dependientes: Dos eventos A y B, donde P(A/B) ≠ F 0 2 0P(A) o P(B|A) ≠ F 0 2 0P(B); esto es, la probabilidad de que en un evento sea alterado o afectado al saberse que ocurre otro evento. Eventos independientes: Dos eventos A y B donde P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B); esto es, eventos que no tienen influencia uno sobre otro. Ley de multiplicación: Una ley de probabilidad utilizada para calcular la probabilidad de una intersección: P(A∩B) = P(A)P(B/A) o bien P(A∩B) = P(B)P(A/B). En el caso de eventos independientes, se reduce a P(A∩B) = P(A)*P(B). Probabilidades previas: Probabilidades iniciales de eventos. Probabilidades posteriores: Probabilidades de eventos revisadas con base en información adicional. Teorema de Bayes: Método utilizado para calcular probabilidades posteriores.
A
E espacio muestral
E espacio muestral
Suceso contrario o Complementario
es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.
Unión
Ser hipertenso
Ser fumador
Ser hipertenso y fumador
PIE - AVION
BIC-TRASA.
BIC - CARRO
IC- AVION
PIE - TRASA.
PIE - CARRO
P(Q/A) = 0,
P(A) = 0,
P(Q'/A) = 0,
P(Q/B) = 0,
P(B) = 0,
P(Q'/B) = 0,
P(Q/C) = 0,
P(C) = 0,
P(Q'/C) = 0,
