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probabilidades aplicadas .- probabilidades condicionales
Tipo: Apuntes
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Grupo Estudiantil de Matem´atica
Universidad Nacional de Ingenier´ıa Facultad de ciencias
Sesi´on 1
Dado B ∈ A, tal que P(B) > 0, entonces la probabilidad condicional P(·|B) es una medida de probabilidad definida sobre el σ−´algebra A.
Si sabemos que el n´umero escogido es impar, esto acorta las posibilidades a { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }, luego 1 y 3 a´un son menores que 4, as´ı
Demostraci´on:
P(A ∩ B ∩ C ) = P(A ∩ B)
Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad. Entonces:
(i) P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), ∀ A, B ∈ A. (ii)
P(A 1 ∩... ∩ An) = P(A 1 )P(A 2 |A 1 )P(A 3 |A 1 ∩ A 2 )... =... P(An|A 1 ∩... ∩ An− 1 ), ∀{Ai }ni=1 ∈ A, ∀n ∈ N
Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad, una partici´on de Ω es una colecci´on A 1 , A 2 ,... finita o numerable de eventos aleatorios mutuamente excluyentes y exhaustivos (i.e., que los Ai sean disjuntos y ∪Ai = Ω).
A, Ac^ forman una partici´on, para todo A ∈ A.
Si la sucesi´on (finita o numerable) de eventos aleatorios A 1 , A 2 ,... forma una partici´on de Ω etnonces
P(B) =
i
P(Ai )P(B|Ai ), ∀B ∈ A (2)
Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad.
(i) Dado n ∈ N, si A 1 , A 2 ,... , An ∈ A son disjuntos con P(Ak ) > 0 y que P(B|Ak ) ≥ c para k = 1,... , n concluir que P(B| ∪ Ak ) ≥ c. (ii) Si An + 1 ⊂ An y P(An+1|An) ≤ 1 /2 para todo n entonces P(An) → 0 cuando n → ∞.
(iii) Si los An son disjuntos y P(B|An) = P(C |An) para todo n ∈ N entonces P(B| ∪ An) = P(C | ∪ An)
(iv) Si A 1 , A 2 ,... son disjuntos y ∪An = Ω entonces
P(B|C ) =
n
P(An|C )P(B|An ∩ C )
Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad. Los eventos aleatorios A y B son (estoc´asticamente) independientes si
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
Si A y B son independientes, entonces A y Bc^ tambi´en son independientes (y tambien Ac^ y B, y Ac^ y Bc^ )
