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5. Temas adicionales sobre la probabilidad
5.1 Probabilidad condicional
Las probabilidades hasta ahora vistas proporcionan las frecuencias relativas de los eventos cuando el experimento se repite un gran número de veces. Estas son llamadas probabilidades incondicionales ya que no suponen condiciones especiales asociadas al experimento.
Ejemplo 1 : Las caras de un dado con 1, 2, 3 puntos se pintan de rojo. Si se lanza el dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara roja o un número impar? Sean: A = { Obtener una cara roja} B = { Obtener un número impar} A = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5} A B ={1, 2, 3, 5} P(A B) = P(1)+ P(2)+ P(3)+ P(5) P(A B) = 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6 = 4/6 ; P(A B)= 2/
Supongamos ahora que lanzamos el dado y podemos ver una cara roja, pero no podemos ver el número de puntos sobre ella. ¿Cuál es la posibilidad de que el número de puntos sea impar?
El espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; se redujo a S^1 = {1, 2, 3} ya que como 4, 5, 6 no están pintados de rojo se eliminan. El nuevo conjunto A B sería: A B ={1,3}. P(A B )= P(1)+ P(3) P(A B )= 1/3+ 1/3 = 2/
Si hubiéramos utilizado un dado común la probabilidad de un número impar seria = 3/6. Podemos ver que el conocimiento de que la cara está pintada de rojo, nos permite calcular una probabilidad condicional en un espacio muestral reducido S´
Ejemplo 2 : Hemos visto que la probabilidad de observar un número par (evento A) en un lanzamiento de un dado es de ½. Suponga que en cierto lanzamiento del dado el resultado fue un número menor o igual a 3 (evento B). Pensaría usted todavía que la probabilidad de observar un número par en ese lanzamiento es igual a ½? El que B ocurra reduce el espacio muestral de 6 eventos posibles a tan sólo 3 (los contenidos en el evento B)
El espacio muestral reducido será:
Concluimos que la probabilidad de que A ocurra, dado que B ocurre es 1/3. Utilizaremos es símbolo P(AIB) para representar esta probabilidad.
1 2 3 A B
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Generalizando:
Para determinar la probabilidad condicional de que el evento A ocurra, dado que B ocurre, divida la probabilidad de que ocurra tanto A como B entre la probabilidad de que ocurra B; esto es:
P(A B)
P(B)
P A B donde suponemos P(B) 0.
Probabilidad de que ocurran tanto A como B
Probabilidad de A dado B
Probabilidad de que ocurra la condicion B
Ejemplo 3 : Un fabricante de procesadores de licuadoras realizó un análisis de quejas de los consumidores y determinó que estaban en las seis categorías siguientes:
Razón de la queja Eléctrica Mecánica Aspecto Totales Durante el periodo de garantía 18% 13% 32% 63% Después del periodo de garantía 12% 22% 3% 37% Totales 30% 35% 35% 100%
Si hay una queja por parte de un consumidor: ¿Qué probabilidad hay de que la causa de la queja sea el aspecto del producto, dado que la queja se originó durante el período de garantía? A ={Queja por el aspecto del producto} B ={Queja presentada durante el período de garantía}
- Vemos que el 63% de las quejas se presentaron en el tiempo de la garantía, luego P(B) =0.63.
- El porcentaje de quejas debido a la apariencia que se presentaron durante el período de garantía (evento A B) es del 32%. Luego P(A B)=0.
- Podemos calcular la probabilidad condicional P(AIB) de que la causa de la queja sea el aspecto, dado que la queja ocurrió durante el período de garantía por:
P B
PA B
P A B
- Concluimos que un poco más de la mitad de las quejas durante el período de garantía se debieron a rayones, abolladuras u otras imperfecciones en la superficie de las licuadoras.
¿Cuál será la probabilidad de que la queja haya sido presentada después del periodo de garantía, dado que la queja fue por una falla mecánica?
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5.2.2. Regla aditiva para eventos mutuamente exclusivos.
Los eventos A y B son mutuamente excluyentes, si A B no contiene eventos simples. Luego: P(A B)= 0.
Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión de A y B es igual a la suma de las probabilidades de A y B.
P(A B)= P(A)+ P(B) Ev. mutuamente excluyentes
5.2.3. Regla multiplicativa de la probabilidad.
Se utiliza para calcular la probabilidad de dos eventos que suceden consecutivamente o también que pueden suceder al mismo tiempo. En palabras se expresaría como: “la probabilidad de que se den los eventos A y B es igual al producto de la probabilidad de A por la probabilidad de B dado A”.
P(A B)= P(A) P(BIA) ó P(A B)= P(B) P(AIB) Esta regla puede demostrarse de la siguiente manera:
De la regla de probabilidad condicional: ( )
PB
P A B
PA B
Reorganizando, P(A B)= P(B). P(AIB)= P(A) P(BIA) Más usada
Ejemplo 1 Un programador está interesado en el evento de que un trabajo sea procesado inmediatamente al momento de presentarse.
Sean los eventos: A = { La computadora está funcionando} B = { El trabajo se procesará de inmediato}
La intersección de estos dos eventos, es el evento que le interesa al programador.
Si existe una probabilidad de 0.9 que la computadora esté funcionando en un momento dado y de 0.05 de que el trabajo se procesará de inmediato si la computadora está funcionando. P(A)= 0.9 P(B/A)= 0.
¿Qué probabilidad hay de que un trabajo dado se procese de inmediato?
P(A B)= P(A) P(BIA) = (0.05) (0.9)= 0.045.
La probabilidad de que un trabajo presentado se procese de inmediato es 0.045 o del 4.5%
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5.2.4. Regla multiplicativa para eventos independientes
Los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de A no altera la probabilidad de que ocurra B, en otras palabras A y B son independientes si.
P(AIB)= P(A) y P(BIA)= P(B) P(A B)= P(A). P(B) Ev. Independientes
Ejemplo 1 : Considere el experimento de lanzar una moneda 2 veces y observar la cara superior. Definimos los siguientes eventos: A ={ El primer lanzamiento es sello} B ={ El segundo lanzamiento es sello} Si A ya ocurrió, afectará esto la probabilidad de que B ocurra?
El espacio muestral para este experimento será: S = XX, XC, CX, CC Evento simple Probabilidad CC ¼ CX ¼ XC ¼ XX ¼
P(B)= P(XX) + P(CX)= ¼+ ¼ = 2/4 = ½ P(A)= P(XX)+P(XC)= ¼ + ¼ = 2/4 = ½
Si comparáramos con la probabilidad de que se dé el evento B, si ya se dio el evento A, tenemos que:
P A
P B A
PB A
Vemos que P(B)= ½ y que P(BIA)= ½, luego el que el primer lanzamiento haya sido sello no afectará la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea sello.
Decimos entonces que los eventos A y B son independientes.
Si los eventos A y B son independientes, la probabilidad de la intersección de A y B es igual al producto de las probabilidades de A y B, o sea:
P(A B)= P(A). P(B ) Ev. Independientes
Para el ejemplo anterior: P(A)=1/2 y P(B)=1/ P(A B)= ½. ½ = ¼ La cual es la probabilidad de XX.
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5.3. Ejercicios del Capítulo
- La siguiente tabla muestra el resultado de 500 entrevistas hechas durante una encuesta cuyo objeto era analizar las opiniones de los residentes de cierta ciudad acerca de la elección popular de alcaldes. Los datos se clasificaron según el sector de la ciudad donde se aplicó el cuestionario.
Sector de la Ciudad Contestó (C) No Contestó (N) Total A 120 29 149 B 94 36 130 C 135 86 221 Totales 349 151 500
Si se selecciona un cuestionario al azar entre los 500. Calcule la probabilidad de que: a. El cuestionario sea contestado. b. La persona a quien va dirigido el cuestionario viva en el sector C. c. La persona viva en el sector A, dado que contestó el cuestionario.
- Entre las personas con licencia de conducción se seleccionaron 200 y se clasificaron en: personas con afición al licor y personas abstemias, personas que tuvieron accidentes de tránsito el último año y personas que no tuvieron accidentes. Los resultados aparecen en la siguiente tabla:
Tuvieron accidentes No tuvieron accidentes Con afición al licor 26 102 Abstemios 9 63
Si se elige una persona al azar, con licencia de conducción. Calcule la probabilidad de que: a. Haya tenido accidentes de tránsito el último año. b. Tenga afición al licor. c. Haya tenido accidentes de tránsito, dado que consume licor. d. No haya tenido accidentes de tránsito, dado que es abstemio.
- Una urna contiene 4 pelotas blancas y 2 azules. Se extraen 2 pelotas al azar de la urna. Calcule la probabilidad de que: a. Ambas sean blancas. b. La primera sea azul y la segunda blanca. c. Una sea blanca y la otra azul.
- Se realizó una encuesta entre un grupo de personas para conocer su opinión acerca del aborto provocado. Del total de encuestados, el 16% estuvo de acuerdo. De ñps que estuvieron de acuerdo con el aborto, el 67% tenía menos de 30 años. Calcule la probabilidad de que una persona de menos de 30 años esté de acuerdo con el aborto provocado.
- En un corral se tienen 12 cerdos entre los cuales se sabe que 2 tienen Salmonellas. Se van a sacrificar dos cerdos elegidos al azar, calcule la probabilidad de que el segundo cerdo sacrificado tenga Salmonellas.
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- Un artículo de IEEE Computer Applications in Power (abril de 1990) describe “un sistema de vigilancia automático para detectar intrusos en tiempo real, tanto en interiores como en exteriores, utilizando cámaras de video y microprocesadores”. El sistema se probó en exteriores en diversas condiciones climáticas, en Tokio, Japón. La tabla indica el número de intrusos detectados y no detectados en cada condición.
Condiciones climáticas Despejado Nubes Lluvia Nieve Viento Intrusos detectados 21 228 226 7 185 Intrusos no detectados 0 6 6 3 10 Totales 21 234 232 10 195
a. En condiciones nubladas, ¿qué probabilidad hay de que el sistema automático detecte un intruso? b. Dado que el sistema automático no detectó un intruso, ¿qué probabilidad existe de que haya estado nevando? c. Dado que el sistema automático detectó un intruso, ¿qué probabilidad hay de que haya estado lloviendo?
- La ruleta se juega tirando una bola sobre una rueda dividida en 38 arcos de igual longitud; éstos llevan los números 00, 0, 1, 2, 3, ..., 35, 36. El # del arco dentro del cual cae la bola es el ganador. Además los números están coloreados de la siguiente manera:
Rojo: 1 3 5 7 9 12 14 16 18 19 21 23 25 27 30 32 34 36 Negro: 2 4 6 8 10 11 13 15 17 20 22 24 26 28 29 31 33 35 Verde: 00 0
Los jugadores pueden colocar apuestas en la mesa de diversas maneras, incluidas apuestas a resultado impar, par, rojo, negro, bajo (1 – 18) y alto (19 – 36). Considere los siguientes eventos:
A = El resultado es un número impar B = El resultado es un número negro C = El resultado es un número alto
Calcule: a. P(A/B) b. P(B/C) c. P(C/A) d. Exprese en palabras cada uno de los resultados anteriores.
- El IDEAM pronostica que habrá lluvia hoy, con una probabilidad de 0.6, lluvia mañana, con una probabilidad de 0.4, lluvia hoy y mañana, con una probabilidad de 0.2.
a. Dado que llueva hoy, ¿cuál es la probabilidad de que llueva mañana? b. Dado que llueva hoy, ¿cuál es la probabilidad de que no llueva mañana?
