Universidad Nacional de Ingenier
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Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matem´
atica Ciclo 2024−I
LISTADO DE EJERCICIOS
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ALGEBRA LINEAL I
CM1B2
1. Escribe la ecuaci´on de la recta proyectiva en P2
Rque pasa por los puntos con coordenadas
homog´eneas (1 : 2 : 3) y (0 : −1 : 1).
2. Dadas las rectas proyectivas en P2
R. ¿En que punto se intersectan las l´ıneas proyectivas
con ecuaciones homog´eneas?
x−y+z= 0 y x+ 2y+ 3z= 0.
3. Sean U1, U2subespacios vectoriales de Vcon U1, U26={0}. Pruebe que el subespacio
proyectivo
P(U1+U2)⊂P(V)
es el conjunto de puntos que se obtienen uniendo cada x∈P(U1) con y∈P(U2) mediante
una recta proyectiva.
4. Dado el espacio proyectivo
P2
Z2={(x:y:z):(x, y, z)∈(Z2)3− {(0,0,0)}}.
Responde:
a) ¿Cu´antos elementos tiene?.
b) ¿Cu´antas l´ıneas tiene?.
c) ¿Cu´antos puntos tiene cada l´ınea?.
d) ¿Cu´antas l´ıneas pasan por cada punto?.
5. Determine las rectas en P2
Rque son tangentes a la c´onica de ecuaci´on x2
0−2x2
1−2x2
2+
2x0x2−4x1x2= 0 y pasan por el punto (2 : 2 : −1).
6. Dada la c´onica 3x2
0+ 2x0x1+ 2x2
1+ 2x1x2−x2
2= 0 en el espacio proyectivo P2
R.
a) Dibuje la c´onica en el espacio af´ın, sabiendo que {x0= 0}es el hiperplano de puntos
al infinito.
b) Sea Pun punto en el espacio proyectivo P2
Rque no pertence a la c´onica. Dado
q= (−1/3 : 1 : 1 + √3) que es punto de recta polar de p, si la recta p+qcorta a la
c´onica en los puntos a= (0 : 1 : 1 + √3), b = (2 : −3 : −3−3√3). Determine dicho
punto P.
7. Dada la matriz A=−1 5
5−1.Determine el f(A) en cada caso:
