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Astrof´ısica General
Problemas 2011
Datos ´utiles:
Constante de Boltzmann: k = 1. 38065 × 10 −^16 erg K−^1 Constante Stefan-Boltzman: σ = 5. 6704 × 10 −^5 erg cm−^2 K−^4 s−^1 Constante de Planck: h = 6. 626068 × 10 −^27 erg s Velocidad de la luz: c = 2. 99792458 × 1010 cm s−^1 Constante de densidad de radiaci´on: a = 4σ/c = 7. 56591 × 10 −^15 erg cm−^3 K−^4 Constante de gravidad Newtoniana: G = 6. 6726 × 10 −^8 g−^1 cm^3 s−^2 Constante de Avogadro: NA = 6. 0221367 × 1023 mol−^1 Constante de Gas: R = NAk = 8. 314511 × 107 erg K−^1 mol−^1 Secci´on eficaz de Thomson: σT = 6. 652 × 10 −^25 cm^2 Carga del electr´on: e = 4. 8032068 × 10 −^10 esu Unidad de masa at´omica: amu = 1. 660538 × 10 −^24 g Masa del prot´on: mH = 1. 67265 × 10 −^24 g Masa del neutr´on: mn = 1. 67492 × 10 −^24 g Masa del electr´on: me = 9. 10953 × 10 −^28 g Electron voltio: 1 eV = 1. 6022 × 10 −^12 erg Masa solar: M⊙ = 1. 989 × 1033 g Radio solar: R⊙ = 6. 696 × 1010 cm Luminosidad solar: L⊙ = 3. 827 × 1033 erg s−^1 Radio de la Tierra: R⊕ = 6. 378 × 108 cm Parsec: pc = 3. 08568025 × 1018 cm Unidad astron´omica: 1. 496 × 1013 cm Un a˜no: 3. 1557 × 107 s
- ¿Cu´ales son las coordenadas A.R. y declinaci´on (α y δ) del Sol cuando se ubica en
a) El equinoccio de primavera b) El solsticio de verano c) El equinoccio de oto˜no d ) El solsticio de invierno?
- a) ¿A cu´ales latitudes en la Tierra jam´as se pone el Sol en el solsticio de verano?
b) ¿Existe una latitud en la Tierra en donde el Sol nunca se pone cuando es el equinoccio de primavera? ¿En donde?
- Una estrella tiene declinaci´on 55◦^ y tiene un paralaje de 0. 130 ′′. Observaciones de la l´ınea Hβ (λrep = 4816 ˚A) demostraron un corrimiento de Doppler ∆λ = 0.353 ˚A. Los componentes del movimiento propio de esta estrella son μα = 0.0091 s y μδ = − 0. 115 ′′. Para esta estrella encuentre:
a) El movimiento propio total. b) La velocidad transversal. c) La velocidad espacial total. d ) La distancia a la estrella.
- Investigue las posiciones y movimientos de las estrellas en un programa de visualizaci´on que utilizan las observacionales para planear sus observaciones.
- En su marco de reposo el cuasar Q2203+29 produce una l´ınea de emisi´on de hidr´ogeno de longitud de onda λrep = 1216 ˚A. Los astr´onomos en la Tierra observan esta l´ınea proveniente del cuasar a una longitud de onda de λobs = 6568 ˚A. Determine el par´ametro del corrimiento al rojo y la velocidad de recessi´on para este cuasar.
- La estrella Proxima Centauri tiene coordenadas (´epoca 1950) (α, δ) = (14h 26. 3 m, − 62 ◦ 28 ′). Haga la precessi´on de estas coordenadas a la fecha 3 de abril de 1990.
- En 1672 se hizo un esfuerzo internacional para medir el ´angulo de paralaje del planeta Marte en su momento de oposici´on (cuando se encuentra m´as cercano a la Tierra): Considere dos observadores quienes est´an separados por una l´ınea de base igual al di´ametro de la Tierra. Si la diferencia en sus mediciones de la posici´on angular de Marte es 33. 6 ′′, ¿cu´al es la distancia entre la Tierra y Marte en el momento de oposici´on? Exprese su respuesta tanto en unidades de cm como de UA.
- La estrella de Barnard (nombrada por el astr´onomo estadounidense Edward Barnard) es una estrella color anarajanda en la constelaci´on de Ophiucus. Tiene el movimiento propio m´as grande conocido (μ = 10. 31 ′′^ por a˜no) y el ´angulo de paralaje el segundo m´as grande conocido (P =
- 552 ′′). En el espectro de la estrella de Barnard la l´ınea de absorci´on de Hα (longitud de onda en reposo λrep = 6562.808 ˚A) se observa a una longitud de onda de λobs = 6560.44 ˚A.
a) Determine la velocidad radial de la estrella de Barnard. b) Determine la velocidad transversal de la estrella de Barnard. c) Calcule la velocidad espacial de la estrella de Barnard.
Figura 1: Izquierda: Curvas de velocidad radial del sistema FU Dra. Derecha: Curvas de velocidad radial del sistema AD Boo.
c) Un cuerpo negro tambi´en absorbe energ´ıa de su ambiente—en este caso del cuarto. La ecuaci´on que describela absorci´on es la misma que la ecuaci´on que describe laemisi´on de la radiaci´on de cuerpo negro. Calcule la energ´ıa por seguna absorbida por la persona t´ıpica del cuarto tanto en erg s−^1 como en watts. d ) Calcule la energ´ıa neta por segundo perdida por la persona t´ıpica debido a la radiaci´on de cuerpo negro.
- ¿Cu´ales son las tres clases principales de sistemas de estrellas binarias, c´omo se detectan, y qu´e in- formaci´on podemos obtener de cada una?
- Las curvas de velocidades radiales de dos sistemas binarios, FU Dra/F8 y AD Boo/G0 (sistemas binarios espectrosc´opicos) se dan en la Figura 1 donde el eje horizontal est´a en unidades del periodo orbital. Para el sistema FU Dra/F8 el periodo orbital es 0.306718 d´ıas, mientras que para el sistema AD Boo/G0 el periodo es 2.07 d´ıas:
a) Estime los valores de K 1 y K 2 (las amplitudes m´aximas de las velocidades radiales para los 2 componentes del sistema binario) para cada sistema. b) ¿Porqu´e el cero de las velocidades radiales (la raya negra horizontal) no es a 0 km s−^1? c) Suponiendo ´orbitas circulares estime el cociente de masas de los dos componentes para los dos sistemas. d ) Suponiendo ahora que el ´angulo de inclinaci´on, i, de la ´orbita en los dos casos es 90o, ¿cu´ales son las masas individuales de las estrellas en los dos sistemas? e) ¿Cu´al es la separaci´on m´axima (r = r 1 + r 2 ) entre las estrellas en los dos sistemas para este valor de i? ¿C´omo compara ´esta al radio del Sol? f ) Si ahora el ´angulo es i = 75o, ¿cu´ales ser´ıan las masas? ¿Es muy sensible al ´angulo la deter- minaci´on de las masas? g) ¿Puede pensar en una explicaci´on a que porqu´e no hay datos para velocidades radiales pe- que˜nas? Es decir, si se fije en los puntos observacionales, todos corresponden a valores grandes de las velocidades radiales. ¿Porq´ue?
- Las curvas de velocidades de los componentes del sistema binaria OU Ser/F9 se grafican en la Figura 2 en donde el eje horizontal est´a en unidades del periodo orbital. Para este sistema el periodo orbital es de 0.296764 d´ıas.
Figura 2: Curvas de velocidad del sistema binario OU Ser/F9.
a) Estime los valores de K 1 y K 2 (las amplitudes m´aximas de las velocidades radiales de los 2 componentes). Recuerde restar la velocidad sistem´atica del sistema (indicada por la l´ınea s´olida horizontal). b) Suponiendo ´orbitas circulares, estime el cociente de masas de los dos componentes del sistema. c) Suponiendo que el ´angulo de inclinaci´on, i, de la ´orbita del sistema es 90◦, ¿cu´ales son las masas individuales de las dos estrellas del sistema? d ) ¿Cu´al es la separaci´on m´axima (r) entre las estrellas en este sistema para este valor de i? ¿C´omo compara ´esta al radio del Sol?
- Describa tres posibles mecanismos para la formaci´on de la Luna. Discute los problemas con cada uno e indique cual es el mecanismo favorecido hoy en dia.
- Explique las razones por las cuales en un pasado Asamblea General de la Uni´on Astron´omica Internacional se decidi´o quitar a Plut´on de la lista de planetas del Sistema Solar.
- ¿Por cu´anto debe el ´angulo de apuntar de un interfer´ometro de dos elementos cambiarse para que se mueva de un m´aximo de interferencia a otro? Suponga que los dos telescopios est´an separados por el di´ametro de la Tierra y que la oservaci´on se est´a haciendo a una longitud de onda de 21 cm. Exprese su respuesta en segundos de arco.
- ¿Cu´ales son los problemas de hacer observaciones a frecuencias rayos-X y de radio? ¿C´omo los solucionan los astr´onomos?
- Calcule las energ´ıas (en eV) y longitudes de onda de los tres posibles fotones que pueden ser emitidos cuando un electr´on hace una cascada de la ´orbita n = 3 a la ´orbita n = 1 del ´atomo de hidr´ogeno neutro (no tiene que pasar directamente del nivel 3 a 1). ¿En qu´e parte del espectro electromagn´etico se encuentran estas l´ıneas?
- Calcule la energ´ıa (en eV) y longitud de onda del fot´on emitido por la transici´on entre los niveles n = 100 y n = 99 del ´atomo de hidr´ogeno neutro. ¿En qu´e rango del espectro electromagn´etico se encuentra esta l´ınea?
- Considere un gas compuesto de ´atomos de hidr´ogeno neutro
a) ¿A qu´e temperatura es el n´umero de ´atomos en el primer estado excitado solamente el 1 % del n´umero de ´atomos en el estado base?
Figura 3: Diagramas HR para algunos c´umulos de estrellas.
- Examine la Figura 3 que representa los diagramas Color-Magnitud (diagramas HR) para 6 c´umulos de estrellas y para cada una
a) Identifique la Secuencia Principal, la rama de las gigantes, la rama horizontal, la rama asint´oti- ca de las gigantes, las enanas blancas (en su caso). b) Utilizando los datos adicionales proporcionados en las tablas, estime la edad de cada c´umulo. c) Estima la distancia a cada c´umulo por encontrar la correspondencia entre magnitud aparente y magnitud absoluta. d ) ¿Cu´ales de estos c´umulos considere c´umulos globulares y cu´ales podr´ıan ser c´umulos abiertos? ¿Porqu´e?
- El pulsar del Cangrejo (se encuentra dentro del remanente de supernova del mismo nombre) tiene un periodo de esp´ın actual de Phoy ≡ 2 π/ω = 0.033 s, donde Phoy es el periodo actual y ω es la velocidad angular.
a) Si suponemos que la masa y radio del pulsar son los t´ıpicos para una estrella de neutrones, M = 1. 4 M⊙ y R = 1. 5 × 106 cm calcula el momento de inertia I = 25 MR^2 , el momento angular J = Iω y la energ´ıa rotacional E = 0. 5 Iω^2 de la estrella. b) Suponga ahora que esta estrella de neutrones se colaps´o desde un n´ucleo del tama˜no de una enana blanca (10^9 cm). ¿Cu´al hubiera sido la velocidad angular de ese n´ucleo y cu´al hubiera sido su energ´ıa rotacional, suponiendo que tanto el momento angular como la masa se conservan (se mantienen constantes)? ¿Por qu´e factor ha crecido la energ´ıa rotacional debido al colapso a estrella de neutrones?
- El pulsar del Cangrejo se est´a desacelerando con tiempo. Observaciones hechas en 1970 muestran un periodo P 1970 = 0.03311 s mientras que observaciones hechas 6048 dias m´as tarde en 1986 muestran un periodo P 1986 = 0.03333 s.
a) Estima la tasa de desaceleraci´on por calcular
dP dt
P 1970 − P 1986
6048 dias
recordando a convertir d´ıas en segundos (un dia = 86400 segundos). b) Utilize su valor estimado de dP dt para estimar la edad del pulsar a partir de la ecuaci´on
edad =
P 1986
dP dt
Esta estimaci´on supone que la tasa de desaceleraci´on es constante. Recuerde a convertir su respuesta en a˜nos. c) La supernova del Cangrejo se estall´o en 1054 (la observaron en China). Entonces la edad que acaba de calcular es una sobreestimaci´on. ¿Cu´al de nuestras suposiciones estuvo mal?
- Laboratorio: proyecto CLEA: Clasificaci´on espectral de las estrellas.
- Describa las principales caracter´ısticas de los espectros de las siguientes estrellas:
a) Estrella tipo O b) Estrella tipo A
- Las regiones H II son volumenes de gas ionizado que se encuentran alrededor de las estrellas masivas.
a) Describa dos mecanismos por los cuales el gas de las regiones H II emite radiaci´on. b) La serie de Balmer de l´ıneas espectrales se produce cuando hay transiciones entre el segundo nivel de energ´ıa y otro nivel del ´atomo de hidr´ogeno. Si la energ´ıa de ionizaci´on del ´atomo de hidr´ogeno es IH = 13.6 eV, ¿cu´ales son las longitudes de onda de las l´ıneas espectrales producidas por las siguientes transiciones: (i) n = 4 a n = 2; (ii) n = 10 a n = 2, y en qu´e parte del espectro electromagn´etico se observar´an? c) ¿Cu´al es el valor t´ıpico de la temperatura del gas ionizado dentro de las regiones H II? Explique el proceso por el cual el gas adquiere esta temperatura.
- Este problema se trata del criterio de Jeans para sistemas autogravitantes.
a) Afirma el teorema del Virial que describe la condici´on de equilibrio para un sistema autogra- vitante estable. ¿Cu´al es la condici´on para el colapso gravitacional? b) Considere una nube molecular esf´erica de densidad uniforme ρ 0 y masa total Mn. La energ´ıa potencial debido a la gravitaci´on es U ≃ 35 GM^ n^2 Rn donde^ Rn^ es el radio de la nube. La energ´ıa cin´etica de la nube es K = 32 NkT donde N es el n´umero total de part´ıculas y T es la temperatura.
- Escriba una expresi´on para Rn en t´erminos de Mn y ρ 0.
- Si la masa promedio de una part´ıcula es μmH donde mH es la masa de un prot´on, escriba una expresi´on para N en t´erminos de Mn.
- Demuestre que la masa de Jeans MJ (la masa m´ınima requerida para el colapso gravita- cional espontaneo) es
MJ ≃
( 5 kT GμmH
) 3 / 2 ( 3 4 πρ 0
) 1 / 2
- ¿Cu´al es la expresi´on para la longitud de Jeans, RJ , que corresponde a esta masa?
- ¿Cu´al es la masa de Jeans de una nube molecular μ = 2 de temperatura T = 100 K y densidad num´erica n = 10^7 cm−^3? ¿Considere que una nube molecular t´ıpica es inestable al colapso gravitacional (hay que pensar cual es la masa t´ıpica de una nube molecular observada)?
- Describe brevemente los siguientes componentes de la Galaxia y donde se pueden encontrar:
a) El gas molecular b) El gas H I at´omico c) El gas caliente T > 106 K d ) Los c´umulos globulares
- Suponiendo que la edad del Sol es 4. 5 × 109 a˜nos, y que sigue una ´orbita circular ¿cu´antas vueltas ha dado de la Galaxia? ¿Cu´anta masa hay en la Galaxia interior al radio del Sol?
- A cualquier posici´on a lo largo del ecuador gal´actico, el perfil de la l´ınea de 21 cm de hidr´ogeno se ve compleja, indic´andonos que estamos observando en esta direcci´on varias nubes ubicadas a un rango de distancias, teniendo velocidades radiales diferentes y por lo tanto corrimientos de Doppler diferentes. En la figura 4 se muestran varias perfiles de l´ıneas para l´ıneas de visi´on que corresponden a diferentes longitudes gal´acticas, l, (el ´angulo est´a indicado al lado de cada perfil).
Figura 4: Perfiles de la l´ınea de emisi´on de H a 21 cm
d ) Si la galaxia es un disco de radio 20 kpc, altura 200 pc y densidad promedia de una part´ıcula por cent´ımetro c´ubico (es decir, densidad de masa de 1. 67 × 10 −^24 g cm−^3 ), estime la masa de la galaxia en masas solares. e) Por lo general, la masa estimada a partir de la curva de rotaci´on es mayor que la masa observada de la materia que emite radiaci´on. D´e una posible explicaci´on por esta discrepancia.
- Las estrellas varables W Virginis tienen periodos de variaci´on en su luminosidad de entre 2 y 49 d´ıas y luminosidades 4 veces menores que las estrellas Cefeidas. En el mismo diagrama dibuja las relaciones periodo-luminosidad tanto para las estrellas Cefeidas como para las estrellas W Virginis.
- Estime el periodo de las pulsaciones del Sol si fuera una estrella variable.
- La siguiente tabla muestra datos obtenidos con el Telescopio Espacial Hubble en 1994 por W. Freed- man y colegas. Se tratan de observaciones de estrellas Cefeidas cl´asicas en la galaxia M 100, que pertenece al c´umulo Virgo de galaxias. Representan el primer paso en un proyecto para conseguir mejores mediciones de distancias a galaxias medio distantes para asi estimar mejor la constante de Hubble.
Nombre < mV > P C1 24.95 53. C2 25.4 50. C3 25.7 43. C4 25.5 39. C5 26.5 30. C6 26.5 30. C7 26.5 29. C8 25.8 26. C9 26.5 26. C10 25.55 24. C11 26.3 24. C12 26.4 22.
a) Utilizando la relaci´on periodo-magnitud para estrellas Cefeidas, encuentre la magnitud abso- luta MV para cada objeto y asi el m´odulo de distancia mV − MV. b) Encuentre el promedio de los m´odulos de distancia y utilize este valor para encontrar la distancia a la galaxia M 100. c) La extinci´on a esta galaxia en la banda V tiene un valor aproximado de aV = 0.25. ¿Cu´al es la distancia a M 100 tomando en cuenta el efecto de la extinci´on por el polvo interestelar?
- ¿ Qu´e puede inferir de la Figura 6 que muestra una diagrama HR que se observ´o para una de las galaxias sat´elites de la Via L´actea?
- a) La relaci´on Tully-Fisher es una relaci´on entre la magnitud absoluta y la velocidad de rotaci´on de galaxias espirales. De la Figura 7 encuentre la ecuaci´on de la l´ınea (de forma MB = a log Vmax + b) que mejor ajuste los datos para las galaxias Sa. b) Tambi´en existe una relaci´on entre el radio del is´ofoto de magnitud 25 en la banda-B, R 25 , y la velocidad de rotaci´on. De la Figura 8 encuentre la ecuaci´on de la l´ınea indicada (de forma log R 25 = aMB + b) que ajuste los datos para las galaxias Sa.
Figura 6: Diagrama HR de una galaxia sat´elite de la Via L´actea
(escala logarítmica)
Figura 7: Relaci´on magnitud absoluta–velocidad de rotaci´on para tres muestras de galaxias espirales.
c) La galaxia NGC 2369 es una galaxia espiral tipo Sa. En la Figura 9 se muestra su curva de rotaci´on. De la Figura 9 encuentre el valor m´aximo de la velocidad de rotaci´on, Vrot. d ) Utilizando su relaci´on Tully-Fisher para galaxias espirales tipo Sa, calcule la magnitud abso- luta en la banda B, MB y asi determine el radio del is´ofoto de magnitud 25, R 25. e) Si la magnitud aparente de la galaxia NGC 2369 en la banda B es 12.22, determine la distancia d a la galaxia utilizando la ecuaci´on de m´odulo de distancia m − M = 5 log 10 d − 5 donde m es la magnitud aparente y M es la magnitud absoluta. f ) Utilizando los valores de Vrot y R 25 determine la masa de la galaxia interior a R 25. g) Si la magnitud bolom´etrica del Sol es Mbol,sol = +4.76, la correcci´on bolom´etrica para el Sol es BC = − 0 .07, y el ´ındice de color B − V para el Sol es B − V = +0.64 utilize las relaciones BC = Mbol − MV B − V = MB − MV para encontrar MB para el Sol. La relaci´on entre la magnitud absoluta de una estrella y su luminosidad es M = Msol − 2 .5 log (^10) LL⊙. Utilize el valor de MB que acaba de encontrar para el Sol y el valor que calculaba de MB para NGC 2369 en un inciso anterior para asi encontrar la luminosidad de la galaxia NGC 2369 en la banda B. La luminosidad del Sol es 4. 0 × 1033 erg s−^1. h) Calcule la relaci´on masa a luminosidad (M/L, en unidades de M⊙/L⊙, donde aqui M es masa no magnitud) para la galaxia NGC 2369 en la banda B interior al radio R 25.
- Se piensa que los n´ucleos de las galaxias activas alberguen hoyos negros supermasivos que son los responsables de la enorme luminosidad de estos objetos. El radio de Schwarzschild es el radio que debe tener un hoyo negro de masa M para que su velocidad de escape sea la velocidad de la luz c.
a) Encuentre la expresi´on para el radio de Schwarzschild RS en t´erminos de la masa M del hoyo negro, la velocidad de la luz y la constante gravitacional. b) ¿Cu´al es el radio de Schwarzschild, RS, de un hoyo negro de masa 10^8 M⊙? c) ¿Cu´al es la velocidad de rotaci´on de una nube que se est´a orbitando el hoyo negro a una distancia de 5RS?
- Si la l´ınea de Lyman α (1215˚A) est´a corrido al rojo a un redshift de z = 3 ¿en qu´e parte del espectro electromagn´etico se observar´a? ¿y si el corrimiento al rojo fuera z = 7? ¿Por qu´e factor se habr´a expandido el Universo entre la emisi´on de estas dos l´ıneas de sus respectivas fuentes?
- Laboratorio: proyecto CLEA: La relaci´on Distancia–Corrimiento al Rojo de Hubble.
- Tomando el valor del constante de Hubble H 0 = 70 km s−^1 Mpc−^1 utilize el valor de la distancia a NGC 2369 que encontr´o anteriormente para asi calcular la velocidad de recesi´on de esta galaxia. ¿Cu´al ser´ıa la longitud de onda de la luz emitida de una l´ınea observada a 4400 ˚A (la longitud de onda central de la banda B)?
Datos Suplementarios
Magnitud absoluta de una muestra de estrellas de la secuencia principal
Magnitud Absoluta B-V Tipo Espectral V -5.8 -0.35 O -4.1 -0.31 B -1.1 -0.16 B 0.7 -0.00 A 2.0 0.13 A 2.6 0.27 F 3.4 0.42 F 4.4 0.58 G 5.1 0.70 G 5.9 0.89 K 7.3 1.18 K 9.0 1.45 M 11.8 1.63 M 16.0 1.80 M
Tiempo de Vida en la Secuencia Principal
Tipo Espectral Tiempo de Vida a˜nos O < 106 B 3 × 107 A 4 × 108 F 4 × 109 G 1 × 1010 K 6 × 1010 M > 1011
