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1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas 11
1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas
Este primer capítulo sirve de repaso a los conceptos y métodos que se vieron en el curso introductorio de Física sobre Teoría Electromagnética. Se analizan situaciones típicas en las que determinadas distribuciones de carga conocidas –sean puntuales, dipolos, o distribuciones continuas– producen campos y potenciales en el espacio. Algunos otros problemas hacen referencia a corrientes estacionarias y sus distribuciones de campo magnético. Se emplean herramientas conocidas, como las leyes integrales de Gauss y Ampère y las ecuaciones diferenciales de Laplace y Poisson. Se han incluido también ejercicios de inducción electromagnética, resolubles mediante la ley de Faraday. Estos problemas se incluyen en algunos textos bajo el epígrafe de Campos lentamente variables en el tiempo , y es cierto que ya no son problemas en régimen estático, y que implican relaciones entre campos eléctricos y magnéticos. Sin embargo, los incluimos en este primer capítulo porque reflejan situaciones ya conocidas por los estudiantes.
1. Calcule el flujo del campo eléctrico creado por una carga puntual, de valor q , situada en el origen de coordenadas, a través de las dos superficies siguientes:
a) una semiesfera de radio^ R , cuyo centro (el origen de los radios) coincide con la carga.
b) el plano y = d.
2. Un medio dieléctrico sometido a la acción de un campo eléctrico se polariza y, como consecuencia, aparecen en el medio las llamadas densidades de carga ligada, volúmica y superficial. El vector de polarización da cuenta del estado de polarización del medio y aquellas densidades de carga pueden calcularse a partir de este vector. Las expresiones son, respectivamente:
b^ P
ρ =−∇ ⋅
b =^ P ⋅^ n ˆ
σ
A partir de la igualdad (^) ∫ ⋅ = ε S
E ds Q / 0
, deduzca la ley de Gauss para el vector desplazamiento que,
en el caso más sencillo y más habitual de que no haya cargas libres en el dieléctrico, toma la forma
∫ S D^ ⋅ d^ s =^0
El vector desplazamiento eléctrico D
se define como D E P
= ε 0 +.
© Los autores, 2001; © Edicions UPC, 2001.
12 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
3. Calcule el potencial eléctrico en el interior de una esfera de radio (^) a que contiene una densidad de carga eléctrica
0 (^1 2 )
a
r
ρ= ρ +
sabiendo que el potencial es nulo en el infinito. Haga el cálculo a partir de la ecuación de Poisson.
4. Determine el campo eléctrico dentro y fuera de una distribución esférica de carga de densidad
constante ρ 0 y radio R. Utilice la ley de Gauss.
5. Algunas de las líneas de campo electrostático de la figura 1, donde A y B son conductores perfectos, no son posibles. ¿Cuáles son?, ¿por qué?
A
B
Fig. 1 Líneas de campo electrostático entre dos conductores. Algunas de esas líneas no son posibles físicamente
6. Dos cargas puntuales de valores +q y -q están situadas, respectivamente, en los puntos z = s/2 y z = -s/2 , formando un dipolo eléctrico.
a) Calcule el potencial eléctrico creado por el dipolo en todo el espacio.
b) Aproxime la expresión anterior para puntos tales que r >> s.
7. La gráfica de la figura 2 representa la distribución de carga volúmica en una unión p-n no polarizada. Esa distribución, debida a la huida de los portadores mayoritarios de uno y otro lado de la unión, se denomina zona de carga espacial. Ocurre que el exceso de electrones libres debido a los átomos donadores de la zona n han escapado, dejando tras de sí una zona iónica de carga neta positiva, y también algunos electrones de la banda de valencia han sido capturados por los átomos aceptores de la zona p , formando un volumen de iones negativos.
14 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
Se sumerge la barra en el seno de un campo magnético homogéneo orientado transversalmente a la
dirección de la corriente, con B 0 = 1. 0 T.
d) ¿Cuál será la magnitud de la fuerza magnética por unidad de carga que experimentan los portadores? ¿Variará la densidad de corriente respecto a la situación en que no había campo magnético? ¿Y la intensidad de corriente en la barra?
9. (^) Calcule la capacidad de un condensador formado por dos placas metálicas de dimensiones 21 cm x
29 cm separadas por una hoja de papel (εr = 2, d = 0,1 mm).
10. Una corriente circula a través de un hilo conductor recto extendido en la dirección del eje Z. La densidad volúmica de corriente es
J r J
a
( ) z
2 2
ρ
donde a es el radio del conductor y ρ la coordenada radial cilíndrica.
a) Calcule la intensidad de corriente I que atraviesa el hilo. b) Si I = 1 A y a = 0,3 mm ¿cuál es el valor de J 0?
c) Calcule el valor del campo magnético creado a 1 cm del hilo conductor.
11. Dos láminas conductoras paralelas de muy pequeño grosor, anchura h y longitud l , separadas una distancia d , forman una línea de transmisión. Ambas conducen una densidad superficial uniforme y constante en el tiempo, de valor J 0 , en sentidos opuestos. Las dimensiones de la línea satisfacen las condiciones l >> h y h >> d. Calcule mediante la ley integral de Ampère y aplicando superposición cómo será la distribución del campo magnético producido por las corrientes.
X
Z
Y
h
l d
J 0
Fig. 4 Línea de transmisión formada por dos láminas conductoras delgadas y paralelas
12. Se utilizan dos imanes cilíndricos con sus ejes alineados y con una cierta separación entre ellos para producir un campo magnético aproximadamente constante, de valor (^) B 0. Entre medio de ambos se sitúa un arrollamiento formado por (^) N espiras de radio (^) a , que se hace girar a (^) n r.p.m.
1 Ecuaciones de Maxwell en condiciones estáticas 15
a) ¿Qué frecuencia tiene la tensión generada en el arrollamiento?
b) ¿Cuál es su amplitud?
c) Calcule el valor numérico de ambas magnitudes con los siguientes datos: B 0 = 10-2^ T, N =
100 espiras, (^) a = 1 cm, (^) n = 2000 r.p.m.
13. Calcule la resistencia a lo largo de un hilo de cobre de sección circular de 50 m de longitud y 0, mm de diámetro. La conductividad del cobre es σ = 5,9x10^7 1/Ωm. 14. Calcule la capacidad por unidad de longitud de un cable coaxial formado por un hilo central de 1,0 mm de diámetro y una malla exterior de 8,0 mm de diámetro. El dieléctrico que separa ambos conductores tiene una constante εr = 3,2.
18 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
donde A y D son constantes. ¿Cuál es el valor de la constante D?
d) Obtenga el campo eléctrico.
e) Un pulso electromagnético muy corto, del orden de algunos nanosegundos, incide sobre la superficie plana de separación entre el aire y el medio descrito_._ Como resultado, parte de la radiación se refleja y otra parte penetra en el medio, en donde el campo magnético adopta la forma dada en el apartado c). Represente la forma de H en función de z para algunos valores entre (^) z = 0 y (^) z = 100 μm en los dos instantes de tiempo (^) t = 1 ns (10-9^ s) y (^) t = 4 ns. Para ello tome los valores A = 2,11 x 10-3^ H y D = 0,142 m^2 /s.
17. En el proceso de carga de un condensador plano, como el que se muestra en la figura 5, supondremos que la tensión aplicada crece linealmente en el tiempo. Se considera que las placas son conductores perfectos y que la densidad superficial de corriente que recorre las placas tiene únicamente componente longitudinal.
V(t)
X
J +^ (x) σ+^ (t)
σ−^ (t)
a
Z Y
d b
Fig. 5 Condensador de placas paralelas en el proceso de carga
La tensión puede tomarse en la forma V(t) = K t y se hará la aproximación a, b >> d. Se comprueba que la densidad de corriente, que tiene igual magnitud y diferente signo en cada una de las armaduras, es
J S ( ) r J ( a x x )
a) A partir de la ecuación de continuidad (en dos dimensiones), calcule la densidad
superficial de carga en las armaduras.
b) Calcule el campo eléctrico entre las placas mediante la ley de Gauss integral.
c) Calcule el campo magnético entre las placas.
d) Obtenga la energía eléctrica instantánea almacenada por el condensador.
e) ¿Cuál es el valor de J 0?
18. (^) Un cable conductor cilíndrico y rectilíneo, orientado en la dirección del eje Z, está recorrido por una densidad volúmica de corriente cuya expresión es:
2 Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas 19
( ,) 0 ( 1 ) cos( )ˆ m 2
A
J rt J ea e z t bz z
r = − −α ω −
donde a es el radio del cable, α y β son, respectivamente, constantes de atenuación y de propagación, y ρ es la coordenada cilíndrica de cada punto considerado.
a) Obtenga la expresión del fasor correspondiente. b) Calcule la densidad volúmica de carga presente en el cable. c) El cable no puede ser un conductor perfecto a la vista de lo anterior. Explíquelo más claramente. d) ¿Qué intensidad de corriente instantánea circula por el cable?
19. (^) La transformada de Fourier S ˆ(^ , k )
ω (simultánea en frecuencia temporal y frecuencias espaciales)
de un campo S ( t , r )
se define como:
∫ dt^ ∫ S ( t , r )exp(−^ j t + jk ⋅ r ) dV
3 / 2
Escriba las ecuaciones de Maxwell en el espacio ( , k )
ω y demuestre que cuando no hay cargas, el
campo eléctrico es transversal, es decir: k ⋅ E = 0
. Así mismo, demuestre que el campo magnético
siempre es transversal: k ⋅ B = 0
.
20. Dos placas conductoras perfectas, paralelas, de anchura a , longitud l y situadas a una distancia d llevan corrientes de igual valor y signo contrario, tal como se muestra en la figura 6. El espesor de las placas es muy pequeño y las densidades de corriente pueden considerarse laminares. Su expresión es
m
J ( r^ )=± J 0 cos( ω t ) y ˆ A
Indique cuáles de las afirmaciones que siguen son ciertas y cuáles no, y razone su respuesta en cada caso, basándose en alguna de las ecuaciones fundamentales del Electromagnetismo.
X
Z
Y
a
l
d
Fig. 6
2 Ecuaciones de Maxwell en condiciones dinámicas 21
NOTA: μ 0 y ε 0 no sufren ningún cambio de escala, ya que no son variables, sino constantes particulares del vacío.
22. (^) Una zona del espacio está ocupada por un campo magnético, que podemos considerar en la zona de estudio como aproximadamente uniforme, o con variaciones espaciales muy lentas, y que varía senoidalmente en el tiempo. Tomemos su expresión aproximada como:
B = B 0 z ˆcos ω t
a) Se sitúa en el seno de ese campo una espira conductora circular, de radio a , y resistencia R cuyo plano es perpendicular al campo magnético. ¿Cuál será el valor de la corriente inducida en la espira? b) Independientemente de que coloquemos o no la espira para comprobar el fenómeno de inducción electromagnética, lo cierto es que por el mero hecho de existir un campo magnético variable en el tiempo debe aparecer un campo eléctrico en el espacio: precisamente el campo que hace circular a los electrones en la espira del apartado anterior. Calcúlelo a partir de la ley de Maxwell-Faraday.
4 Incidencia de ondas planas 23
3 Ondas planas
El estudio de la naturaleza y las propiedades básicas de las ondas electromagnéticas es el objetivo fundamental en este curso. Éste es el primer tema que hace referencia directa a la ecuación de onda y a sus soluciones. Dentro de la diversidad enorme de formas que pueden adoptar las ondas, en las diferentes situaciones que pueden considerarse, se comienza por el estudio de ondas planas en medios ilimitados, esto es, sin condiciones de contorno debidas a cambios de medio. Las ondas planas uniformes constituyen el tipo de solución más sencillo de la ecuación de onda, pero gran parte de las propiedades interesantes de cualquier onda se encuentran ya en ellas. En este capítulo hemos hecho especial hincapié en las cuestiones relacionadas con la polarización de las ondas planas y se presentan problemas en los que intervienen elementos de control de la polarización, tales como polarizadores y láminas de retardo. Casi todos los problemas se plantean y se resuelven en forma fasorial, como la más conveniente al régimen senoidal, sin embargo se incluyen algunos problemas en los que deberá trabajarse con las expresiones instantáneas de los campos.
23. Una onda plana uniforme que viaja en el aire en la dirección del eje Z tiene asociado un vector de
intensidad de campo magn ético de amplitud H 0 = 1 / π A/m, dirigido en la dirección dada por el vector
x + y. La frecuencia de la onda es de 100 MHz.
a) Escriba la expresión del campo magnético instantáneo.
b) Halle el fasor campo eléctrico.
c) ¿Qué densidad media de potencia transporta la onda?
24. Una onda plana propagándose en el vacío tiene como fasor campo eléctrico:
E ( r )= EO ( 1 + j 3 )( x ˆ− y ˆ)exp(− j 0 , 2 π z )
. Considérese EO real.
a) ¿Cuál es el tipo de polarización? b) ¿Cuál es su frecuencia? c) Calcule el vector de Poynting medio. d) Escriba la expresión del campo instantáneo.
25. Calcule las longitudes de onda en el aire para ondas planas de las siguientes frecuencias:
a) f = 270 KHz, (LW) c) f = 440 MHz, (UHF)
b) f = 92,5 MHz, (FM) d) f = 2,5 GHz. (microondas)
26. Describa el tipo de polarización y el sentido de giro en su caso de las siguientes ondas planas:
4 Incidencia de ondas planas 25
c.i) b = 0 ,^ a > 0 c.ii) E^ (^ r =^0 , t =^0 )=^0
30. Un polarizador es un elemento que deja pasar, de las ondas que inciden sobre él, únicamente la componente de campo eléctrico paralela a su propio eje, y que absorbe o refleja la componente perpendicular a ese eje. Una onda plana viaja en la dirección positiva del eje Z e incide normalmente sobre un polarizador. Su fasor campo eléctrico es:
[ ]
E in ( ) r E ( x y j x y e jkz
− 0
a) ¿Cuál es la expresión del campo eléctrico a la salida del polarizador?
b) Se desea añadir un segundo polarizador para que la potencia de la onda resultante final
quede reducida a la cuarta parte de la inicial. ¿Cuál deberá ser el ángulo entre los ejes de los dos polarizadores?
31. Una onda plana uniforme con polarización elíptica y frecuencia f = 300 MHz, que se propaga en el vacío, atraviesa un polarizador y pierde cuatro quintas partes de su potencia original. A continuación atraviesa una lamina de grosor d = 1 cm de un dieléctrico no magnético con perdidas, con permitividad relativa εr = 1. A la salida de la lámina, la potencia de la onda queda reducida otra vez a un quinto de la incidente. El fasor de campo eléctrico de la onda resultante al final es
E ( r^ ) = 50 π x ˆ e −^ jkz
a) Calcule la expresión del campo eléctrico de la onda original. b) En la hipótesis de que el material es un buen conductor, calcule su conductividad. c) Con el resultado del apartado anterior, determine si la hipótesis de buen conductor es correcta o no.
32. (^) Una lámina de retardo consiste en una lámina plano-paralela de un material anisótropo, que presenta diferente índice de refracción para las ondas en función de la orientación del campo eléctrico de las mismas. Más concretamente: la lámina fuerza la descomposición del campo eléctrico incidente en dos componentes lineales y ortogonales, paralelas a los ejes propios de la lámina, y asigna un índice diferente a cada una de esas dos nuevas ondas. Durante el trayecto por la lámina, que tiene un cierto grosor d , las dos ondas van acumulando un desfase diferente debido a esa diferencia de índices. La amplitud de cada onda se determina en la descomposición inicial y depende de cómo incide la onda respecto a los ejes de la lámina.
a) Con la información anterior calcule el campo final a la salida de una lámina de retardo de acuerdo con los datos de la figura 7.
b) Modifique los cálculos anteriores para el caso en que ψ = -45º. ¿Cuál es la diferencia en el campo final?
26 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
E in ( ) r E ( x jy e jkz
nO = 1,
nE = 1,
d = 9,75 μm
λ = 0,78 μm
ψ (^) = 45º
Z
X
E i Y
ψ
n (^) O n (^) E
e j e s d e l a l á m i n a
Fig. 7 Una lamina de retardo sólo admite propagación de ondas planas en su interior con polarización lineal y paralela a alguno de sus dos ejes propios
33. La lámina de retardo del problema anterior se denomina lámina de lambda cuartos. El nombre proviene del hecho de que provoca un desfase entre las dos componentes paralelas a sus ejes, de valor π/2, que es la cuarta parte de un ciclo de fase completo (2π). Las láminas de lambda cuartos se utilizan para convertir una polarización lineal en circular, para lo que sólo hay que incidir con el ángulo adecuado (45º) respecto a sus ejes, a fin de igualar las amplitudes. También sirve, recíprocamente, para convertir una polarización circular en lineal, como se ha visto en el problema anterior. Sin embargo un polarizador también convierte una polarización circular en lineal. ¿Cuál es la ventaja de la lámina frente al polarizador? 34. Junto a las láminas de lambda cuartos, el otro tipo más popular son las láminas de lambda medios. Éstas tienen un comportamiento del todo similar a las anteriores, pero ahora el desfase que provocan entre las componentes paralelas a sus ejes es de π. La cuestión es: a) ¿Cómo afecta a una onda con polarización lineal el paso a través de una lámina de lambda medios? Suponga que la onda incide con su campo eléctrico formando un determinado ángulo ψ respecto a uno de los ejes de la lámina. b) ¿Cómo afecta a una onda con polarización circular? 35. (^) Un investigador ha encontrado en el cajón de una mesa del laboratorio dos elementos ópticos, y no sabe si son polarizadores o láminas de retardo. Para averiguarlo dispone de un láser de He-Ne, cuyo tipo de polarización no recuerda, y de un detector de luz. Alinea el láser con el detector e intercala en el trayecto del haz el primer elemento óptico. La potencia recibida cae a la mitad al intercalar el elemento, pero no varía si lo hace girar. Quita esa lámina e intercala la segunda. Ahora la potencia recibida tampoco es sensible al giro de esa segunda lámina y esta vez ni siquiera varía significativamente por el hecho de que la lámina esté o no. El investigador saca varias consecuencias
28 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
39. Un conductor cilíndrico muy largo, de radio (^) R y orientado en la dirección del eje Z, está
recorrido por una densidad de corriente constante J = J 0 z ˆ
. El conductor es un material no magnético
de conductividad σ.
a) Calcule el campo magnético dentro y fuera del conductor y el campo eléctrico en el interior del conductor.
b) ¿Será nulo el campo eléctrico en el exterior del conductor? ¿Por qué?
El mismo conductor del apartado anterior está ahora recorrido por una intensidad de corriente que varía senoidalmente en el tiempo. A bajas frecuencias, tales que la longitud de onda es mucho mayor que la longitud considerada de hilo conductor, la corriente puede escribirse como
I ( t )≅ I 0 cos ω t
sin necesidad de añadir un término de fase dependiente de z. Se comprueba que la densidad de corriente ya no sé distribuye de forma homogénea en el interior del hilo. En estas nuevas condiciones responda a las siguientes cuestiones:
c) Si no es homogénea^ ¿de qué^ variables, en coordenadas cilíndricas, podrá^ depender ahora la densidad de corriente?
d) De acuerdo con la respuesta obtenida en el apartado c) , ¿puede existir densidad de carga en el interior del conductor?
e) ¿Qué componente o componentes vectoriales, en coordenadas cilíndricas, tendrá el fasor de campo eléctrico en el interior del conductor? ¿de qué variables coordenadas puede depender?
f) Supongamos que, como en el caso estático, el fasor de campo magnético sólo tiene una componente vectorial que, a su vez, sólo depende de una coordenada espacial. Razone por qué no puede variar con las otras variables espaciales (en coordenadas cilíndricas).
g) Suponiendo que el material es un buen conductor a bajas frecuencias, obtenga la ecuación diferencial que satisface el campo eléctrico en su interior.
4 Incidencia de ondas planas 29
4 Incidencia de ondas planas
Después de familiarizarse con el comportamiento de las ondas planas propagadas en el espacio libre llega el turno a los dos fenómenos básicos de reflexión y refracción de ondas sobre la superficie de separación con otros medios, sean dieléctricos o conductores. Se proponen problemas básicos para la correcta descripción matemática de las ondas reflejadas y transmitidas, según las leyes de Snell y las fórmulas de Fresnel. También hay problemas referentes a los casos particulares de incidencia, como son incidencia normal, incidencia según el ángulo de Brewster e incidencia por encima del ángulo crítico de reflexión total. Al final se presentan varios problemas de multicapas o incidencia múltiple.
40. Una onda plana con polarización lineal incide oblicuamente sobre un plano conductor en la forma en que se muestra en la figura.
n (^) 1 = 1
E (^) i
a) Calcule las densidades superficiales
de carga y de corriente que se inducen en el conductor.
b) Repita el apartado anterior para una
onda plana con polarización lineal ortogonal.
c) ¿Qué observa en cuanto a la
dirección en que circula la corriente inducida?
Fig. 8 Incidencia sobre un conductor perfecto
41. Una onda plana con polarización circular a izquierdas incide sobre un plano conductor inclinado 45 º respecto a los ejes coordenados, tal como se muestra en la figura 9.
4 Incidencia de ondas planas 31
45. Una onda electromagnética de frecuencia (^) f = 300 MHz se propaga en un medio dieléctrico con
índice de refracción n 1 = 2 , e incide oblicuamente sobre un medio de índice n 2 = 2. El fasor
campo eléctrico de la onda incidente es:
E i ( ) r E ( ( y z j x e jk^ ir
= 0 6 − + 3 3 − ) −^ ⋅
n (^1)
n (^2)
i
Z
X Y
Hallar:
a) El fasor campo eléctrico
transmitido.
b) El fasor campo eléctrico
reflejado.
Fig. 11 Cambio de medio y orientaciones de las componentes paralela y perpendicular al plano de incidencia de las tres ondas: incidente, reflejada y transmitida
46. Una onda plana uniforme de frecuencia f = 150 MHz tiene asociado un campo eléctrico cuyo fasor puede escribirse como
( ) ( ˆ ˆ) ˆ exp( )
E ir E 0 2 2 z y j x jki r
−^ ⋅
según la misma referencia de coordenadas del problema anterior (véase la Fig. 11) La onda incide desde un medio dieléctrico no magnético de índice de refracción n 1 = 2 sobre la superficie de separación con el aire ( n 2 = 1).
a) Obtenga el valor de los ángulos de incidencia ( θ i ) y de refracción ( θ t ).
b) Escriba las expresiones de los vectores de onda de las tres ondas: incidente, reflejada y
transmitida.
c) Identifique el tipo de polarización de la onda incidente.
d) ¿Cuál es el valor del ángulo de Brewster para una onda plana que incide desde el
dieléctrico sobre el aire?
e) Obtenga el valor de los coeficientes de reflexión y transmisión correspondientes a ondas
con polarización paralela y perpendicular al plano de incidencia.
f) ¿Cuál es el valor del ángulo crítico para esa interficie?
g) Escriba la expresión de la misma onda incidente cuando incide sobre la superficie de
separación del dieléctrico con un ángulo de 60º respecto a la normal.
32 Problemas resueltos de Campos Electromagnéticos
47. Una onda plana polarizada elípticamente, cuyo campo eléctrico es:
E i ( r ) E 0 ( e ˆ e ˆ e^ j^ ) exp( jki r )
= + ⊥ − ∆^ ϕ − ⋅
con ∆ϕ = 37º , incide desde un medio dieléctrico sobre la superficie de separación con el aire, tal como se muestra en la figura 12.
a) Escriba la expresión completa de Ei ( r )
,
en función del ángulo θ i y de las
características del medio. b) Si el ángulo de incidencia es tal que
3
2 sen θ (^) i = , ¿cómo será la polarización
de la onda reflejada? c) Para^ un^ ángulo^ θ (^) i < θ iC ¿sería^ posible obtener una polarización de la onda reflejada como la obtenida en el apartado b). Justifique la respuesta. d) Escriba la expresión de la componente de campo eléctrico transmitido al aire perpendicular al plano de incidencia para la situación descrita en b).
X
Y
Z
k i
kr
k t
e i
e i
θ i
Fig. 12
48. Una onda plana incide con un cierto ángulo θi sobre la superficie de separación de dos medios dieléctricos. Como resultado aparecen dos ondas, reflejada y transmitida, con las direcciones que se muestran en la figura 13.
n 1 n 2
Fig. 13 Incidencia sobre la superficie de separación con otro dieléctrico. La información que da la figura es que el ángulo de transmisión es menor que el de incidencia
Indique si las afirmaciones que siguen son ciertas o no, y razónelo brevemente:
