PROBLEMAS CON FUNCIONES
EJERCICIO 1
La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada
en función del tiempo t, en horas, por la expresión: T(t) = 40t −10t2 , con 0 ≤ t ≤ 4
a) Represente gráficamente la función T y determine la temperatura máxima que alcanza la pieza.
b) ¿Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? ¿Volverá a tener esa misma temperatura en
algún otro instante?
Solución:
a) La función es una parábola con vértice hacía arriba, en el máximo. El vértice se obtiene en la
solución de T´(t) = 0.
T´(t) = 40 − 20t = 0 ⇒t = 2. La temperatura máxima será T(2) = 40 · 2 − 10 · 22 = 40º C.
Otros puntos de la gráfica de esta función son: (0, 0); (1, 30); (3, 30) y ( 4, 0). Uniendo esos puntos,
obtenemos la gráfica.
b) Para t = 1, como ya hemos dicho, T(1) = 30. Los instantes en los que la temperatura vale 30 son
las soluciones de la ecuación: T(t) = 40t −10t 2 = 30 ⇒10t 2 − 40t + 30 = 0 ⇒t 2 − 4t + 3 = 0 ⇒En
los instantes t = 1 y t = 3 la temperatura será de 30º C.
EJERCICIO 2
Se espera que, en los próximos diez años, las ganancias (en millones de euros) de una empresa,
vengan dadas por la función P(t)=-2t2+20t+5
a) Determinar cuando las ganancias serán iguales a 5 millones de euros.
b) Determinar en qué años decrecerán las ganancias. ¿Cuándo son máximas?
Solución:
a) Debe ser P(t) = 5 t = 0, t = 10. La solución t = 0 carece de sentido. Por tanto, a los 10 años la⇒
empresa gana 5 millones.
b) Derivando: P'(t)=-4t+20. Esta derivada se anula cuando t = 5.
Si t < 5, P´(t) > 0 P(t) es creciente. ⇒
Si t > 5, P´(t) < 0 P(t) es decreciente ⇒
Si crece para valores de t < 5 y decrece para t > 5, en t = 5 se da el máximo de P(t). Dicho máximo
es P(5) = 55 millones.
EJERCICIO 3
La demanda de un bien en función de su precio viene dada por
Dp=30p10 / p
a) Demostrar que al aumentar el precio disminuye la demanda.
b) Suponiendo que el precio aumenta indefinidamente, decir qué ocurrirá con la demanda.
c) Escribir los ingresos de una empresa en función del precio suponiendo que dicha empresa es la
única que produce este bien.
d) Calcular el precio para que la empresa del apartado anterior maximice sus beneficios sabiendo
que los costes vienen dados por C(p)=p2/4.
Solución:
a) Hacemos la derivada: D'(p)=-10/p2. Como D´(p) < 0 para todo p, la función de demanda es
decreciente.
b) Hacemos el límite cuando p→∞, que es 30. La demanda tiende a 30.
c) La función de ingresos es: I(p)=p·D(p)=30p+10
d) La función beneficios es: B(p) = I(p)-C(p)=30p+10- p2/4. B(p) alcanza el máximo cuando B´(p)
=0 y B´´(p) < 0: esto se cumple en p=60.
EJERCICIO 4
Los beneficios, en cientos de miles de euros, estimados para una empresa durante los próximos 5
años, vienen dados por la función:
bt=t
2
−6/t4,0≤t≤5
siendo t el tiempo en años.
