te:
p £ A
~»
pe B. es
decir,
A C B
(1)
.
Demostración de BC A
Sea
p£ B).
Luego,
existe
y £R
tal
que p = b + ye » (a + xQc) + ye =
n
* (xQ • y)c £ A,
porque
Xq + y £R.
Hemos
demostrado
lo
siguiente:
p
£ » —>p £ A, es
decir,
B C A
(2).
Por
(1) y
(2),
se
deduce
que A = B.
2.-
a)
Encontrar
dos
conjuntos
no vacíos, A y B,
tales
que A £1 B y
A U B = B. (2
puntos)
b) Para
a,b £Q, A y B son
conjuntos
tales
que: B t i, A U B es
a
• 2b, b • 1} y
A
II
B s (a Mb, b M - 3«} •
Encontrar
A (1 8, (3
puntos)
SOLUCION:
a)
Es fácil
comprobar
que A U B = BC^A C B,
porque!
A C A U ! = B, es
decir,
ACB
(1);
y si A C B,
entonces
A U BC
B
U B, es
decir,
A U B C B
(i);
además B CA U B (ii)
(propiedad
universal);
por
(i)
y
(ii),
se
deduce
que A U B « B.
Por
lo
tanto,
lo que se
pide
es
hallar
dos
conjuntos
no vacíos,
A y B,
tales
que A £ B y ACB. Por
ejemplo,
«ean A
*{1,2ly
.
B
'«
{l,2,
{l,2}j=
(i,
2,A }
;
en
este caso,
k i 4, B i i, ACB y
ACB
(porque
1 C B y 2 C B).
No sólo es
posible
construir
un
ejemplo
como el
anterior;
en
reali^
dad,
hay muchos
otros ejemplos
del mismo
tipo,
tales
como los que
pueden
obtenerse
a
partir
de dos
objetos
diferentes
cualesquiera
a y b (a i b),
donde
A = {a,bJ y B
*{a,b,
{a,b}ys{a,b,A}.
b)
Como
B i
j>,
BCAUByAUBesun
conjunto
unitario,
entonces
B
es,
también, un
conjunto
unitario
y, por lo
tanto,
B » A U B,
dado
que
los únicos
subconjuntos
de un
conjunto
unitario
(tal
como A U B)
son
él mismo y el
conjunto
vacío. Análogamente, como A i ¿, A C A lí
B
y A U B es un
conjunto
unitario,
entonces
A es,
tambii-n,
un
con-
junto
unitario
y, por
consiguiente,
A - A U B. es deo .
i)|/>»i4b,b*l-3a}.
Luego,
a2 • 2b * b2 • 1
| .
la,
o
sea,
a2 • 2b = b2 • 1 (1), b2 • 1 »
ya
• kb * b • 1 - 3a
(3).
De <3) se
tiene
que
a,
3b « 1 - *»a, b = 1 ^ **aK).
Reemplazando
el va-
I.. Ido de ("O, en
(1),
se
tiene
que
• 1(1 - ka) • 1 - 8a + 16a2 • 9, 9a2 • 6 - 2Ha = 10 - 8a + 16a2,
-16
tVl62
- »(7)CO _ - 16 »Vl62 - 7(16)
" • °» a
2TT5
e 7771
16(16
-
7)'
- 16 •
hsfc
_ - 8 t
2(3)
_ - 8 -+ 6 _
" 7t7).
tVfT~
7 7
I
' 6
.
. - 2 2 ,
y 6 « - 2."
Puesto
que a £ (~2,- jj y {~2» -
y}c<5,
a sa
1
— Ua
nos
una de
las condiciones del problema.
Coeso
b » —I , en
b
«
1
- »(-2) , 1+2 , 3 6
7 8 15
|^ j — s
—j—-
n
j-
m
-j . Dado que la ecuación
(2)
también
debe
verificarse,
es
necesario coaprobar si los valores
de
a y b,
hallados anteriormente,
satisfacen
dicha
ecuación-
Luego,
(a,b)=
(-2,3)=>32 • 1 * - 2 • »(3)
(verdadera^
<a,b) = (- 2 ,
f)=>(f)2
• 1 • . \ • *Cy>. f| • 1 - ,
^ * íy.
(falso).
Por lo
tanto,
a * -2 y b «
3Finalmente, puesto
que A*AUByBsAUB,
entonces
A * B • {-2 •
»(3),
3*1-
-
3(-2)
\ • {-2 • 12, * • 6 }«
{lO.luJ
s {lo}
y,
por lo
tanto,
A
n B « B n
B
= {l0
} .
- ¿Cuáles de
las
siguientes
afirmaciones
son
verdaderas
o
falsas,
y
por
qué?
2
1
a)
Si A « {a£ R /
para
cualquier
x£ R : ax •» a «a
entonces
A° r 4 . (1
punto)
