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Integrales param´etricas e integrales dobles y triples.
Eleonora Catsigeras *
19 de julio de 2006
Notas para el curso de C´alculo II
de la Facultad de Ingenier´ıa.
PR ´OLOGO:
Este texto es complementario al libro de Burgos sobre funciones de varias variables (referencia [1] de la Bibliograf´ıa al final de este texto). Fue escrito para ser estudiado despu´es de los cap´ıtulos 1, 2 y 3 del libro de Burgos y antes de su cap´ıtulo 4.
Est´a dirigido a estudiantes universitarios de grado de las carreras de Ingenier´ıa que est´an cursando C´alculo II. Se supone conocidos el C´alculo Diferencial e Integral de funciones reales de una variable real (curso de C´alculo I) y el C´alculo Diferencial de funciones reales de varias variables (los primeros tres cap´ıtulos del libro de Burgos).
Los objetivos de este texto son:
Estudiar las integrales simples param´etricas (continuidad y derivabilidad respecto al par´ametro).
Introducir el tema de integrales dobles y triples, como integrales iteradas de funciones con- tinuas, antes de estudiar las mismas como integrales de Riemann.
Dar ejemplos resueltos de c´alculo de integrales dobles y triples, y del c´alculo de ´areas y vol´umenes.
El texto est´a dividido en seis secciones tem´aticas que no son independientes, sino que cada una presupone conocido el contenido de las anteriores. Para seguir el texto es imprescindible dibujar figuras. Pedimos disculpas por no incluir las figuras en estas notas.
*Instituto de Matem´atica y Estad´ıstica Rafael Laguardia (IMERL), Fac. Ingenieria. Universidad de la Rep´ublica. Uruguay. Address: Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay.
´Indice
- Pr´ologo.
- Integrales param´etricas.
- 1.1. Integrales param´etricas con l´ımites de integraci´on independientes.
- 1.2. Integrales param´etricas con l´ımites de integraci´on dependientes
- Integrales iteradas dobles.
- 2.1. Integrales iteradas en dominios simples respecto de x.
- 2.2. Intercambio del orden de integraci´on en dominios simples.
- 2.3. Integral doble en dominios descomponibles en simples.
- 2.4. C´alculo de ´areas y vol´umenes con integrales dobles.
- 2.5. Teorema del valor medio y desigualdad de Cauchy-Schwarz.
- Integrales iteradas triples y m´ultiples.
- 3.1. Integrales iteradas triples.
- 3.2. C´alculo de vol´umenes con integrales triples.
- 3.3. Propiedades.
- 3.4. Integrales m´ultiples.
- Cambio de variables en integrales dobles y triples.
- 4.1. Teorema de cambio de variables.
- 4.2. Ejemplos de cambio de variables. Coordenadas polares en el plano.
- 4.3. Coordenadas cil´ındricas en el espacio.
- 4.4. Coordenadas esf´ericas en el espacio.
- 4.5. Peso de un s´olido dada su densidad puntual.
- Integrales dobles de Riemann.
- 5.1. Sumas de Riemann.
- 5.2. Integral de Riemann de funciones acotadas.
- 5.3. Conjuntos de medida nula.
- 5.4. Teorema de Riemann-Lebesgue.
- 5.5. Teorema de Fubini.
- 5.6. Generalizaci´on para integrales m´ultiples.
- Integrales dobles impropias.
- 6.1. Integrales impropias convergentes y no convergentes.
- 6.2. Ejemplos.
- 6.3. Integrales impropias de funciones no negativas.
- 6.4. Integrales impropias absolutamente convergentes.
- Bibliograf´ıa.
Demostraci´on: Se ver´a junto a la demostraci´on del teorema 1.1.8.
1.1.5. L´ımites de integraci´on variables.
Sea como en el p´arrafo 1.1.1, el rect´angulo R = [a, b] × [c, d] y f (x, y) continua para todo (x, y) ∈ R. Sean dadas dos variables reales independientes φ, ψ ambas tomando valores en el intervalo [ ∫c, d ]. Para cada valor fijo de la terna (x, φ, ψ) ∈ [a, b] × [c, d] × [c, d] consideremos la integral ψ φ f^ (x, y)^ dy, integrando respecto de^ y, como funci´on de una sola variable^ y^ (con^ x^ constante). Esta integral es un n´umero real, que depende del valor constante x que se haya elegido en [a, b], y que depende tambi´en de los valores φ y ψ dados a los l´ımites de integraci´on^1 dentro del intervalo [c, d]. Llam´emosle H(x, φ, ψ), y definamos:
Definici´on 1.1.6. Integral param´etrica con l´ımites de integraci´on variables. Dada f (x, y) continua ∀ (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], y dados valores reales φ y ψ en el intervalo [c, d], la integral respecto de y (tomando, mientras se integra respecto de y, un valor constante para x en el intervalo [a, b]), con l´ımites de integraci´on φ y ψ es:
H(x, φ, ψ) =
∫ (^) ψ
φ
f (x, y) dy
y se llama Integral param´etrica de par´ametro x y l´ımites de integraci´on φ y ψ.
Ejemplo 1.1.7. Sea f (x, y) = 3(x + y)^2 ∀ (x, y) ∈ [a, b] × [c, d]. La integral param´etrica de f respecto de y con l´ımites de integraci´on φ, ψ y con par´ametro x, es, aplicando la f´ormula (1) del ejemplo 1.1.3:
H(x, φ, ψ) =
∫ (^) ψ
φ
3(x + y)^2 dy = 3x^2 (ψ − φ) + 3x(ψ^2 − φ^2 ) + (ψ^3 − φ^3 ) (2)
Teorema 1.1.8. Continuidad y derivabilidad de la integral param´etrica con l´ımites de integraci´on variables. Sea f (x, y) continua ∀ (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], y sea la integral param´etrica
H(x, φ, ψ) =
∫ (^) ψ
φ
f (x, y) dy ∀ (x, φ, ψ) ∈ [a, b] × [c, d] × [c, d]
Se cumple: a) H(x, φ, ψ) es una funci´on continua ∀ (x, φ, ψ) ∈ [a, b] × [c, d] × [c, d]. b) Las derivadas parciales de H(x, φ, ψ) respecto de φ y ψ, existen y son continuas para todo (x, φ, ψ) ∈ [a, b] × (c, d) × (c, d), y verifican las siguientes igualdades:
∂H(x, φ, ψ) ∂ψ
= f (x, ψ)
∂H(x, φ, ψ) ∂φ = −f (x, φ)
(^1) No es necesario que se cumpla φ ≤ ψ.
c) Si adem´as la derivada parcial ∂f (x, y)/∂x existe y es continua en (a, b) × [c, d], entonces la derivada parcial de H(x, φ, ψ) respecto de x, existe y es continua para todo (x, φ, ψ) ∈ (a, b) × [c, d] × [c, d] y verifica la siguiente igualdad:
∂H(x, φ, ψ) ∂x
∫ (^) ψ
φ
∂f (x, y) ∂x dy
d) En las hip´otesis de la parte c), la funci´on H(x, φ, ψ) es diferenciable ∀ (x, φ, ψ) ∈ (a, b) × (c, d) × (c, d).
Demostraci´on de los teoremas 1.1.4 y 1.1.8: Observemos primero que el teorema 1.1.4 se obtiene de aplicar las partes a) y c) del teorema 1.1.8, usando φ = c, ψ = d, como caso particular.
Prueba de la parte a) del teorema 1.1.8: Probaremos que H es uniformemente continua en su dominio, que es el conjunto M = [a, b] × [c, d] × [c, d]. Por la definici´on de continuidad uniforme, dado > 0 habr´a que probar que existe δ > 0 tal que (x, φ, ψ) ∈ M, (x 0 , φ 0 , ψ 0 ) ∈ M, ||(x, φ, ψ) − (x 0 , φ 0 , ψ 0 )|| < δ ⇒ ⇒ |H(x, φ, ψ) − H(x 0 , φ 0 , ψ 0 )| < (a probar) (1) Tomemos un valor de ∗^ > 0, cuya elecci´on se especificar´a despu´es. Por ser f (x, y) continua en el rect´angulo compacto R = [a, b] × [c, d], es uniformemente com- pacto en R. Luego, existe δ 1 > 0 tal que
(x, y) ∈ R, (x 0 , y) ∈ R, ||(x, y) − (x 0 , y)|| = |x − x 0 | < δ 1 ⇒ |f (x, y) − f (x 0 , y)| < ∗^ (2)
Acotemos ahora H(x, φ, ψ) − H(x 0 , φ, ψ):
|H(x, φ, ψ) − H(x 0 , φ, ψ)| =
∫ (^) ψ
φ
f (x, y) − f (x 0 , y) dy
∫ (^) ψ
φ
|f (x, y) − f (x 0 , y)| dy
Sustituyendo (2) en (3) se obtiene:
|x − x 0 | < δ 1 ⇒ |H(x, φ, ψ) − H(x 0 , φ, ψ)| ≤
∫ (^) ψ
φ
∗^ dy
∣ =^
∗ (^) · |ψ − φ| (4)
Siendo ψ y φ reales del intervalo [c, d], se cumple |ψ − φ| ≤ (d − c), y por lo tanto de (4) se deduce:
|x − x 0 | < δ 1 ⇒ |H(x, φ, ψ) − H(x 0 , φ, ψ)| ≤ ∗^ · (d − c) (5)
Por otro lado, llamando M al m´aximo de |f (x, y)| en el rect´angulo compacto R (tal M existe porque por hip´otesis f es una funci´on continua en el compacto R), se obtiene:
|H(x 0 , φ, ψ) − H(x 0 , φ 0 , ψ 0 )| =
∫ (^) ψ
φ
f (x 0 , y) dy −
∫ (^) ψ 0
φ 0
f (x 0 , y) dy
∫ (^) φ 0
φ
f (x 0 , y) dy +
∫ (^) ψ
ψ 0
f (x 0 , y) dy
∣∣ ≤ M · |φ − φ 0 | + M · |ψ − ψ 0 | (6)
Sea ahora, para x ∈ [a, b] fijo, y para ψ ∈ [c, d] tambi´en fijo, la funci´on:
G(Y ) =
∫ (^) ψ
Y
f (x, y) dy = −
∫ Y
ψ
f (x, y) dy =
G(Y ) =
∫ Y
ψ
−f (x, y) dy
donde el extremo de integraci´on Y es variable en el intervalo (c, d). Por el teorema fundamental del c´alculo integral en una variable real y, se sabe que G(Y ) es una primitiva de −f (x, Y ) respecto de la variable Y. (Recordar que aqu´ı x es una constante.) Es decir, G(Y ) es derivable respecto de Y , y su derivada es
G′(Y ) = −f (x, Y ) ∀ Y ∈ (c, d) (11)
Observemos que, por construcci´on de la funci´on H(x, φ, ψ), se cumple lo siguiente:
G(Y ) = H(x, Y, ψ) ∀ Y ∈ (c, d) ⇒ G′(Y ) =
∂H(x, Y, ψ) ∂Y ∀ Y ∈ (c, d) (12)
Por lo tanto, reuniendo (11) y (12), y usando Y = φ se obtiene:
∂H(x, φ, ψ) ∂φ
= −f (x, ψ) ∀ (x, φ, ψ) ∈ [a, b] × (c, d) × [c, d]
Esta ´ultima es la segunda de las igualdades que quer´ıamos probar. La igualdad anterior implica que existe la derivada parcial de H respecto de φ y es continua, porque f es por hip´otesis una funci´on continua.
Prueba de la parte c) del teorema 1.1.8: Basta demostrar que para todo x 0 ∈ (a, b) fijo, y para todo (φ, ψ) ∈ [c, d] × [c, d] fijos, se cumple:
xl´→ımx 0
H(x, φ, ψ) − H(x 0 , φ, ψ) x − x 0
∫ (^) ψ
φ
∂f (x, y) ∂x
x=x 0
dy (13)
En efecto, si probamos la igualdad (13), por definici´on de derivada parcial como l´ımite de cociente incremental, deducimos que existe la derivada parcial ∂H/∂x de H respecto de x, en x = x 0 ; y que cumple la igualdad de la tesis c) que quer´ıamos probar. Adem´as, como es ∂H/∂x igual a la integral param´etrica de una funci´on continua (en este caso ∂f (x, y)/∂x, entonces, por la parte a) ya probada, es ∂H/∂x continua.
Ahora probemos (13). Sabiendo que H(x, φψ) =
∫ (^) ψ φ f^ (x, y)^ dy, sustituyendo en (13) deducimos que basta probar lo siguiente: Dado > 0 probar que existe δ > 0 tal que:
|x − x 0 | < δ ⇒
∫ (^) ψ φ (f^ (x, y)^ −^ f^ (x^0 , y))^ dy x − x 0
∫ (^) ψ
φ
∂f (x, y) ∂x
x=x 0
dy
< (a probar) (14)
En efecto: ∣∣ ∣∣ ∣
∫ (^) ψ φ (f^ (x, y)^ −^ f^ (x^0 , y))^ dy x − x 0
∫ (^) ψ
φ
∂f (x 0 , y) ∂x dy
∫ (^) ψ
φ
∣∣^ f^ (x, y)^ −^ f^ (x^0 , y) x − x 0
∂f (x 0 , y) ∂x
∣∣ dy (15)
Por el teorema del valor medio del c´alculo diferencial para funciones de dos variables, existe un punto intermedio ξ entre x 0 y x tal que:
f (x, y) − f (x 0 , y) x − x 0
∂f (ξ, y) ∂x , ξ = x 0 + t(x − x 0 ), t ∈ [0, 1]
Luego, sustituyendo en el segundo miembro de la desigualdad (15):
∣∣ ∣ ∣∣
∫ (^) ψ φ (f^ (x, y)^ −^ f^ (x^0 , y))^ dy x − x 0
∫ (^) ψ
φ
∂f (x 0 , y) ∂x dy
∫ (^) ψ
φ
∣∣^ ∂f^ (ξ, y) ∂x
∂f (x 0 , y) ∂x
∣∣ dy, ξ = x 0 + t(x − x 0 ), t ∈ [0, 1] (16)
Tomemos un intervalo cerrado [a′, b′] , tal que x 0 ∈ [a′, b′] ⊂ (a, b). Como por hip´otesis la funci´on ∂f (x, y)/∂x es continua en el compacto R′^ = [a′, b′] × [c, d], es uniformemente continua en ´el. Por lo tanto, para todo ∗^ > 0 existe δ > 0 (independiente de x, y), tal que:
(ξ, y) ∈ R′, (x 0 , y) ∈ R′, |ξ − x 0 | < δ ⇒
∂f (ξ, y) ∂x
∂f (x 0 , y) ∂x
Si elegimos x tal que |x − x 0 | < δ, entonces para ξ = x 0 + t(x − x 0 ), t ∈ [0, 1], se cumple:
|x − x 0 | < δ; ⇒ |ξ − x 0 | = |t(x − x 0 )| = |t||x − x 0 | < 1 · δ = δ
Por lo tanto se puede aplicar (17). Sustituyendo (17) en el segundo miembro de la desigualdad (16), se deduce: |x − x 0 | < δ ⇒ ∣ ∣∣ ∣∣
∫ (^) ψ φ (f^ (x, y)^ −^ f^ (x^0 , y))^ dy x − x 0
∫ (^) ψ
φ
∂f (x 0 , y) ∂x
dy
∫ (^) ψ
φ
∗^ dy ≤ ∗|ψ − φ| ≤ ∗^ · (d − c) < (18)
Al final de la desigualdad (18) se us´o que φ y ψ est´an en el intervalo [c, d], y por lo tanto distan menos que la longitud d − c de ese intervalo. Tambi´en se eligi´o, dado > 0, un valor de ∗^ > 0 menor que /(d − c). Se observa que la afirmaci´on (18) es la misma (14) que quer´ıamos probar.
Prueba de la parte d) del teorema 1.1.8: Seg´un lo probado en las partes b) y c) las tres derivadas parciales de H existen y son continuas para todo (x, φ, ψ) ∈ (a, b) × (c, d) × (c, d). Si una funci´on real de tres variables tiene sus tres derivadas parciales continuas en un abierto, entonces es diferenciable en todos los puntos de ese abierto. Por lo tanto H es diferenciable en (a, b) × (c, d) × (c, d), como quer´ıamos demostrar.
Para cada valor fijo de x ∈ [a, b] tomemos la terna (x, φ(x), ψ(x)) ∈ [a, b] × [c, d] × [c, d] Ahora no son las tres variables (x, φ, ψ) independientes entre s´ı, sino que las dos ´ultimas dependen de la primera. Consideremos la integral
∫ (^) ψ(x) φ(x) f^ (x, y)^ dy, integrando respecto de^ y, como funci´on de una sola variable y (con x constante). Esta integral es un n´umero real. Llam´emosle F (x), y definamos:
Definici´on 1.2.1. Integral param´etrica con l´ımites de integraci´on variables dependien- tes del par´ametro. Sean dadas dos funciones continuas^2 φ = φ(x) y ψ = ψ(x) del intervalo [a,b] al intervalo [c, d], y sea dada f (x, y) continua ∀ (x, y) ∈ D = {x ∈ [a, b], y ∈ I(x)}, donde I(x) es el segmento vertical de extremos (x, φ(x)), (x, ψ(x)). Consideremos la integral de f (x, y) respecto de y (tomando, mientras se integra respecto de y, un valor constante para x en el intervalo [a, b]), con l´ımites de integraci´on φ(x) y ψ(x):
F (x) = H(x, φ(x), ψ(x)) =
∫ (^) ψ(x)
φ(x)
f (x, y) dy
A F (x), definida por la f´ormula anterior, se le llama integral param´etrica de par´ametro x y l´ımites de integraci´on φ(x) y ψ(x). (Observaci´on: En esta definici´on, la funci´on H es la definida en 1.1.6.) Observaci´on: Un caso particular es cuando las funciones φ y ψ son constantes φ(x) = c, ψ(x) = d para todo x ∈ [a, b]. En ese caso la funci´on F (x) definida en 1.2.1 coincide con la funci´on F (x) definida en 1.1.2.
Ejemplo 1.2.2. Sea f (x, y) = 3(x + y)^2 ∀ (x, y) ∈ [a, b] × [c, d]. La integral param´etrica de f respecto de y con l´ımites de integraci´on φ = 2x, ψ = x^3 es, aplicando la f´ormula (2) del ejemplo 1.1.7:
F (x) =
∫ (^) x 3
2 x
3(x + y)^2 dy = 3x^2 (x^3 − 2 x) + 3x(x^6 − 4 x^2 ) + (x^9 − 8 x^3 ) = x^9 + 3x^7 + 3x^5 − 26 x^3 (6)
Teorema 1.2.3. Continuidad y derivabilidad de la integral param´etrica con l´ımites de integraci´on dependientes del par´ametro. Sean dadas dos funciones continuas φ = φ(x) y ψ = ψ(x) del intervalo [a, b] al intervalo [c, d], y sea dada f (x, y) continua ∀ (x, y) ∈ D = {x ∈ [a, b], y ∈ I(x)}, donde I(x) es el segmento vertical de extremos (x, φ(x)), (x, ψ(x)). Sea la integral param´etrica
F (x) = H(x, φ(x), ψ(x)) =
∫ (^) ψ(x)
φ(x)
f (x, y) dy ∀ x ∈ [a, b]
Se cumple: a) F (x) es una funci´on continua ∀ x ∈ [a, b]. b) Si adem´as la derivada parcial ∂f (x, y)/∂x existe y es continua^3 en D, y las derivadas φ ′(x) y ψ′(x) existen y son continuas^4 en [a, b]; entonces F (x) es derivable ∀ x ∈ (a, b), su derivada
(^2) No es necesario que φ(x) ≤ ψ(x) (^3) Quiere decir que existe en el interior de D y tiene una extensi´on continua al borde de D (^4) Quiere decir que existen en el interior del intervalo [a,b] y que tienen extensiones continuas a los extremos de ese intervalo.
F ′(x) es continua y verifica la siguiente igualdad:
F ′(x) =
∫ (^) ψ(x)
φ(x)
∂f (x, y) ∂x dy + f (x, ψ(x))ψ ′(x) − f (x, φ(x))φ ′(x)
Demostraci´on: La funci´on F (x) es la composici´on siguiente:
F (x) = H(x, φ(x), ψ(x)) ∀ x ∈ [a, b]
donde H(x, φ, ψ) es la funci´on definida en el teorema 1.1.8. Por el resultado de la parte d) del teorema 1.1.8, la funci´on H es diferenciable, con derivadas parciales continuas, y por hip´otesis φ(x) y ψ(x) tambi´en lo son. Luego, por la regla de la cadena F ′(x) existe, es continua y cumple:
F ′(x) =
∂H
∂x
∂H
∂φ
φ′(x) +
∂H
∂ψ
ψ′(x) (1)
Usando las f´ormulas de las partes b) y c) del teorema 1.1.8, se tiene:
∂H ∂φ = −f (x, φ),
∂H
∂ψ = f (x, ψ)
Sustituyendo en (1) se concluye la tesis del teorema.
Ejemplo 1.2.4. Hallar la derivada de la siguiente funci´on F (x) (sin hallar la funci´on F (x)):
F (x) =
∫ (^) x 3
2 x
3(x + y)^2 dy
Llamando
H(x, φ, ψ) =
∫ (^) ψ
φ
3(x + y)^2 dx
se cumple, para φ = x y para ψ = x^2 la siguiente igualdad:
F (x) = H(x, 2 x, x^3 )
Por la regla de la cadena (llamando Hx, Hφ, Hψ a las tres derivadas parciales de H respecto de x, de φ y de ψ respectivamente):
F ′(x) = Hx + Hφφ′(x) + Hψψ′(x) = Hx + 2Hφ + 3x^2 Hψ (7)
Usando las igualdades al final de la parte b) del teorema 1.1.8 se encuentran los resultados (3) y (4) del ejemplo 1.1.9:
Hx = 6x(ψ − φ) + 3(ψ^2 − φ^2 ), Hψ = 3(x + ψ)^2 , Hφ = −3(x + φ)^2 (8)
Sustituyendo (8) en (7), y recordando que φ = 2x, ψ = x^3 , resulta:
F ′(x) = 9x^8 + 21x^6 + 15x^4 − 78 x^2.
Veamos que D es un dominio simple respecto de x; es decir, hallaremos el intervalo [a, b] en el eje de las abscisas y las funciones y = φ(x), e y = ψ(x), bordes inferior y superior de D respectivamente, tales que:
D = {(x, y) ∈ R^2 : a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}
Se recorre D con bastones verticales, que son los segmentos que se obtienen de intersectar D con la recta x constante. Esta constante, como se ve haciendo la figura, toma como m´ınimo el valor 0 y como m´aximo el valor 1. Entonces el intervalo [a, b] es el intervalo [0, 1]. El borde de abajo del tri´angulo D es el eje de las x, que es la gr´afica de la funci´on y = 0. Es decir, la funci´on y = φ(x) es φ(x) = 0 para todo x ∈ [0, 1]. El borde de arriba del tri´angulo es la recta de ecuaci´on y = x (que es la recta AC, que contiene a la hipotenusa del tri´angulo). Es decir, la funci´on y = ψ(x) es ψ(x) = x para todo x ∈ [0, 1]. Por lo tanto, D se puede escribir como el dominio simple respecto de x, que tiene la siguiente caracterizaci´on: D = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x}
Por lo tanto la integral pedida es:
I =
D
xy dxdy =
0
dx
∫ (^) x
0
xy dy =
Calculemos la integral doble comenzando por la integral de la extrema derecha, respecto de y, con x constante:
I =
0
dx
∫ (^) x
0
xy dy =
0
x ·
y^2 2
y=x
y=
dx =
0
x^3 2
dx =
x^4 4
x=
x=
Ejemplo 2.1.4. Calcular
Q 4 x
(^3) + 8xy + 6y (^2) dxdy en el cuadril´atero Q del plano x, y que tiene
v´ertices A = (0, 0), B = (1, −1), C = (2, 1), D = (1, 3).
Primero dibujemos el cuadril´atero en el plano x, y, tomando x en el eje de abscisas horizontal, e y en el eje de ordenadas vertical. Observamos que x var´ıa entre un m´ınimo x = 0 y un m´aximo x = 2 en el eje de abscisas. El intervalo [a, b], proyecci´on vertical sobre el eje horizontal del cuadril´atero Q = ABCD es: [a, b] = [0, 2]. Para cada valor de x fijo en [0, 2] consideremos los bastones verticales de extremos φ(x) ≤ ψ(x). Estos bastones son la intersecci´on del cuadril´atero Q (incluido su interior), con la recta vertical x constante. Entonces, las gr´aficas de las funciones y = φ(x) e y = ψ(x), son, para cada x constante, los dos puntos de intersecci´on del borde inferior de Q, y superior de Q respectivamente, con la recta vertical x constante. Encontremos estas funciones φ(x) y ψ(x): Cuando 0 ≤ x ≤ 1, la funci´on y = φ(x) es la ecuaci´on del segmento de recta AB; y cuando 1 ≤ x ≤ 2 la funci´on y = φ(x) es la ecuaci´on del segmento de recta BC. Ambos segmentos de rectas forman el borde del cuadril´atero Q por abajo. Esto es:
φ(x) : y = −x si 0 ≤ x ≤ 1 (1)
φ(x) : y = 2x − 3 si 1 ≤ x ≤ 2 (2)
Para encontrar la ecuaci´on del segmento de recta no vertical P Q donde P = (xP , yP ) y S = (xS , yS ), se us´o la f´ormula de la ecuaci´on de una recta, restringida al intervalo de abscisas donde se proyecta el segmento; es decir: y = yS + y xPP^ −−yxSS · (x − xS ). Las f´ormulas (1) y (2) son las que corresponden a una ´unica funci´on φ(x), definida en el intervalo [0, 2] de la variable independiente x. Esto es porque (1) vale en el intervalo [0, 1], y (2) en [1,2]. Ambas son tales que en la intersecci´on de los dos intervalos, (que es x = 1), dan el mismo punto x = 1, y = −1 (que es el v´ertice B = (1, −1) del cuadril´atero Q). Por lo tanto la funci´on φ(x), dada por las ecuaciones (1) y (2), est´a bien definida, y adem´as es continua en su dominio [0, 2]. Ahora, para 0 ≤ x ≤ 1, busquemos la(s) f´ormula(s) de la funci´on y = ψ(x). Su gr´afica son los segmentos de recta AD y DC, que forman el borde del cuadril´atero Q por arriba. Esto es:
ψ(x) : y = 3x si 0 ≤ x ≤ 1 (3)
ψ(x) : y = − 2 x + 5 si 1 ≤ x ≤ 2 (4)
Las f´ormulas (3) y (4) son las que corresponden a una ´unica funci´on ψ(x), definida en el intervalo [0, 2] de la variable independiente x. La f´ormula (1) vale en el intervalo [0, 1], y la f´ormula (2) en [1,2]. Son tales que en la intersecci´on de ambos intervalos, (que es x = 1), ambas dan el mismo punto x = 1, y = 3 (que es el v´ertice D = (1, 3) del cuadril´atero). Por lo tanto la funci´on ψ(x), dada por las ecuaciones (1) y (2), est´a bien definida, y adem´as es continua en su dominio [0, 2].
Calculemos ahora la integral pedida:
I =
Q
(4x^3 + 8xy + 6y^2 ) dxdy =
0
dx
∫ (^) ψ(x)
φ(x)
(4x^3 + 8xy + 6y^2 ) dy (5)
Para poder sustituir las f´ormulas (1), (2), (3) y (4), de φ(x) y ψ(x), en la igualdad (5), hay que separar el intervalo de integraci´on [0, 2] de las x, en dos partes, escribiendo la integral en [0, 2] respecto de x (que es la ´ultima a calcularse), como la suma de la integral en [0, 1] m´as la integral en [1, 2]:
I =
0
dx
∫ (^) ψ(x)
φ(x)
(4x^3 + 8xy + 6y^2 ) dy +
1
dx
∫ (^) ψ(x)
φ(x)
(4x^3 + 8xy + 6y^2 ) dy (6)
Ahora calculemos cada una de las integrales dobles en el segundo miembro de (6):
I 1 =
0
dx
∫ (^) ψ(x)
φ(x)
(4x^3 + 8xy + 6y^2 ) dy =
I 1 =
0
dx
∫ (^3) x
−x
(4x^3 + 8xy + 6y^2 ) dy =
0
4 x^3 y + 4xy^2 + 2y^3
∣y=3x y=−x
dx =
I 1 =
0
(12x^4 + 36x^3 + 54x^3 ) − (− 4 x^4 + 4x^3 − 2 x^3 ) dx =
I 1 =
0
(16x^4 + 88x^3 ) dx = 16 x^5 5
88 x^4 4
x=
x=
Por lo tanto se deduce la propiedad siguiente:
- Acotaci´on en valor absoluto: Si f es continua en el dominio D y si K es una cota superior de |f | en D, entonces: ∣ ∣ ∣∣
D
f (x, y) dxdy
D
|f (x, y)| dxdy ≤ K
D
dx dy
2.1.6. Integral doble iterada como l´ımite iterado de sumas de Riemann.
Consideremos una partici´on del intervalo [a, b] en el eje de las x en n subintervalos: a = x 0 < x 1 < x 2 <... < xi− 1 < xi <... < xn− 1 < xn = b, con longitudes ∆xi = xi − xi− 1. Llamemos ∆x = m´ax ∆xi : 1 ≤ i ≤ n (Por ejemplo puede considerarse la partici´on de [a, b] en n subintervalos iguales todos de longitud ∆x = (b − a)/n.) H´agase un dibujo. Tomemos xi un punto cualquiera en el subintervalo [xi− 1 , xi] de la partici´on, para cada i = 1 , 2 ,... , n. Siendo F (x) la funci´on definida en (2), apliquemos la definici´on de integral de Riemann de F (x) respecto a x ∈ [a, b], como l´ımite de las sumas de Riemann en particiones del intervalo [a, b] cuando ∆x → 0 (del curso de C´alculo 1). Se obtiene:
∫ ∫
D
f (x, y)dxdy =
∫ (^) b
a
dx
∫ (^) ψ(x)
φ(x)
f (x, y) dy =
∫ (^) b
a
F (x) dx =
= l´ım ∆x→ 0
∑^ n
i=
F (xi)∆xi = l´ım ∆x→ 0
∑^ n
i=
ψ(xi) φ(xi)
f (xi, y) dy
∆xi (3)
Ahora, para cada xi fijo constante, apliquemos la definici´on de integral de Riemann de f (xi, y) integrando respecto de y ∈ [φ(xi), ψ(xi)]. Consideremos, por convenci´on: f (x, y) = 0 si (x, y) 6 ∈ D; es decir, consideramos fuera del dominio D una extensi´on (no continua) de la funci´on f tom´andola igual a cero en los puntos que no est´an en D. Integremos esta funci´on extendida f (x, y) respecto de y ∈ [c, d] con x fijo constante. Se observa que la funci´on f (x, y) para x fijo, resulta ser continua a trozos en el intervalo [c, d]]; siendo nula para y fuera del intervalo [φ(x), ψ(x)] y continua dentro de ese intervalo. Entonces es integrable Riemann en el intervalo [c, d]. Se obtiene: ∫ (^) d
c
f (x, y) =
∫ (^) φ(x)
c
0 dy +
∫ (^) ψ(x)
φ(x)
f (x, y) dy +
∫ (^) d
ψ(x)
0 dy =
∫ (^) ψ(x)
φ(x)
f (x, y) dy (4)
Para cada xi fijo constante, apliquemos la definici´on de integral de Riemann de f (xi, y) inte- grando respecto de y ∈ [φ(xi), ψ(xi)] y usando (4), resulta:
∫ (^) ψ(xi)
φ(xi)
f (xi, y) dy = l´ım ∆y→ 0
∑^ m
j=
f (xi, yj ) ∆yj (5)
donde consideramos particiones del intervalo [c, d] en el eje de las y en m subintervalos: c = y 0 < y 1 < y 2 <... < yj− 1 < yj <... < ym− 1 < ym = d, con longitudes ∆yj = yj − yj− 1.
Llamamos ∆y = m´ax ∆yj : 1 ≤ j ≤ m. (Por ejemplo puede considerarse la partici´on de [c, d] en m subintervalos iguales todos de longitud ∆y = (d − c)/m.) Tomamos yj un punto cualquiera en el subintervalo [yj− 1 , yj ] de la partici´on, para cada j = 1, 2 ,... , m. Sustituyendo (5) en (3) se deduce la siguiente proposici´on:
Proposici´on 2.1.7. Integral doble iterada como l´ımite iterado de sumas de Riemann. Sea f (x, y) es continua en el dominio D = {a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} ⊂ [a, b] × [c, d] (siendo D simple respecto de x seg´un la definici´on 2.1.1). La integral iterada doble (definida en 2.1.2) cumple: ∫ ∫
D
f (x, y)dxdy =
∫ (^) b
a
dx
∫ (^) ψ(x)
φ(x)
f (x, y) dy = l´ım ∆x→ 0 l´ım ∆y→ 0
∑^ n
i=
∑^ m
j=
f (xi, yj ) ∆xi ∆yj
donde se conviene en definir f (x, y) = 0 si (x, y) 6 ∈ D; donde xi, yj ∈ Ri,j siendo Ri,j = [xi− 1 , xi] × [yj− 1 , yj ], que resulta de tomar particiones:
a = x 0 < x 1 <... < xi− 1 < xi <... xn = b, c = y 0 < y 1 <... < yj− 1 < yi <... ym = d
de los intervalos [a, b] y [c, d] respectivamente; y donde
∆xi = xi − xi− 1 , ∆yj = yj − yj− 1 , ∆x = m´ax{∆xi, 1 ≤ i ≤ n}, ∆y = m´ax{∆yj , 1 ≤ j ≤ m}
Demostraci´on: Est´a expuesta en el p´arrafo 2.1.6. Para deducir la tesis de la proposici´on se debe sustituir la igualdad (5) en la igualdad (3), y luego usar que el l´ımite de una sumatoria finita es igual a la suma de los l´ımites.
2.2. Intercambio del orden de integraci´on en dominios simples.
2.2.1. Integrales iteradas en dominios simples respecto de y.
En la subsecci´on 2.1, definimos la integral doble iterada en un dominio simple respecto de x, integrando f (x, y) primero respecto de y con x constante, e y variando en el intervalo [φ(x), ψ(x)]; y luego al resultado obtenido, que depend´ıa del valor constante x elegido, integr´andolo respecto de x en el intervalo [a, b]. (Ver definici´on 2.1.2.) Se puede intercambiar los roles de las variables x e y, en toda la exposici´on de la subsecci´on 2.1. En efecto: Sea D = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, η(y) ≤ x ≤ ξ(y)} ⊂ [a, b] × [c, d] (1)
donde η y ξ son dos funciones continuas del intervalo [c, d] al intervalo [a, b] tales que η(y) ≤ ξ(y) para todo y ∈ [c, d]. Hacer una figura del siguiente modo: en el plano x, y con x en abscisas (eje horizontal) e y en ordenadas (eje vertical), dibujar el rect´angulo [a, b] × [c, d] = {a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}. Dibujar, dentro de ese rect´angulo, las curvas gr´aficas de las funciones x = η(y), x = ξ(y) tomando como variable independiente y ∈ [c, d] en el eje vertical y como variable dependiente x en el eje horizontal. Dibujarlas considerando que a ≤ η(x) ≤ ξ(y) ≤ b. El dominio D es la regi´on que queda entre ambas gr´aficas, y que se proyecta sobre el eje vertical en el intervalo [c, d]. Se obtiene D barriendo con “bastones”horizontales (segmentos de rectas horizantales) I(y) contenidos en la recta y constante, de extremo izquierdo (η(y), y) y extremo derecho (ξ(y), y).
La integral iterada doble (definida en 2.2.3) cumple: ∫ ∫
D
f (x, y)dxdy =
∫ (^) d
c
dy
∫ (^) ξ(y)
η(y)
f (x, y) dx = l´ım ∆y→ 0 l´ım ∆x→ 0
∑^ n
i=
∑^ m
j=
f (xi, yj ) ∆xi ∆yj
donde se conviene en definir f (x, y) = 0 si (x, y) 6 ∈ D; donde xi, yj ∈ Ri,j siendo Ri,j = [xi− 1 , xi] × [yj− 1 , yj ], que resulta de tomar particiones:
a = x 0 < x 1 <... < xi− 1 < xi <... xn = b, c = y 0 < y 1 <... < yj− 1 < yi <... ym = d
de los intervalos [a, b] y [c, d] respectivamente; y donde
∆xi = xi − xi− 1 , ∆yj = yj − yj− 1 , ∆x = m´ax{∆xi, 1 ≤ i ≤ n}, ∆y = m´ax{∆yj , 1 ≤ j ≤ m}
Demostraci´on: Es la misma que la de la proposici´on 2.1.7, intercambiando los roles de x e y entre s´ı, y observando que ∆xi∆yj = ∆yj ∆xi, debido a la propiedad conmutativa del producto de n´umeros reales, y que
∑n i=
∑m j=1 Ai,j^ =^
∑m j=
∑n i=1 Ai,j^ , debido a la propiedad conmutativa de la suma de n´umeros reales.
Nota 2.2.6. Llamando σ a la suma de Riemann:
σ =
∑^ n
i=
∑^ m
j=
f (xi, yj ) ∆xi ∆yj
apliquemos las proposiciones 2.1.7 y 2.2.5, cuando el mismo dominio D es un dominio simple respecto de x y respecto de y a la vez.
Por las proposiciones 2.1.7 y 2.2.5 sabemos que las integrales dobles iteradas
D f^ (x, y)^ dxdy y
D f^ (x, y)^ dxdy^ son iguales a los l´ımites l´ım∆x→^0 l´ım∆y→^0 σ^ y l´ım∆y→^0 l´ım∆x→^0 σ^ respectiva- mente. A priori no se puede deducir que esos l´ımites iterados sean iguales, ya que el primero de ellos toma antes ∆y → 0, con ∆x constante^7 y luego ∆x → 0; y el segundo de ellos los toma alrev´es. Falta ver que se puede intercambiar el orden en que se toman esos l´ımites, para demostrar que las dos integrales dobles iteradas toman el mismo valor.
Ejemplo 2.2.7. Calcular,
D xy dxdy^ en el tri´angulo^ D^ del plano^ x, y^ que tiene v´ertices
A = (0, 0), B = (1, 0), C = (1, 1)
tomando D como dominio simple respecto de y. Comparar con la integral que se calcul´o, tomando D como dominio simple respecto de x, en el ejemplo 2.1.3.
Dibujemos de nuevo el tri´angulo D. Es un tri´angulo rect´angulo. (^7) No solo ∆x es constante (mientras se calcula el l´ım∆y→ 0 σ), sino tambi´en es constante la partici´on {xi}i=0, 1 ,...,n del intervalo [a, b], y la elecci´on de los puntos intermedios xi ∈ [xi− 1 , xi].
Veamos que D es un dominio simple respecto de y; es decir, hallaremos el intervalo [c, d] en el eje de las ordenadas y las funciones x = η(y), y x = ξ(y), bordes izquierdo y derecho de D respectivamente, tales que:
D = {(x, y) ∈ R^2 : c ≤ y ≤ d, η(y) ≤ x ≤ ξ(y)}
Se recorre D con bastones horizontales, que son los segmentos que se obtienen de intersectar D con las rectas y constante. Esta constante, como se ve haciendo la figura, toma como m´ınimo el valor 0 y como m´aximo el valor 1. Entonces el intervalo [c, d] es el intervalo [0, 1]. El borde izquierdo del tri´angulo D es la recta x = y (que es la recta AC, que contiene a la hipotenusa del tri´angulo). Es decir, la funci´on x = η(y) es η(y) = y para todo y ∈ [0, 1]. El borde derecho del tri´angulo es la recta de ecuaci´on x = 1, que es la gr´afica de la funci´on x = 1. Es decir, la funci´on x = ξ(y) es ξ(y) = 1 para todo y ∈ [0, 1]. Por lo tanto, D se puede escribir como el dominio simple respecto de y, que tiene la siguiente caracterizaci´on: D = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ 1 }
Por lo tanto la integral pedida es:
I =
D
xy dxdy =
0
dy
y
xy dx =
Calculemos la integral doble comenzando por la integral de la extrema derecha, respecto de y, con x constante:
I =
0
dy
y
xy dx =
0
y ·
x^2 2
x=
x=y
dy =
0
y 2
y^3 2
dy =
y^2 2
y^4 4
y=
y=
Nota 2.2.8. Se obtuvo en el ejercicio 2.2.7, el mismo resultado que en el ejemplo 2.1.3. Esto se debe al teorema de Fubini que veremos pr´oximamente (teorema 2.2.12):
Las integrales iteradas dobles dan el mismo resultado si se intercambia el orden de integraci´on de las variables x e y entre s´ı, cuando el dominio D es simple respecto de x y simple respecto de y a la vez.
Hay que tener cuidado en lo siguiente: Cuando se intercambia el orden de integraci´on de las variables, suelen cambiar totalmente las funciones (φ(x), ψ(x), η(y), ξ(y)) y las constantes (a, b, c, d), que deben aparecer como l´ımites de integraci´on en cada variable. Comparar, por ejemplo, los l´ımites de integraci´on en x e y obtenidos para calcular la integral doble I en los ejemplos 2.1.3 y 2.2.7.
Para encontrar los l´ımites de integraci´on, suele ser necesario hacer la figura del dominio D, estudiar el intervalo [a, b] en el eje de las abscisas (proyecci´on del dominio D sobre el eje de las abscisas), y el intervalo [c, d] en el eje de las ordenadas (proyecci´on del dominio D sobre el eje de las ordenadas). Finalmente, habr´a que encontrar las funciones cuyas gr´aficas son los bordes de la figura D. Las curvas gr´aficas de las funciones y = ψ(x) e y = φ(x) son los bordes superior e inferior del dominio D. Las curvas gr´aficas de las funciones x = η(y), x = ξ(y), en cambio, son los bordes izquierdo y derecho del mismo dominio D.
