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Problemas Ley de Gauss
- 1 Campo eléctrico Índice
- 1.1 Caja triangular y superficie parabólica
- 1.2 Esfera dentro de un campo eléctrico
- 1.3 Cubo de lado L con cargas en su interior
- 1.4 Cubo dentro de un campo variable
- 2 Flujo Campo Eléctrico
- 2.1 Esfera cargada
- 2.2 Cascaron esférico
- 2.3 Línea infinita cargada
- 2.4 Plano infinito cargado
- 2.5 Dos planos cargas opuestas
- 2.6 Hilo infinito y esfera cargados
- 2.7 Campo eléctrico encima de la Tierra
- 2.8 Dos cilindros concéntricos
- 2.9 Esfera sólida con hueco
- 2.10Esfera con una carga puntual interior
- 2.11Cilindro de radio R y longitud infinita
- 2.12Dos planos infinitos y un cilindro
- 3 Notas
- 3.1 Campo eléctrico
- 3.2 Flujo
- 3.3 Constantes
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La ley de Gauss afirma que el flujo del campo eléctrico a través de una
superficie cerrada, es igual al cociente de la carga (que hay en el interior de
dicha superficie) dividida entre ε 0
.
E
q
ε 0
←− Ley Gauss
ε 0
←− permitividad del vacío.
E
Superf icie
E · d
S ←−flujo campo eléctrico
Observación. La integración se realiza sobre una superficie cerrada que puede ser elegida libremente y debe tenerse en
cuenta que la carga q es la carga contenida en dicha superficie.
1. Campo eléctrico
1.1. Caja triangular y superficie parabólica
Calcular el flujo del campo eléctrico (uniforme) a través de las siguientes formas:
E · d
S
Caja triangular
Se aplica la formula Φ =
E · d
S integral de superficie (producto escalar del campo con
el vector de superficie)
1.2 Esfera dentro de un campo eléctrico http://notasfisicaymatematicas.blogspot.com.es/
total
= 0, 3 E − 0 , 3 E + 0 + 0 = 0
Este resultado es el esperado dado que la superficie es cerrada y las lineas del campo
eléctrico lo atraviesan de lado a lado, de forma que el «flujo entrante» se cancela con el
«flujo saliente»
Superficie parabólica
El cálculo sobre la superficie parabólica es complicada, pues la integral de superficie
sobre el paraboloide resulta difícil.
Para evitar este cálculo se puede usar el truco de considerar que el paraboloide esta
cerrado por la base circular y por la simetría que existe en la figura, el flujo de entrada
en la base es igual al flujo de salida, sobre la superficie parabólica.
E · d
S = −E
circulo
dS = −E
πr
2
1.2. Esfera dentro de un campo eléctrico
Un hilo infinito crea un campo eléctrico dentro del cual se sitúa una esfera de radio R a
un distancia d como se indica en la figura.
1.3 Cubo de lado L con cargas en su interior http://notasfisicaymatematicas.blogspot.com.es/
Se pueden plantear dos casos, el primero que la distancia d ser menor que el radio R y
parte del hilo pase a través de la esfera y segundo que d sea mayor que R.
Caso d > R El hilo esta fuera de la esfera y al ser la esfera una superficie cerrada el
flujo total será cero Φ = 0
Caso d < R El hilo pasa a través de la esfera y la par-
te que queda dentro, creara un cantidad de carga igual a
q = λL. Si se considera la superficie de la esfera como la
superficie de integración, se tiene que:
E
esf era
E · d
S
El flujo en este caso se determina calculando la carga que
queda dentro de la esfera.
E
q
λL
Se determina la cantidad de hilo que hay dentro de la esfera, mediante
R
2 − d
2 y la
carga utilizando la densidad lineal de carga q = 2λ
R
2 − d
2
El flujo vale entonces
E
2 λ
R
2 − d
2
0
1.3. Cubo de lado L con cargas en su interior
1.4 Cubo dentro de un campo variable http://notasfisicaymatematicas.blogspot.com.es/
Caso-1 El campo
E = 3y~j es parale-
lo al eje Y y por tanto solo habrá flujo en
las caras paralelas al plano XZ y ademas
sobre estas superficies el valor del campo es constante y la integral de superficie se
corresponde con la integral sobre la cara que resulta su propia área.
Cara de abCaso1 ajo: como el campo vale cero sobre esta cara el flujo es cero
Cara de arriba:
E = 3 · (1, 4)
j
E
Cara
E · d
S = E
dS = E (L · L) = 3 · (1, 4) (1, 4)
2
= 8, 23 N m
2
C
− 1
Como el flujo es distinto de cero, el cubo tiene que contener una determinada carga y
esta dado por la ley de Gauss.
E
q
ε 0
−→ q = 8, 23 · (8, 85 · 10
− 12
) = 72, 3 pC
Caso-2 El campo
E = − 4
i+(6 + 3y)
j esta compuesto de dos componentes, se calcula
el flujo para cada una de las componentes del campo.
Componente − 4
i
Esta componente es paralela al eje X su valor es el mismo en las dos caras del cubo
que son paralelas al plano ZY. Para la primera cara el flujo es saliente y vale.
E
= 4 · (1, 4) (1, 4) = 7, 84 N m
2 C
− 1
para la segunda cara el flujo es entrante y vale lo mismo cambiada de signo.
E
= − 4 · (1, 4) (1, 4) = 7, 84 N m
2
C
− 1
El flujo total de esta componente es cero
componente
E = (6 + 3y)
j
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Esta componente es paralela al eje Y tiene flujos diferentes para las dos caras del cubo
que son paralelas al plano ZX. Para la primera cara el flujo es entrante y vale.
E
= − 6 · (1, 4) (1, 4) = − 11 , 76 N m
2
C
− 1
para la segunda cara el flujo es saliente y vale.
ΦE = [6 + 3 · (1, 4)] (1, 4) (1, 4) = 19, 99 N m
2
C
− 1
El flujo total es 8 , 23 N m
2 C
− 1
. La carga se obtiene del mismo modo:
q = 8, 23 · (8, 85 · 10
− 12
) = 72, 3 pC
2. Flujo Campo Eléctrico
2.1. Esfera cargada
Calcular el campo eléctrico de una esfera aislante de radio a que tiene una carga Q
distribuida uniformemente en todo su volumen (Dato: densidad de carga ρ 0 ). Expresión
del campo dentro y fuera de la esfera.
2.2 Cascaron esférico http://notasfisicaymatematicas.blogspot.com.es/
E =
4
3
πr
3 ρ 0
4 πr
2 0
−→ E =
ρ 0 r
0
La dirección del campo es radial y tiene sentido hacia fuera ~u r
~r
r
2.2. Cascaron esférico
Calcular el campo eléctrico de un cascarón esférico radio a que tiene una carga Q distri-
buida uniformemente en su superficie (densidad superficial de carga σ 0
). Expresión del
campo dentro y fuera de la esfera.
Por la simetría de la distribución de la carga el campo es radial y solo depende de la
distancia al centro. Toma el mismo valor sobre toda la superficie.
Fuera de cascarón r > a
El flujo en una superficie exterior esta dado por ΦE =
E · d
S = E · 4 πr
2
y la carga dentro
de la superficie Q = 4πa
2
σ 0
Aplicando la ley de Gauss: E · 4 πr
2
4 πa
2 σ 0
0
−→ E =
a
2 σ 0
r
2 0
Dentro de cascarón r > a
Dentro del cascaron no hay campo eléctrico por que no hay carga E = 0
2.3 Línea infinita cargada http://notasfisicaymatematicas.blogspot.com.es/
2.3. Línea infinita cargada
Linea cargada positivamente de longitud infinita con densidad lineal de carga dado por
λ 0
.
Por la simetría de distribución de la carga el
campo eléctrico es hacia fuera y perpendicu-
lar a la dirección de hilo, dependiendo uni-
camente de la distancia al hilo. Sobre un su-
perficie en forma de cilindro el campo sera
constante sobre la cara exterior de este.
Sobre las caras superior e inferior del cilin-
dro no hay flujo por que el campo y el vector
superficie forman un angulo d 90 grados.
Para el resto de superficie el flujo vale: Φ E
E · 2 πrL
︸ ︷︷ ︸
superf icie
y la carga que hay dentro de la
superficie cilíndrica esta dado por Q = λ 0
L.
E 2 πrL =
λ 0
L
0
−→ E =
λ 0
2 π 0
r
2.4. Plano infinito cargado
Plano infinito cargado positivamente con una
densidad superficial dada σ 0
Por la simetría de la distribución de la car-
ga, el campo eléctrico sera perpendicular al
plano, con los mismos valores a ambos lados
del plano y dependiente de la distancia a és-
te.
Sobre una superficie cilíndrica como en la fi-
gura el campo tomara los mismo valores so-
bre las tapas superior e inferior del cilindro.
2.6 Hilo infinito y esfera cargados http://notasfisicaymatematicas.blogspot.com.es/
Se dispone de una esfera y un hilo infinito como se
muestra en la figura. El hilo infinito tiene una den-
sidad lineal negativa de λ 0
= − 1 nC/m, paralelo al
eje z y en la posición (− 2 , 0 , 0). La esfera tiene una
densidad de carga en volumen de ρ 0
= 10 nC/m
3
, tiene radio de a = 0, 2 m y esta centrada en la
posición (2, 0 , 0).( 0
− 12 C
2 /N m
2 )
- ¿Que expresión tiene el campo eléctrico en
el eje Z?
- ¿Que valor debe tener la densidad de carga
de la esfera para que el campo en el origen
valga cero?
El campo eléctrico sobre el eje Z sera la suma vectorial del campo creado por la esfera
y el hilo infinito.
E
S
a
3 ρ 0
3 0 r
2
~u r
←− esf era
E
H
λ 0
2 π 0 x
i ←− hilo inf intio
Para poder sumar de vectorial se pone el vector ~u r
en función de los vectores unitarios
i
y
j
~u r
~r
r
i
k
2
2
Observación. El campo eléctrico de la esfera queda como
E
S
a
3 ρ 0
3 0 r
2
~r
r
a
3 ρ 0
3 0 (4 + z
2 )
i + z
k
4 + z
2
El campo total sobre un punto cualquiera del eje Z esta dado por:
E
T
E
S
E
H
a
3
ρ 0
0
i + z
k
(4 + z
2 )
3
2
λ 0
2 π 0
x
i =
a
3
ρ 0
0
i + z
k
(4 + z
2 )
3
2
λ 0
2 π 0
i
2.7 Campo eléctrico encima de la Tierra http://notasfisicaymatematicas.blogspot.com.es/
E
T
(−2) a
3 ρ 0
3 0 (4 + z
2 )
3
2
λ 0
2 π 0
x
i +
a
3 ρ 0
0
z
k
(4 + z
2 )
3
2
Usando los datos del problema se obtiene
E
T
(4 + z
2 )
3
2
i +
3 z
(4 + z
2 )
3
2
k
Para que el campo valga cero en el punto el origen (0, 0 , 0) se tiene que cumplir para un
determinado valor de ρ 0
la siguiente condición.
(−2) a
3 ρ 0
0
3
2
λ 0
2 π 0 (2)
i +
a
3 ρ 0
k
(4 + z
2 )
3
2
2 a
3
ρ 0
0
λ 0
4 π 0
−→ ρ 0 = −
3 λ 0
πa
3
−→ ρ 0
− 9
π (0,2)
3
= − 119 , 36 nC/m
3
2.7. Campo eléctrico encima de la Tierra
El campo eléctrico justo encima de la Tierra es constante en módulo (vale 150 N/C) y está
dirigido hacia el centro de la Tierra en cada punto.
- Determinar cuál es la carga
- Sí la carga está uniformemente distribuida en la esfera terrestre y consideramos
una esfera contenida en su interior con radio R T
/ 2 ¿cuál será la cantidad de carga
encerrada que esa esfera?
- ¿Cual es el valor del campo eléctrico en la superficie de esa esfera?
Dato: R T
3 m
2.8 Dos cilindros concéntricos http://notasfisicaymatematicas.blogspot.com.es/
Por la simetría de la distribución de la carga el campo eléctrico tiene una dirección radial
y depende de la distancia radial al cilindro (solo del modulo de r). El sentido del campo
será hacia fuera y tiene el mismo sentido que el «vector superficie» de la superficie, el
flujo sera positivo.
El flujo del campo eléctrico sobre la superficie cilíndrica de radio r esta dado por la
siguiente expresión:
ΦE = E · 2 πrL ︸ ︷︷ ︸
superf icie
Por la ley de Gauss Φ E
Q
ε 0
se tiene que el campo eléctrico creado por un cilindro es:
E · 2 πrL
︸ ︷︷ ︸
superf icie
Q
ε 0
−→ E =
Q
2 πLε 0 r
Para el cilindro de radio R 1
, usando su densidad de carga superficial dada por
σ =
Q
2 πR 1 L
se tiene que el campo vale:
E =
σ 2 πR 1
L
2 πLε 0
r
−→ E =
σR 1
ε 0
r
Observación. En el interior de cilindro el campo vale cero (r < R 1
2.9 Esfera sólida con hueco http://notasfisicaymatematicas.blogspot.com.es/
Para el cilindro de radio R 2
, usando su densidad de carga superficial dada por
σ =
Q
2 πR 2 L
se tiene que el campo vale:
E =
σ 2 πR 2 L
2 πLε 0
r
−→ E =
σR 2
ε 0
r
Observación. En el interior de cilindro el campo vale cero (r < R 2
Estos dos campos se suman en las zonas del espacio que se solapan.
0 r < R 1
E =
σR 1
ε 0 r
R
1
< r < R 2
E =
σR 1 +σR 2
ε 0 r
r > R 2
2.9. Esfera sólida con hueco
Una esfera sólida de material aislante y de radio r = 2 metros con su centro en el origen
de coordenadas tiene un hueco esférico en su interior de radio r = 0, 5 m centrado en el
punto (− 1 , 0 , 0) La esfera tiene una carga q uniformemente distribuida en su volumen tal
que la densidad de carga en volumen ρ 0
= 4 pCm
− 3
. Calcular el campo eléctrico en los
puntos A = (3, 4 , 0), B = (4, 0 , 0) y C = (− 4 , 0 , 0) y dentro del hueco.
No hay simetría en la distribución de la carga debido al hueco que tiene la esfera. Para
evitar la integración sobre la esfera hueco se aplica el principio de superposición para
2.9 Esfera sólida con hueco http://notasfisicaymatematicas.blogspot.com.es/
E
R
Q
R
4 π 0
d R
(dR)
3
− 6
4 π 0
i + 4
j
2
2
3
9 · 134 , 041 · 10
− 6
3
i + 4
j
E
r
−Qr
4 π 0
dr
(d r
3
− 6
4 π 0
i + 4
j
2
2
3
9
· 2 , 0944 · 10
− 6
3
i + 4
j
E
T
i + 38120
j
Campo eléctrico en el punto B = (4, 0 , 0)
De forma similar cambiando las distancias se obtiene.
E
R
Q
R
4 π 0
d R
(d R
3
− 6
4 π 0
i
2
3
9
· 134 , 041 · 10
− 6
i
E
r
−Q
r
4 π 0
d r
(d r
3
− 6
4 π 0
i
2
3
9 · 2 , 0944 · 10
− 6
i
ET = 74478, 15
i
Campo eléctrico en el punto B = (− 4 , 0 , 0)
E
R
Q
R
4 π 0
d R
(d R
3
− 6
4 π 0
i
2
3
9 · 134 , 041 · 10
− 6
i
E
r
−Qr
4 π 0
dr
(d r
3
− 6
4 π 0
i
2
3
9
· 2 , 0944 · 10
− 6
i
E
T
− 73140 , 74 i
Campo dentro del hueco
2.10 Esfera con una carga puntual interior http://notasfisicaymatematicas.blogspot.com.es/
El campo dentro de un punto del hueco se
puede calcular sumando el campo eléctri-
co creado por una esfera completa (R = 2)
en ese punto y restando el campo crea-
do por una esfera del tamaño de hueco
(R = 0,5) en ese mismo punto.
Para la esfera grande se usa el vector uni-
tario
~r
r
y la esfera pequeña
~ r
′
r
′
(con primas),
se hace uso de la formula:
E =
ρ 0 r
0
←− dentro de una esf era
E = E
r
~r
r
− E
r
′
r
′
r
′
ρ 0
r
0
~r
r
ρ 0
r
′
0
~r
′
r
′
E =
ρ 0
r
0
~r
r
ρ 0 r
′
0
~r
′
r
′
ρ 0
0
~r −
ρ 0
0
~r
′
=
ρ 0
0
(~r − ~r
′
)
En la figura se observa que el vector ~r − ~r
′ se corresponde con la posición del centro del
hueco (− 1 , 0), el campo es constante en todo el hueco y vale:
E = −
ρ 0
0
i
2.10. Esfera con una carga puntual interior
Sea una carga puntual de q = − 1 nC colocada en el centro de una esfera de radio R =
10 cm y que posee una distribución de carga superficial de σ = 1 nCm
− 2 .
- Calcular el campo eléctrico y potencial en todos los puntos del espacio
- Si situamos un electrón a 50 cm de la carga puntual. ¿Cual será su velocidad cuando
se encuentre en un punto muy alejado?
