Problemas sobre Álgebra Lineal, Ejercicios de Álgebra Lineal

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Álgebra Lineal

Hojas de problemas

Grado en Ingeniería Informática

Doble Grado en Ingeniería Informática y Administración

de Empresas

AUTORES: J. SALAS, A. TORRENTE Y E.J.S. VILLASEÑOR

Índice general

• 1. Matrices
• 2. Sistemas de ecuaciones lineales
• 3. Espacios vectoriales
• 4. Base y dimensión
• 5. Transformaciones lineales
• 6. Transformaciones lineales y matrices
• 7. Forma normal de una transformación lineal
• 8. Valores y vectores propios
• 9. Producto interno y ortogonalidad en espacios vectoriales sobre R
• 10. Bases ortogonales
• 11. El Teorema Espectral en R
• 12. Geometría de las transformaciones lineales en R
• 13. Mínimos cuadrados

En este documento hemos recopilado una serie de problemas básicos de Álgebra Lineal

adaptados al temario de este curso. Aunque vienen acompañados de sus correspondien-

tes soluciones, os animamos a que los intentéis resolver sin mirar las soluciones. Éstas

deberían ser una mera comprobación de vuestros resultados.

III

Hoja 1

Matrices

Problema 1.1 Dadas las siguientes matrices:

A =

 ;^ B^ =

 ;^ C^ =

D =

 ;^ E^ = (4, 2)^ ;^ F^ =

realizar, si es posible, las siguientes operaciones:

1. 3 D − 2 A.

2. B − C

t .

3. D + B C.

4. B

t B.

5. E A F.

6. B

t C

t − (C B)

t .

Problema 1.10 Probar que si A ∈ K

m×n y B ∈ K

n×m , entonces tr(A B) = tr(B A).

Problema 1.11 Si

A =

x 0 1

2 x − 2

calcular los valores reales del parámetro x para los que A no tiene inversa.

Hoja 2

Sistemas de ecuaciones lineales

Problema 2.1 Expresar el vector a, si es posible, como una combinación lineal de los vec-

tores incluidos en el conjunto S:

1. a = (2, 3)

t con S = {(1, 4)

t , (1, 5)

t }.

2. a = (−1, 0, 1)

t con S = {(2, 1, 0)

t , (1, 0, 1)

t }.

3. a = (1, 3, 0)

t con S = {(1, 0, 4)

t , (2, 1, 5)

t , (3, 3, 0)

t , (4, 2, 1)

t }.

4. a = (1, 0, 1, 1)

t con S = {(2, 1, 0, 1)

t , (3, 0, 0, 2)

t }.

Problema 2.2 Resolver los siguientes sistemas utilizando eliminación gaussiana aplicada

a las ECUACIONES. Dibujar el conjunto de soluciones como los puntos de intersección de

las líneas que representa cada ecuación. Usar las soluciones para expresar el vector de

constantes (términos independientes) como una combinación lineal de vectores.

a)

x − 6 y = 12 ,

x + 2 y = 6.

Encontrar todos los números de tres cifras que verifiquen estas propiedades.

Problema 2.5 Calcular el espacio nulo de la matriz y el espacio columna de la matriz

A =

Problema 2.6 Escribir en forma escalonada reducida las matrices que corresponden a los

siguientes sistemas y determinar su solución:

a)

2 x + 3 y − z = 0 ,

x + 2 y + z = 3 ,

x + 3 y + 3 z = 7.

b)

2 x − 3 y + z = 4 ,

2 x + 6 y − 4 z = −1 ,

x + 3 y − 3 z = 4.

c)

x 1 + 2 x 2 + 8 x 3 − 7 x 4 = −2 ,

3 x 1 + 2 x 2 + 12 x 3 − 5 x 4 = 6 ,

−x 1 + x 2 + x 3 − 5 x 4 = −.

Problema 2.7 Calcular la inversa de las siguientes matrices utilizando operaciones gaus-

sianas:

a) A =

b) B =

c) C =

Problema 2.8 Resolver el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales A x = 0

con

A =

Determinar la cardinalidad del conjunto de soluciones del sistema no homogéneo A x =

b, con b = (0, 0, −2, 2)

t

. Encontrar dicho conjunto.

Problema 2.9 Sea la matriz

A =

1. Encontrar una matriz P 1 tal que B 1 = P 1 A sea la matriz que se obtiene al permutar

las filas primera y tercera de la matriz A.

2. Encontrar una matriz P 2 tal que B 2 = P 2 A sea la matriz que se obtiene al permutar

las filas segunda y tercera de A y sustituir la fila primera por ella misma multiplica-

da por 2 menos la tercera fila.

3. ¿Son las matrices B 1 y B 2 equivalentes?

Demostrar que el conjunto de todas las combinaciones lineales de A, B, C es un subespacio

de R

2 × 2 .

Problema 3.4 Determinar si los conjuntos de polinomios S 1 = {p ∈ P 2 : p( 0 ) = 0, p

′ ( 0 ) =

0 } y S 2 = {p ∈ P 2 : p( 0 ) = 0, p

′ ( 0 ) = 1 } son subespacios de P 2.

Problema 3.5 Determinar si los conjuntos de matrices

S 1 =

A =

a b

c d

 :^ a,^ b,^ c,^ d^ ∈^ Z

y S 2 =

A ∈ R

2 × 2 : det(A) = 0

son subespacios de R

2 × 2 .

Problema 3.6 Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K y consideremos sus subespa-

cios S 1 , S 2 y S 3. Determinar si las siguientes expresiones son ciertas o no.

a) S 1 ∩ (S 2 + S 3 ) = (S 1 ∩ S 2 ) + (S 1 ∩ S 3 ).

b) (S 1 ∩ S 2 ) + (S 1 ∩ S 3 ) = S 1 ∩ (S 2 + (S 1 ∩ S 3 )).

Problema 3.7 Sea T el subconjunto de todas las matrices en R

n×n (con n ∈ N) que tienen

traza nula. Determinar si T es un subespacio vectorial de R

n×n .

Hoja 4

Base y dimensión

Problema 4.1 Comprobar si el vector (3, 4, 4)

t pertenece al conjunto generado por los vec-

tores {(1, 2, 3)

t , (−1, 0, 2)

t } y, en tal caso, determinar cómo obtenerlo con alguna combina-

ción lineal.

Problema 4.2 Probar que el conjunto de vectores {(1, 0, 0)

t , (0, 1, 0)

t , (0, 0, 1)

t , (1, 2, 3)

t } es

linealmente dependiente. Probar que el conjunto de vectores {(0, 1, 0)

t , (0, 0, 1)

t , (1, 2, 3)

t }

es linealmente independiente.

Problema 4.3 Decidir si los polinomios p 1 (x) = 1 −x+x

2 , p 2 (x) = 2 +x y p 3 (x) = 1 + 2 x−x

2

son linealmente dependientes o independientes en P 2. Si son linealmente dependientes,

encontrar alguna de las posibles dependencias.

Problema 4.4 Decidir si las matrices de R

2 × 2

A =

 ,^ B^ =

 ,^ C^ =

son linealmente dependientes o independientes.

y las correspondientes dimensiones.

Problema 4.8 Sea A la matriz 4 × 5 dada por

A =

1. Encontrar el espacio nulo de A, su dimensión y una base.
2. Encontrar el espacio columna de A, su dimensión y una base.
3. Encontrar el espacio fila de A, su dimensión y una base.
4. Encontrar el espacio nulo de la traspuesta de A, su dimensión y una base.

Problema 4.9 Sea el conjunto B = {(1, 1, 0)

t , (1, 2, 1)

t , (2, 1, 0)

t } de R

3 .

1. Probar que a partir de B se puede construir una base B

′ de R

3 .

2. Encontrar las coordenadas del vector v = (3, −2, 1)

t con respecto a B

′ (resolviendo

un sistema).

3. Encontrar las coordenadas del vector w con respecto a la base canónica si se sabe

que sus coordenadas respecto a la base B

′ son [w]B′^ = (2, −1, 7)

t (resolviendo un

sistema).

4. Encontrar las matrices de cambio de base para pasar de B 0 a B

′ y de B

′ a B 0.

5. Comprobar que las coordenadas de los vectores v y w halladas en los apartados

anteriores se obtienen multiplicando la matriz de cambio de base adecuada por las

coordenadas conocidas.

Problema 4.10 Sea el espacio P 3 con bases B 0 = (1, x, x

2 , x

3 ), B 1 = ( 1 + x, x + x

2 , x

2 − x

3 , 1 +

2 x

3 ) y B 2 = (1, 1 + x, 1 + x + x

2 , 1 + x + x

2

• x

3 ).

1. Hallar la matriz de cambio de base para pasar de B 0 a B 1.
2. Hallar la matriz de cambio de base para pasar de B 0 a B 2.
3. Hallar la matriz de cambio de base para pasar de B 1 a B 2.
4. Sea el polinomio p(x) = x

3 − 2 x. Hallar sus coordenadas con respecto a B 0 , B 1 y B 2.

Problema 5.3 Consideremos la siguiente matriz

A =

3 7 6 α

y la aplicación lineal T : R

4 → R

3 , definida por T (v) = A v.

1. ¿Para qué valores de α el vector u = (1, −1, 7)

t pertenece a la imagen de T?

2. ¿Para qué valores de α el vector v = (2, 1, −5, 0)

t pertenece al núcleo de T?

Problema 5.4 Sea T : R

2 → R

2 una transformación lineal que asocia a u = (1, 5)

t el vector

t y asocia a v = (3, 1)

t el vector (1, − 4 )

t

. Hallar la imagen por T de (2, 10)

t , (9, 3)

t y

t .

Problema 5.5 Consideremos T : P 3 → R

4 , definida por

T (a 0 + a 1 x + a 2 x

2

• a 3 x

3 ) = (a 0 , a 1 + 1, a 2 , a 3 )

t .

¿Es lineal la aplicación T?

Problema 5.6 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita y sea T una aplicación lineal

de V en sí mismo. Demostrar que T es un isomorfismo si y sólo si ker(T ) = { 0 }.

Obsérvese que esta propiedad se puede utilizar como alternativa para demostrar que una transfor-

mación lineal es o no un isomorfismo.

Problema 5.7 Consideremos la transformación lineal T : R

2 → R

2 tal que T ((1, 0)

t ) =

t y T ((0, 1)

t ) = (1, − 1 )

t .

1. Determinar la imagen de un elemento arbitrario (x, y)

t .

2. Indicar si T es inyectiva, suprayectiva, ambas cosas o ninguna.

3. Calcular las dimensiones de ker(T ) e Im(T ).

Problema 5.8 Sea la aplicación T : R

n×n → R

n×n , definida por

T (A) = A −

tr(A)

n

In.

1. Demostrar que T es lineal.
2. Determinar el núcleo y la imagen de T.
3. Calcular las dimensiones de ker(T ) e Im(T ).