Problemes de C`alcul I: Preliminars
1. Proveu per inducci´o els enunciats seg¨uents:
(a) S`erie aritm`etica:
n
X
k=1
[a+ (k−1)d] = n[2a+ (n−1)d]/2∀n∈N;
(b) S`erie geom`etrica:
n−1
X
k=0
rk= 1 + r+···+rn−1=1−rn
1−r∀r∈R, r 6= 1;
(c) Suma de pot`encies d’enters positius:
n
X
k=1
k2= 1 + 4 + ···+n2=n(n+ 1)(2n+ 1)/6∀n∈N;
n
X
k=1
k3= 1 + 8 + ···+n3= [n(n+ 1)/2]2= n
X
k=1
k!2
∀n∈N;
(d) La quantitat n(n2+ 5) ´es divisible per 6, ∀n∈N.
2. Conjectureu provant alguns valors de nuna expressi´o general de Sni
demostreu-la per inducci´o:
Sn=
n
X
k=1
1
k(k+ 1) =1
2+1
6+···+1
n(n+ 1)
.
3. Demostreu per inducci´o la desigualtat de Bernoulli:
si x∈Rix≥ −1, llavors es satisf`a (1 + x)n≥1 + nx ∀n∈N.
4. Determineu els elements dels seg¨uents conjunts de n´umeros reals:
A={x|x∈R, x(x+ 1) ≤0};B={x|x∈R,1
x< x};
C={x|x∈R, x2>3x+ 4};D={x|x∈R,1< x2<4};
E={x|x∈R,|x−3|<5};F={x|x∈R,|x|=|x+ 1|};
G={x|x∈R,|x2−1| ≤ 3}.
5. Considereu A=B=R. Quines de les seg¨uents correspond`encies de A
aBs´on funcions? Quan no ho siguin, com s’han de restringir AoB
perqu`e ho siguin? Quines s´on injectives, exhaustives o bijectives?
x→x2−1; x→x3−x;x→1/x;
x→1/x, 0→0; x→1/x, 0→2; x→cos x;
x→arccos x;x→ex;x→ln x.
1
