¡Descarga Cálculo de intervalos de confianza para parámetros populacionales - Prof. Rabena y más Ejercicios en PDF de Estadística Matemática solo en Docsity!
Estadística Matemàtica. Curs 2006-
Exercicis del Tema 2: Introducció a les Tècniques d'Inferència Estadística i les
seues Aplicacions
1. Un laboratori farmacèutic hi ha llançat al mercat un nou antigripal. Tenint en compte que ja hi ha molts fàrmacs comercialitzats per a aqueix fi, el laboratori vol analitzar el volum de vendes del nou medicament i, en particular, les compres realitzades per prescripció facultativa. Per a això, es va prendre una mostra aleatòria de 10 zones d'una gran ciutat i, en cada una, es va registrar el nombre de receptes d'aqueix antigripal en un període de temps fix, obtenint-se els següents per zones: 210,240, 190, 275, 290, 265, 312, 284, 261, 243. Suposant que la distribució d'aqueixes dades pot aproximar-se per una normal: a) Estima la mitjana del nombre de receptes mitjançant un interval de confiança al 90%. b) Estima la variança del nombre de receptes mitjançant un interval de confiança del 95%. c) Com es comportaria l'amplitud dels intervals calculats en a) i b) si el nivell de confiança fòra el 99%? 2. En una revista s'afirma que l'estatura mitjana de les persones adultes d'una comarca és d'1.80 metres. Per a comprovar si l'afirmació anterior és correcta (amb un grau de confiança del 95%) es pren a l'atzar una mostra de 85 persones, a qui mesurem les seues altures, obtenint una mitjana d'1,77 m. i una desviació típica de 0.12 m. A quina conclusió arribaries, suposant que les dades provenen d'una població amb distribució Normal? 3. S'han efectuat 12 determinacions del pH d'una solució àcida, obtenint-se els resultats següents: 6.79, 6.77, 6.80, 6.78, 6.82, 6.78, 6.80, 6.80, 6.82, 6.81, 6.79 i 6. Suposant normalitat en els mesuraments, construeix sengles intervals de confiança al 95% per a la mitjana i la variança poblacionals. (Nota: = 6.795 i s = 0.016). 4. Un partit polític pretén conéixer la seua intenció de vot de cara a les pròximes eleccions. Per a això encarrega un sondeig sobre un total de 230 persones, de les que 69 contesten que li votarien. a) Troba un interval de confiança al 90% per a la verdadera proporció poblacional, indicant les hipòtesis assumides. b) Si l'interval va resultar ser (0.243 , 0.357), quin va ser el nivell de confiança triat? c) Si el partit volguera un interval de confiança al 90% i la longitud del qual no excedira de 0.15, quin seria la grandària mostral necessària?
5. Siga X el nombre de quilòmetres recorreguts per un cotxe amb un litre de gasolina sense additiu. Siga I el nombre de quilòmetres recorreguts amb un litre de gasolina amb additiu. S'observen els quilòmetres recorreguts per litre de gasolina en huit cotxes, quatre d'ells sense additiu. Les dades són:
a) Suposant que l'additiu pot canviar la mitjana, però no la variança, calcular un interval de confiança al 95% per a la diferència de mitjanes especificant les hipòtesis necessàries. b) A la vista de l'interval de l'apartat anterior, hi ha alguna indicació que l'additiu té algun efecte en el nombre de km recorreguts per litre de gasolina?
6. Un supervisor de control de qualitat en una fàbrica d'envasat sap que la quantitat exacta en cada llanda varia, perquè hi ha certs factors impossibles de controlar que afecten la quantitat d'ompliment. L'ompliment mitjà per llanda és important, però igualment important és la variació σ 2 de la quantitat d'ompliment. Si σ 2 és gran, algunes llandes contindran molt poc i altres massa. A fi d'estimar la variació de l'ompliment en la fàbrica d'envasat, el supervisor tria a l'atzar 9 llandes i pesa el contingut de cada una, obtenint el següent pes (en unces): 7.96 7.90 7.98 8.01 7.97 8.03 8.02 8.04 8. Obtín un interval de confiança de 90% per a la verdadera variació de l'ompliment de llandes en la fàbrica d'envasat. 7. Un centre comercial vol estimar l'edat mitjana dels clients que visiten la botiga de productes dietètics. El gerent assumeix que l'edat d'aquests clients segueix una distribució Normal amb una desviació típica desconeguda. a) Si el gerent vol estimar l'edat mitjana d'aquests clients amb un error d'estimació (amplitud de l'interval) no superior a 2 anys amb un nivell de confiança del 95%, quin seria la grandària mostral necessària? Utilitza per a això que el gerent suposa que la desviació típica poblacional és de 5 anys. b) S'han triat aleatòriament 40 d'aquests clients, observant una edat mitjana de 29 anys i una desviació típica de 4.8 anys. Calcular un interval de confiança del 99% per a l'edat mitjana poblacional. c) En una mostra aleatòria de 10 clients s'ha obtingut una edat mitjana de 29 anys amb una quasivarianza de 24. Analitzar si la desviació típica igual a 5 assumida pel gerent és acceptable, utilitzant una significativitat de 0.1. d) En la mostra de 40 clients, 18 eren menors de 30 anys. Construeix un interval de confiança del 85% per a la proporció poblacional de clients menors de 30 anys. Podem concloure que el 50% dels clients són menors de 30 anys? 8. Un constructor està considerant dos llocs alternatius per a la construcció d'un centre comercial regional. Com els ingressos de les llars de la comunitat són una consideració a tindre en compte en aqueixa selecció, desitja provar la hipòtesi nul·la de què no hi hi ha diferència significativa entre l'ingrés mitjana per llar de les dues comunitats. Consistent amb aquesta hipòtesi, suposa que la desviació típica de l'ingrés per llar és també igual, encara que desconeguda, en les dues comunitats. Per a una mostra de 13 llars de la primera comunitat, obté que l'ingrés mitjana és de 35500 dòlars i una desviació típica de 1900 dòlars. Per a una mostra de 16 llars de la segona comunitat l'ingrés mitjana és de 34600 dòlars amb una desviació típica de 2050 dòlars.
12. En l'estudi sanguini d'un individu es va trobar que, d'un total de 200 glòbuls blancs comptabilitzats, 125 eren neutròfils. a) Proposa una estimació puntual de la proporció de neutròfils entre els glòbuls blancs de l'individu. b) Obtín un interval de confiança al 90% per a aqueixa proporció. c) En un individu sa el percentatge de neutròfils està entre el 60 i el 70%. Segons l'interval de l'apartat anterior, hi hi ha evidència de desequilibri de neutròfils en aquest individu? 13. En un laboratori químic s'està investigant un nou producte per a la conservació de l'aigua en les piscines. Es trien 16 piscines aleatòriament i es mescla l'aigua amb tal producte. Es mesura el nombre de dies que roman l'aigua en bon estat, obtenint-se:
Si s'admet que la variable resposta segueix una distribució normal: a) Calcula intervals de confiança per a la mitjana i per a la variança de la variable estudiada al 99% de confiança, especificant les hipòtesis assumides. b ) Quina grandària de mostra es necessita perquè al nivell de confiança del 95%, la distància de la mitjana poblacional a cada costat de la mitjana mostral siga com a màxim d'1 dia? c) Una vegada llançat al mercat el producte, el laboratori afirma que l'aigua romandrà en bon estat durant 30 dies exactament. Contrasta aquesta afirmació al 5% de significació. Indica les hipòtesis assumides. d ) Calcula el p-valor del contrast anterior interpretant el resultat.
14. Un article publicat en el Journal of Aircraft (Vol. 23, 1986, ps. 859-864) descriu la formulació d'un mètode nou per a l'anàlisi de plaques que és capaç de modelar estructures d'aeroplans, com ara la carcassa de l'ala, i que produeix resultats semblants als obtinguts amb el mètode de l'element finit, el qual empra molts més càlculs. Es calculen les freqüències de vibració naturals per a la carcassa d'un ala utilitzant per a això ambdós mètodes. Els resultats obtinguts per a les set primeres freqüències naturals són els següents: Element finit, Placa equivalent, Observació cicles/s cicles/s 1 14.58 14. 2 48.52 49. 3 97.22 99. 4 113.99 117. 5 174.73 181. 6 212.72 220. 7 277.38 294. Trobar un interval de confiança del 95% per a la diferència mitjana entre els dos mètodes. 15. Deu individus participen en un programa de modificació de dieta dissenyat per a estimular la pèrdua de pes. En la taula següent s'indica el pes de cada participant abans i després d'haver participat en el programa. Hi hi ha evidència que recolze l'afirmació que aquest programa de modificació de dieta és eficaç per a reduir el pes? Hi hi ha evidència que recolze l'afirmació que aquest programa redueix el pes mitjana almenys en 10 lliures? Utilitzar α = 0.05. Subjecte Abans Després Subjecte Abans Després 1 195 187 6 210 197
2 213 195 7 215 199 3 247 221 8 246 221 4 201 190 9 294 278 5 187 175 10 310 285
16. S'estudia la taxa de combustió de dos propel·lents sòlids utilitzats en els sistemes de
fuga d'emergència d'aeroplans. Se sap que la taxa de combustió dels dos propel·lents té aproximadament una distribució normal amb la mateixa desviació estàndard. Es proven dos mostres aleatòries de n1= n2 = 20 espècimens; les mitjanes mostrals de la taxa de combustió són = 18 cm/s i = 24 cm/s, mentres que les desviacions típiques mostrals són s1= 3.1 cm/s i s2= 3.15 cm/s. a) Construir un interval de confiança bilateral del 99% per a la diferència entre mitjanes de la taxa de combustió. b) Provar la hipòtesi que els dos combustibles sòlids tenen la mateixa rapidesa mitjana de combustió. Utilitzar a= 0.05.
17. Considerem la situació descrita en el problema anterior. Quina grandària de mostra ha d'utilitzar-se en cada població (la mateixa grandària en ambdós poblacions) si es desitja que l'error en l'estimació de la diferència entre les mitjanes de les taxes de combustió siga menor que 4 cm/s amb una confiança del 99%? 18. Es proven dues fórmules diferents d'un combustible oxigenat per a motor quant a l'octanatge. Es proven dos mostres aleatòries de grandària n1=15 i n2 = 20. Els octanatges mitjana observats són = 89.6 i = 92.5, i les variances mostrals són s12 = 1.5 i s22 = 1.2. Suposant normalitat i igualtat de variances, construir un interval de confiança bilateral del 95% per a la diferència en l'octanatge mitjana. 19. Es pren una mostra de 50 cascos de suspensió utilitzats pels corredors de motocicletes i els conductors d'automòbils de carreres, i se subjecten a una prova d'impacte. En 18 dels cascos s'observa cert dany. a) Trobar un interval de confiança bilateral del 95% per a la verdadera proporció de cascos d'aquest tipus que mostraran dany com resultat de la prova. b) En utilitzar l'estimació puntual de π obtinguda a partir de la mostra preliminar de 50 cascos, quants cascos han de provar-se per a tindre una confiança del 95% que l'error en estimar el verdader valor de p siga menor que 0.02? c) De quina grandària ha de ser la mostra si es desitja tindre una confiança del menys el 95% que l'error en estimar p siga menor que 0.02, sense importar el valor verdader de π? 20. Un article publicat en The Engineer ("Redesign for Suspect Wiring", juny de 1990) va notificar els resultats d'una investigació sobre errors de fil d'aram en aeroplans comercials que pot produir informació falsa a la tripulació. És possible que tals errors de fil d'aram hagen sigut responsables del desastre de British Midland Airways al gener de 1989, en provocar que el pilot apagara el motor equivocat. De 1600 aeroplans seleccionats a l'atzar, es va trobar que el 8% tenien errors en el fil d'aram que podien mostrar informació errònia a la tripulació. Trobe un interval de confiança del 99% per a la proporció d'aeroplans que tenen aquest tipus d'errors de fil de fil d'aram. 21. Trenta-tres hòmens amb un nivell de colesterol alt, tots ells habituals consumidors de café, participen en un treball dissenyat per a estudiar si el consum de café influeix en el
Esquizofrènics NoEsquizofrénicos 0h. 2h. 0h. 2h. 0.55 1.22 1.27 2. 0.60 1.54 0.09 0. 0.21 0.97 1.64 2. 0.09 0.45 0.23 0. 1.01 1.54 0.18 0. 0.24 0.75 0.12 0. 0.37 1.12 0.85 1. 1.01 1.31 0.69 1. 0.26 0.92 0.78 1. 0.30 1.27 0.63 1. 0.26 1.08 0.50 2. 0.10 1.19 0.62 1. 0.42 0.64 0.19 0. 0.11 0.30 0.66 1. 0.14 0.24 0.91 1. 0.20 0. 0.09 0. 0.32 1. 0.24 0. 0.25 0.
a) Compara gràficament els dos grups en cada un dels dos instants de temps considerats. b) Compara gràficament els dos grups quant a la diferència de la concentració en els temps registrats. c) Obtín un interval de confiança amb coeficient de confiança del 95 % sobre: (1) Concentració inicial de vitamina C en malalts esquizofrènics. (2) Efecte de l'àcid ascòrbic en el grup experimental. (3) Efecte de l'àcid ascòrbic en el grup control. (4) Diferència de l'efecte de l'àcid ascòrbic en ambdós grups.
23. La cadena d'esdeveniments a què anomenem evolució geològica de la Terra va començar fa centenars de milions d'anys. Els fòssils han jugat un paper clau en la documentació dels temps relatius en què aqueixos successos van ocórrer; però per a establir una cronologia absoluta, els científics es basen principalment en la degradació radioactiva. Quasi tots els minerals contenen potassi (K), així com alguns dels seus isòtops, incloent 40K. Però 40K és inestable i es degrada en isòtops d'argó i calci, 40A i 40Ca. Coneixent les velocitats a què es formen aquests productes fills, i mesurant la quantitat de 40A i 40K presente, és possible estimar l'edat d'un mineral. Aquesta tècnica de datació es coneix com a mètode del potassi-argó. La taula següent proporciona l'edat estimada, en milions d'anys, de 19 mostres minerals arreplegades en la Selva Negra (Sud- oest d'Alemanya). Cada una de les estimacions va ser feta sobre la base del nivell de potassi-argó de la mostra.
Espècimen Edat Espècimen Edat 1 249 11 303 2 254 12 280 3 243 13 260 4 268 14 256 5 253 15 278 6 269 16 344 7 287 17 304 8 241 18 283 9 273 19 310 10 306
a) El nostre objectiu és analitzar la variabilitat associada amb el mètode del potassi- argó per a la datació de minerals. Se sap que una de les originàries tècniques radioactives de datació, basada en el contingut de plom d'un mineral, proporciona valors amb una desviació típica de 30.8. Analitzar si la variabilitat característica del mètode del potassi-argó és significativament diferent d'aquest altre mètode.
b) Quan es contrasta la hipòtesi H0: μ = μ 0 sobre la mitjana d'una població Normal enfront de l'alternativa bilateral, els valors crítics (els que determinen la regió crítica) equidisten de μ 0 ; no obstant, els corresponents a un test bilateral sobre la variança no equidisten del valor de la hipòtesi nul·la per a σ 2. Per què?
