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Sesión N° 02.
ANILLOS
Un anillo es un sistema algebraico formado por un conjunto y dos operaciones internas,
llamadas usualmente «suma» y «producto», que cumplen ciertas propiedades.
En términos más específicos, un anillo es una terna
A, +, ∙
, donde A es un conjunto y +
y • son operaciones binarias internas en A , en donde (A, +)es un grupo abeliano y • es
una operación asociativa y distributiva bilateral respecto de +. Suele denominarse «suma»
y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convención, el elemento
neutro de la suma se designa como 0 y el opuesto con respecto a la suma de un elemento a ,
perteneciente al conjunto A dado, se denota como – a. (Sería redundante decir que un anillo
es un conjunto no vacío, pues una vez que se define como un grupo abeliano con la suma,
esto queda claro)
En matemática, específicamente en álgebra abstracta y teoría de anillos, una colección no
vacía de conjuntos es ℝ un anillo si es cerrada bajo las operaciones
de intersección y diferencia simétrica.
Formalmente, para cualquier 𝑨, 𝑩 ∈ ℝ, debe cumplirse
donde ∆ representa la diferencia simétrica 𝑨 ∆ 𝑩 = (A − B) ∪ (B − A)
Un anillo de conjuntos forma un anillo (posiblemente sin unidad) bajo estas dos
operaciones. La intersección se distribuye sobre la diferencia simétrica: 𝑨 ∩ (𝑩 ∆ C) =
(A ∩ B) ∆ (A ∩ C)
El conjunto vacío es el elemento identidad para , y la unión de todos los conjuntos, es el
elemento identidad para , creando un anillo unitario.
Dado cualquier conjunto X , el conjunto potencia de X forma un anillo de conjuntos discreto,
mientras que la colección {∅, X } constituye un anillo de conjuntos no discreto.
Cualquier campo de conjuntos, así como cualquier sigma-álgebra son también anillos de
conjuntos.
Definición de Evento
Sea Ω un espacio muestral. Un evento (con respecto a Ω) es una colección de puntos
muestrales. Cada punto del espacio muestral es conocido como evento simple o elemental.
El conjunto vacío 𝜙 y Ω son subconjuntos de Ω por tanto son eventos; 𝜙 se denomina
algunas veces el evento imposible o nulo, y Ω algunas veces se denomina el evento cierto
o seguro.
Es de notar que no todo subconjunto de Ω es un evento.
Cuando Ω es finito o infinito numerable, todo subconjunto se puede considerar como un
evento.
Definición de Álgebra y Sigma Álgebra
Una álgebra es una colección no vacía de conjuntos de Ω tales que:
σ- álgebra A , es una colección no vacía de subconjuntos de Ω tales que:
Es de notar que:
- se sigue de y.
- Con todo espacio muestral se asocia una álgebra A.
- La probabilidad se asigna solamente a eventos (conjunto de A ).
Si contiene un número contable de puntos, siempre se puede tomar a A como la
colección de todos los subconjuntos de.
Si contiene un número no contable de puntos, tambien se puede tomar a A como la
colección de todos los subconjuntos de , pero es mucho más larga esta colección.
Si o es un intervalo den , entonces cada uno de los subconjuntos de un
punto y todos los intervalos (cerrados, abiertos, o semicerrados) serian eventos.
Un espacio de medida es un conjunto para el que se ha definido una σ-álgebra de
conjuntos medibles y una función medida concreta que asigna un valor real o medida a
cada elemento de la σ-álgebra.
La tripleta (Ω, F, 𝜇) es un espacio de medida, donde:
(1) Ω es un conjunto no vacío llamado espacio muestral.
(2) F ⊆ P(Ω) es una σ-álgebra
(3) 𝜇: F → [ 0 , ∞) : es una medida POSITIVA, es decir,
i
∈ F ∀ i ∈ ℕ 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗, entonces
𝜇 (⋃ A
i
∞
i= 1
) = ∑ 𝜇(A
i
∞
i= 1
Un espacio probabilístico es un caso particular de espacio de medida, donde todo
Conjunto medible tiene una medida o "tamaño" finito, dado por su probabilidad.
Un espacio de probabilidad es un triplete (Ω, ℱ, 𝑃), donde
(1) Ω es un conjunto no vacío llamado espacio muestral.
(2) F es una σ-álgebra de P(Ω) (partes de Ω).
(3) P es una medida de probabilidad sobre F, es decir,
𝑃 ∶ ℱ → [ 0 , 1 ]
verificando los axiomas de probabilidad de Kolmogorov:
(A1) P(Ω) = 1.
(A2) σ-aditividad o aditividad numerable: 𝑆𝑖 {𝐴 i
i= 1
∞
⊂ A disjuntos dos a dos (es decir,
dos a dos (𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅, 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗), entonces
P (⋃ A
i
∞
i= 1
) = ∑ P(A
i
∞
i= 1
