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Algebra Lineal y Matem´
atica Discreta.
14 de febrero de 2010
E.T.S. Ingener´ıa de Telecomunicaci´on.
Sist. de Telecomunicaci´on Sistemas Electr´onicos Sonido e Imagen Telem´atica
1. Contesta las siguientes cuestiones:
a) Define el concepto de relaci´on de Aen B.
b) Define el concepto de funci´on de Aen B.
c) Define los conceptos de relaci´on de equivalencia y relaci´on de orden en A.
d) Da ejemplos de cada uno de los conceptos anteriores para los conjunto A=ZyB=N.
2. Consideramos el conjunto A={0,1,2,3,4,5}y la operaci´on interna descrita en la siguiente tabla:
?012345
0012345
1120453
2201534
3354021
4435102
5543210
a) Sabiendo que ?tiene propiedad asociativa, estudia que estructura tiene (A, ?).
b) Resuelve la ecuaci´on 2 ?(x ? 4) = 1.
3. Consideremos la aplicaci´on lineal f:R3→R3que cumple ker f={(a, b, b)|a+b= 0},f(1,1,0) = (0,1,0) y
f(0,1,1) = (1,1,0). Se pide
a) Encuentra la expresi´on anal´ıtica de f(x, y, z) y la expresi´on matricial respecto a la base can´onica de R3.
b) Una base para el espacio vectorial cociente R3/kerf.
c) Una base para el subespacio Im f.
d) Una representaci´on matricial del isomorfismo can´onico f:R3/ker f→Im f.
4. Consideramos, en R3, el siguiente producto escalar
h(x1, x2, x3,),(y1, y2, y3)i=x1y1+x1y2+x2y1+ 2x2y2+x3y3
a) Indica, justificando tu respuesta, si {(2,0,0),(−1,1,0),(0,0,−3)}es una base ortonormal.
b) Encuentra una base en la que la matriz asociada a este producto escalar sea la identidad.
5. Dada la matriz diagonal D=−1 0
0−1,
a) Encuentra una matriz A(distinta de D) que sea semejante aD(justifica la respuesta).
b) Calcula A30 + 4A10 −A+I2siendo Ala matriz que has encontrado.
c) Encuentra una matriz B(distinta de D) que sea congruente aD(justifica la respuesta).
d) Calcula los autovalores de la matriz Bque has encontrado.
e) Calcula la forma cuadr´atica que define la matriz Banterior y determina su signo, si lo tiene.
6. Dada la c´onica x+y+xy = 0, determina:
a) El tipo de c´onica que es.
b) El centro y la distancia focal.
c) Su ecuaci´on reducida.
7. a) ¿Cu´antas funciones inyectivas distintas se pueden definir entre el conjunto A={1,2,3}y un conjunto B
con melementos? ¿Cu´antas de ellas son biyectivas para los distintos valores de m?
b) ¿De cu´antas formas podemos repartir 5 bolas (id´enticas) en 3 cajas numeradas sin que ninguna caja tenga
m´as de tres bolas?