Programación II recursividad, Apuntes de Ingeniería de Telecomunicaciones

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TEMA 2.RECURSIVIDAD

Recursividad.

Objetivos 

Conocer el concepto de recursividad.

Ver diferentes tipos de problemas recursivos

Comprender la soluciones de los problemasrecursivos.

Resolver diferentes problemas utilizando los dosenfoque (iterativo y recursivo)

Buscar diferentes problemas que su solución seaobvia utilizando una solución recursiva.

Recursividad. Introducción

En un programa una función

f()

puede llamar a otra

g().

¿Pueden

f()

y

g()

llamarse a sí mismas?

Recursividad. Introducción

Fundamentación matemática 

Método de inducción en el conjunto de los númerosnaturales:^ 

Se demuestra la certeza para un cierto valor

k de N

Se verifica que se cumple para (k+1)

Se concluye que es cierto para cualquier valor de N

El problema queda resuelto

Recursividad. Introducción



Solución de problemas recursivos:

^

División sucesiva del problema original en uno o varios más pequeños, del mismotipo que el inicial. ^

Se van resolviendo estos problemas más sencillos. ^

Con las soluciones de éstos se construyen las soluciones de los problemas máscomplejos.



O lo que es lo mismo, una

Definición intuitiva sería

1.^

Un problema P se puede resolver conociendo la solución de otro problema Qque es del mismo tipo que P, pero más pequeño.

2.^

Igualmente, supongamos que pudiéramos resolver Q mediante la búsqueda dela solución de otro nuevo problema, R, que sigue siendo del mismo tipo que Q yP, pero de un tamaño menor que ambos.

3.^

Si el problema R fuera tan simple que su solución es obvia o directa, entonces,dado que sabemos la solución de R, procederíamos a resolver Q y, una vezresuelto, finalmente se obtendría la solución definitiva al primer problema, P.

Recursividad. Introducción

Ejemplos simples de recursividad.^ A.

Cálculo del factorial de un número, por ejemplo, 5.

Descomposición delproblema en otrosmás simples

0! = 1 Solución Conocida 1! = 1 * 0! = 1

Resolución deproblemas complejosa partir de otrosmás simples

Recursividad. Diseño



Módulo M con una llamada a sí mismo:

módulo

recursivo directo.



Módulo M con una llamada a otro F, que hace unallamada a M:

Módulo recursivo indirecto.



Ejemplo: Implementación del factorial de un número.

public long factorial (long n){

if (n == 0) return 1;

else return n * factorial(n-1);

Recursividad. Diseño



Dos partes principales:1.

La llamada recursiva, que expresa el problema originalen términos de otro más pequeño.

El valor para el cual se conoce una solución no recursiva. Caso base: una instancia del problema

cuya solución no

requiere de llamadas recursivas.



El caso base:^ 

Actúa como condición de finalización de la función recursiva.Sin el caso base la rutina recursiva se llamaríaindefinidamente y no finalizaría nunca. 

Es el cimiento sobre el cual se construirá la solucióncompleta al problema.

Recursividad. Diseño

Búsqueda de soluciones recursivas: cuatro preguntasbásicas.^ 1.

¿Cómo se puede definir el problema en términos deuno o más problemas más pequeños del mismo tipo queel original?

¿Qué instancias del problema harán de caso base?

Conforme el problema se reduce de tamaño ¿sealcanzará el caso base?

¿Cómo se usa la solución del caso base para construiruna solución correcta al problema original?

Recursividad. Diseño. Fibonacci

Ejemplo: la sucesión de Fibonacci.



El tercer término de la sucesión se obtiene sumando el segundo y elprimero. El cuarto, a partir de la suma del tercero y el segundo.



El problema: calcular el valor del n-ésimo término de la solución, que seobtendrá sumando los términos n-1 y n-2.



Las respuestas a la preguntas anteriores serían:1.

fibonacci(n) = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2).2. Casos bases: fibonacci(1) = 1 y fibonacci(2)=1.3. En cada llamada a la rutina fibonacci se reduce el tamaño del problema en unoo en dos, por lo que siempre se alcanzará uno de los dos casos bases.4. fibonacci(3) = fibonacci(2) + fibonacci(1) = 1 + 1.



Se construye la solución del problema n==2 a partir de los dos casosbases.

Recursividad. Diseño. Fibonacci

Ejemplo: Traza de la función de Fibonacci de 4.

Diseño. MCD

Recursividad. Diseño. MCD

Soluciones a las cuatro preguntas:1.

Es evidente que MCD(m, n) ha sido definida en términos de un problemadel mismo tipo, pero justifiquemos que MCD(n, m % n) es de tamañomenor que MCD (m, n):

^

El rango de m % n es 0, ..., n-1, por tanto el resto es siempre menor que n. ^

Si m > n, entonces MCD(n, m % n) es menor que MCD(m, n). ^

Si n > m, el resto de dividir m entre n es m, por lo que la primera llamada recursivaes MCD(n, m mod n) es equivalente a MCD(n, m), lo que tiene el efecto deintercambiar los argumentos y producir el caso anterior.

2.^

Si n divide a m, si y sólo si, m mod n = 0, en cuyo caso MCD(m, n) = n,por tanto, se conseguirá el caso base cuando el resto sea cero.

3.^

Se alcanzará el caso base ya que n se hace más pequeño en cadallamada y además se cumple que 0

m mod n

n-1.

4.^

En este caso, cuando se llega al caso base es cuando se obtiene lasolución final al problema, por tanto no se construye la solución generalen base a soluciones de problemas más simples.

Recursividad. Diseño. MCD

Soluciones a las cuatro preguntas:1.

¿Cómo se puede definir el problema en términos de uno o másproblemas más pequeños del mismo tipo que el original?Es evidente que MCD(m, n) ha sido definida en términos de unproblema del mismo tipo, pero justifiquemos que MCD(n, m % n)es de tamaño menor que MCD (m, n):

^

El rango de m % n es 0, ..., n-1, por tanto el resto es siempre menor que n. ^

Si m > n, entonces MCD(n, m % n) es menor que MCD(m, n). ^

Si n > m, el resto de dividir m entre n es m, por lo que la primera llamadarecursiva es MCD(n, m mod n) es equivalente a MCD(n, m), lo que tiene el efectode intercambiar los argumentos y producir el caso anterior.