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Introducción a la investigación de
operaciones
A medida que se empieza a incursionar en el estudio de la investigación de operaciones una de las primeras interrogantes es respecto a la utilidad que en el “mundo real” tienen los métodos cuantitativos que en ella se desarrollan. Como respuesta se puede decir que en el pasado muchos administradores se apoyaban en un enfoque sustentado en la experiencia y la intuición para abordarlos y resolverlos es decir en un conocimiento empírico, y lo hacían de manera exitosa, pero en estos tiempos actuales de una evolución constante, los problemas tienden a ser muy complejos y la toma de decisiones en los negocios se vuelven hacía los algoritmos para resolverlos y más aún al empleo de programas computacionales; entonces se puede afirmar que la intuición y el sentido común se alejan de una solución verdadera de los problemas que hoy en día se presentan, dando entrada a las técnicas de la ciencia administrativa, los modelos de la investigación de operaciones y los algoritmos matemáticos para encontrar soluciones eficientes.
1.1 Conceptos y definiciones de la investigación de
operaciones
1.1.1 Reseña histórica de la investigación de operaciones. Desde que apareció en la faz de la tierra y hasta nuestros días, el hombre ha buscado mejorar su forma de vida preguntándose cómo lograr más satisfactores con menores esfuerzos (la definición de productividad en su más pura expresión) y es esta inquietud la que impulso a algunos precursores de las innovaciones en la ingeniería industrial como Frederick Taylor conocido como “el padre de la administración científica” a observar cómo desarrollaban los obreros sus actividades o tareas y plantear varias opciones para mejorar la eficiencia y productividad.
La mayoría de los autores de obras afines, coinciden en que la I.O. surge en el periodo de 1935 a 1945 durante la Segunda Guerra Mundial en las fuerzas armadas británicas que se vieron en la necesidad de agrupar a individuos que dominaban diferentes disciplinas (psicólogos, físicos, astrofísicos, topógrafos, militares y matemáticos) para estudiar los problemas militares, tácticas de abastecimiento y demás relacionadas con la guerra, para el aprovechamiento óptimo de los recursos escasos, tanto materiales como humanos, en general se hicieron estudios que contribuyeron a evaluar diversos métodos de navegación y bombardeo con el objetivo de mejorar las operaciones y tácticas de ataque. Aquí es donde se considera que nació la investigación de operaciones, y una de sus aportaciones más significativas ocurrió en el área de la programación lineal con la creación del método simplex por George B. Dantzing en 1947 en Estados Unidos de América, tal método ha tenido amplias aplicaciones y ha servido de base para otros modelos de programación matemática como la programación de enteros y la programación por metas. Fue hasta la década de 1960, a la par con el desarrollo de la computadora que la investigación de operaciones se afianza en el mundo industrializado, así mismo fue implementada en la formación académica de las escuelas de nivel superior como una nueva materia de los planes y programas de estudio de varias universidades del mundo. En México existe una agrupación denominada SMIO (Sociedad Mexica de Investigación de Operaciones) cuyo objetivo es buscar el desarrollo de los métodos y aplicaciones de la I.O. así como su promoción, enseñanza, aprendizaje y divulgación en México. La investigación de operaciones hoy en día es un tema muy popular y esto se debe a que se ha reconocido su importancia para mejorar el proceso de toma de decisiones en los problemas técnicos, económicos y administrativos de las empresas e instituciones, ya sean manufactureras o de servicios, siendo estas últimas las que al inicio de este tercer milenio conforman el sector económico más importante en este mundo globalizado. 1.1.2. Conceptos y definiciones de la Investigación de Operaciones.
Problema. Una desviación de una situación actual, conjunto de hechos no deseados en la operación de un sistema, los cuales deberán ser corregidos para lograr el desarrollo óptimo del mismo.
1.2. Fases de estudio de la Investigación de Operaciones
Como ya quedo establecido, un estudio de investigación de operaciones no puede ser realizado y controlado solamente por un individuo, aunque se trate de un experto en la disciplina de modelado y técnicas de solución ya que muy probablemente no será una autoridad en algunas otras áreas donde se presentan problemas de I.O., en consecuencia, un equipo de investigación de operaciones deberá incluir a los miembros de la institución que participan o son responsables de las tareas, funciones o actividades donde existe el problema, así como quien tiene el poder de decisión en cuanto a la ejecución e implementación de la solución recomendada. En otras palabras, se cometería un gran error si se cree que un individuo llámese consultor, asesor, responsable, analista de I.O. puede resolver el problema sin la participación y cooperación colegiada. Se pueden enlistar las siguientes principales fases necesarias a fin de efectuar un estudio de I.O. Definición del problema. Construcción del modelo. Solución del modelo. Validación del modelo. Implantación de los resultados finales. Seguimiento y retroalimentación. Definición del problema. Esto significa identificar todas las características que describen el problema, entendiendo como problema el conjunto de hechos no deseados en la operación de un sistema, los cuales deberán ser corregidos para lograr el desarrollo óptimo del mismo, también es una desviación de una situación actual, un punto del
tiempo dado, es decir, es un estado intencionado con el cual un individuo está insatisfecho y acerca del cual tiene duda de los posibles cursos de acción a tomar para cambiar este estado a uno satisfactorio. La percepción de una situación como problemática implica que existe una necesidad reconocida para el cambio, y la tarea del analista es construir una descripción de quién percibe, qué clase de cambio es necesario y porqué razones hacer. Las preguntas que el analista puede formular en esta etapa son las siguientes: ¿Cuál es el problema? ¿Por qué es un problema? ¿Cómo surgió? ¿Qué acciones previas han conducido a él? ¿Quién cree, que es un problema? ¿Por qué es importante solucionarlo? Si se realiza un análisis, ¿qué se logrará de él? ¿Quién pudiera participar en las recomendaciones? ¿Cómo sería la solución? ¿Qué solución se considera actualmente como aceptable? ¿Qué clases de cambios implicarían una solución? ¿De qué problema mayor es la parte el problema en cuestión? ¿Cuáles son las implicaciones de confrontar los problemas más relacionados con el problema en cuestión? ¿Qué recursos se han utilizado en los procesos operacionales, bajo que procedimientos de planeación, dentro de que estructura, en qué ambiente y sistemas mayores y por quiénes? ¿Y cómo es este despliegue de recursos monitorizado y controlado? Construir el conocimiento de la situación problemática de esta forma permite al analista comenzar a formarse una visión de una posible dirección para su trabajo, es decir, una perspectiva del trabajo a realizarse dentro del sistema de solución del problema. Construcción del modelo. Después de que el problema está claramente definido y comprendido, el siguiente paso es expresar el problema en una forma matemática es decir formular un modelo matemático. En esta parte el equipo de I.O. deberá decidir sobre el modelo más adecuado para representar el sistema, existen infinidad de modelos matemáticos, por ejemplo, los hay para determinar la cantidad óptima de pedido Q*^ o el punto de re orden R si estamos ante la disyuntiva de determinar la política óptima de pedido para un problema de inventarios, o bien determinar el número de clientes en un sistema Ls si estamos ante una problemática de líneas de espera. Adelantándonos un poco
Algunas de las razones para validar los modelos es que tal modelo pudo no haber captado todas las limitaciones del problema real, que ciertos aspectos del problema pueden haberse pasado por alto, omitido deliberadamente o simplificado o que los datos pueden haberse estimado o registrado incorrectamente, tal vez al momento de la captura en la computadora. Un método común para probar la validez del modelo es comparar su funcionamiento con algunos datos pasados disponibles del sistema actual y es capaz de reproducir el funcionamiento pasado del sistema. En caso de que el sistema no exista, es decir sea nuevo lo apropiado será construir un modelo de simulación del cual se obtendrán los datos para realizar la comparación. Implantación de los resultados finales. Se refiere a la implantación de los resultados probados en el sistema, es importante destacar que aun cuando el modelo y la solución pueden ser válidos, tal vez no sea factible llevar a cabo una decisión basándose en esos resultados ya que puede haber implicaciones conductuales o políticas que no pueden incluirse en el modelo. Una forma de evitar este tipo de dificultades es incluir en el grupo interdisciplinario del equipo de proyectos a representantes de todos los grupos afectados. Por lo regular esta fase recae en el investigador de operaciones e implica la traducción de los resultados en instrucciones de operaciones detalladas, emitidas en forma comprensible a quienes administrarán y operarán el sistema después. Seguimiento y retroalimentación. Los resultados y su posterior implementación deberán supervisarse cuidadosamente, no solo para asegurar que la solución trabaja según lo planeado, sino también porque el problema, los datos o ambos pueden cambiar con el tiempo, lo que a su vez podría llevar a un cambio en la solución.
1.3. Principales aplicaciones de la investigación de
operaciones.
Ya se comentó que como parte de la investigación de operaciones existen los modelos matemáticos los cuales ayudan a llegar a una decisión, en resumen, los modelos matemáticos ayudan a los administradores a tomar dos tipos de decisiones: estratégicas y operacionales, las decisiones estratégicas generalmente son decisiones de una sola vez con efectos en el largo plazo en la organización, por ejemplo, el reemplazo de un sistema de producción, un cambio en la política de administración, etc. Es decir, generalmente se usan para hacer una determinación a largo plazo y no preocupa el esfuerzo computacional requerido para la obtención de una solución y dedican la mayor parte de su esfuerzo a asegurar que el modelo sea válido, en tanto que las decisiones operacionales implica cuestiones de planeación a corto plazo que generalmente deben hacerse repetidamente, como programar más eficientemente la fuerza de trabajo, determinar el plan de producción óptimo, planes de embarque más eficiente en costos para distribución de productos, etc. A diferencia de los modelos para decisiones estratégicas, los modelos para decisiones operacionales se usan repetidamente, por tanto, vale la pena invertir tiempo y esfuerzo en identificar o desarrollar los procedimientos de solución más eficientes, ya que hacerlo puede redituar en ahorros significativos. Así, la investigación de operaciones dispone de una amplia y diversa lista de áreas o campos de aplicación en diferentes industrias y sectores, con múltiples problemas que resuelve y diversas técnicas empleadas que a continuación se resumen: CAMPOS DE APLICACIÓN PROBLEMAS QUE RESUELVE
TÉCNICAS EMPLEADAS
Industria Agricultura Construcción Comercio Transporte Energía Banca Producción Planeación Financiera Administración de la salud Administración de la calidad Programación de operaciones Asignación Análisis de decisiones Pronósticos Líneas de Espera Cadenas de Markov Análisis de Redes Teoría de Juegos
muy ilustrativo, le presentación de ejercicios propuestos con la solución a la que se debe llegar y el encargo de realizar algunas prácticas incluidas en el apartado manual de prácticas. Es importante señalar que en esta sección del libro no se procederá a la resolución de dichas ecuaciones, solo a su planteamiento. Los diferentes métodos de solución se aplicarán en el capítulo siguiente (Método Simplex). Para facilitar la comprensión del tema, se enuncian continuación algunas definiciones útiles: Variable del problema. Son aquellas variables que no se conocen y que, al momento de resolver el problema, deberán quedar definidas de tal manera que logren la optimización de la función objetivo. A estas variables también se les conoce como variables de decisión. Función Objetivo. Es una variable, normalmente simbolizada por la letra Z o Xo la cual representa aquello que se desea optimizar, por ejemplo, un costo que se pretende minimizar o bien una utilidad o ingrese que se busca maximizar. Coeficientes de la función objetivo. Son cantidades constantes que aparecen en la ecuación de la función objetivo multiplicando a las variables del problema. Restricciones. Son las limitaciones físicas o condiciones que debe cumplir el problema, por ejemplo, cantidad disponible de recursos, que pueden ser materiales, tiempo, mano de obra, etc. También suele llamárseles restricciones funcionales o estructurales. Restricciones no explicitas. Son aquellas condiciones ocultas en el problema que no aparecen en la información disponible, pero deben ser tomadas en cuenta tanto en el planteamiento como en la resolución del mismo. El ejemplo más representativo de ellas es la no negatividad de las variables del problema o el que estas deban ser números enteros para el caso de programación con enteros o bien las prioridades y ponderaciones en el caso de programación por metas. METODOLOGIA. Para plantear un problema a lo que llamaremos estructura del modelo de programación lineal pueden aplicarse los siguientes pasos:
a. Definir las variables del problema. Consiste en identificar dichas variables y denotarlas con letras, por lo general X1, X 2 , X 3 , ……Xn. (tip. Por lo regular en el enunciado de un problema cuando se hace el planteamiento de la pregunta viene implícito una orientación que ayuda a la definición de la variable). Aquí es importante hacerlo de la forma más explícita posible, ya que ello facilitara la interpretación de los resultados que se obtengan. Por ejemplo, si estas variables representan la producción semanal en kilogramos de un determinado producto su definición correcta será: X 1 = Kilogramos de frijol a producir semanalmente X 2 = Kilogramos de maíz a producir semanalmente X 3 = Kilogramos de avena a producir semanalmente, etc. Así si una vez que se resuelve el planteamiento se encuentra por ejemplo que X 1 = 20 X 2 = 10 X 3 = 5 Se interpreta que a la semana se producirán 20 kilogramos de frijol, 10 kilogramos de maíz y 5 kilogramos de avena. Una definición de variables incorrecta sería. X 1 = Kilogramos de frijol a producir (ya que no define el periodo de producción, días, semanas, meses, etc.) X 2 = maíz a producir semanalmente (ya que no define la unidad a producir, toneladas, gramos, kilogramos etc.) X 3 = Kilogramos a producir semanalmente (ya que no define el producto a producir, frijol, maíz, avena, etc.) Y estos tres casos dificulta la interpretación de los resultados. b. Definir la función objetivo. Identificar aquella variable que debe ser optimizada, que se representara como ya se mencionó como Z o Xo Y expresa su ecuación matemática en función de las variables del problema y sus coeficientes. Además, deberá establecerse si la optimización es una maximización o una minimización.
una chamarra de dama como va más detallada necesita de 10 hs-hombre. Cada chamarra de hombre deja una utilidad de $1,800 en tanto que la de dama genera una utilidad de $2,300. Por otro lado, derivado de un estudio de mercado la empresa tiene la política de que su producción de chamarras para damas sea cuando mucho de 75 y no producir más de 75 chamarras para hombre. ¿Cuántas chamarras de cada tipo deberá producir mensualmente a fin de maximizar las utilidades? Solución. Se hará el planteamiento del modelo matemático siguiendo paso a paso el procedimiento descrito en la metodología. Definir las variables del problema. X 1 = Chamarras de piel de hombre a producir mensualmente. X 2 = Chamarras de piel de mujer a producir mensualmente Definir la función objetivo. En este caso son los ingresos por la venta de los dos tipos de chamarras el que debe ser maximizado y cuya ecuación en función de las variables vendrá dada por: Max Xo = 1,800 X 1 + 2,300 X 2 Donde los coeficientes de las variables son los precios de venta o utilidades que ofrece cada tipo de chamarra. Definir las restricciones. Ahora se procede a definir las restricciones estructurales que son 4 en este caso. 2 X1 + 1.75 X 2 ≤ 450 Esta restricción se relaciona con la disponibilidad mensual (450 m^2 ) de piel y el requerimiento de cada producto (2 y 1.75 respectivamente)
6 X 1 + 10 X 2 ≤ 2000 Esta restricción se relaciona con la disponibilidad mensual (2000 hs-hombre) de tiempo y el requerimiento de cada producto (6 y 10 respectivamente) X 2 ≤ 75 Esta restricción de relaciona con la política de producción X 1 ≤ 75 Esta restricción de relaciona con la política de producción Definir las restricciones no explicitas X 1 y X 2 ≥ 0 y enteras El modelo de programación lineal completo es: X 1 = Chamarras de piel de hombre a producir mensualmente. X 2 = Chamarras de piel de mujer a producir mensualmente Max Xo = 1,800 X 1 + 2,300 X 2 s.a. 2 X1 + 1.75 X 2 ≤ 450 6 X 1 + 10 X 2 ≤ 2000 X 2 ≤ 75 X 1 ≤ 75 X 1 y X 2 enteras y no negativas. Ejemplo 1.4.2. Un expendio de frutas prepara sus platillos y los vende al público basándose en tres materias: mango, fresas y papaya, cuyos contenidos se presentan en la siguiente tabla: MATERIA PRIMA
COSTO $/KG AZUCARES
GRASAS % PROTEINAS
INERTES %
MANGO 45 12 10 60 18
FRESAS 120 10 10 50 30
PAPAYA 27 8 6 44 42
Finalmente, ir al cuarto paso, la única restricción no explicita será que las variables X 1 , X 2 , y X 3 Deberán ser no negativas, pues no tendrá ningún sentido físico de hablar de alguna X negativa, esto es, X 1 , X 2 , y X 3 no negativas. Al agrupar las ecuaciones, queda planteado el problema, el cual es: X 1 = fracción de kilogramo de Mango a emplear en la mezcla X 2 = fracción de kilogramo de Fresas a emplear en la mezcla X 3 = fracción de kilogramo de Papaya a emplear en la mezcla. Min Xo = 45 X 1 + 120 X 2 + 27 X3. s.a. 12 X 1 + 10 X 2 + 8 X 3 ≥ 10 10 X 1 + 10 X 2 + 6 X 3 ≤ 9. 60 X 1 + 50 X 2 + 44 X 3 ≥ 52 X 1 + X 2 + X 3 = 1 X 1 , X 2 , y X 3 no negativas Ejemplo 1.4.3. Una fábrica de muebles elabora recamaras, comedores y salas, cada producto requiere para su elaboración de tres operaciones, diseño, producción y empaque, los tiempos (en minutos) requeridos para fabricar una unidad de cada producto, así como la capacidad diaria de las operaciones (en minutos por día) y la utilidad por cada unidad vendida son como sigue: OPERACIÓN
TIEMPO POR UNIDAD EN MINUTOS CAPACIDAD DE
OPERACIÓN
MINUTOS X DÍA
RECAMARAS COMEDORES SALAS
DISEÑO 25 5 5 5,
PRODUCCIÓN 10 10 15 8,
EMPAQUE 5 10 10 6,
GANANCIA 13,000 12,000 15,
Se asume que todo lo que se produce se vende, pero por cuestiones de almacenamiento no se pueden producir más de 150 recamaras, ni más de 100 comedores, así mismo existe el compromiso con un cliente de cuando menos venderle 10 salas ¿cuántas unidades de cada producto se deben fabricar diariamente? Plantee el modelo de programación lineal. Solución: Si se observa la pregunta al problema se está preguntando cuantas unidades de cada variedad de producto se deben fabricar diariamente, así pues, las variables se definen de la siguiente manera: X 1 = # de recamaras a fabricar al día X 2 = # de comedores a fabricar al día X 3 = # de salas a fabricar al día En el segundo paso se define la función objetivo Xo que será las utilidades o ganancias originados por la venta de cada uno de los tres productos fabricados el cual deberá maximizarse y cuya ecuación en función de las variables será: Max Xo = 13,000 X 1 + 12,000 X 2 + 15,000 X3. Aquí los coeficientes de las variables son las utilidades por unidad de cada producto que se venda. Al continuar con la metodología y de acuerdo con el paso 3, hay limitaciones en cuanto a los tiempos disponibles para cada operación que necesita el producto en su proceso de fabricación, así mismo existen limitaciones de almacenamiento y de producción por lo que habrá una restricción para cada limitante, estas serán: Tiempo de Diseño: 25 X 1 + 5 X 2 + 5 X 3 ≤ 5, Tiempo de producción: 10 X 1 + 10 X 2 + 15 X 3 ≤ 8, Tiempo de empaque: 5 X 1 + 10 X 2 + 10 X 3 ≤ 6, Almacenamiento: X 1 ≤ 150 Almacenamiento: X 2 ≤ 100
necesita 9 toneladas diarias. El cost0 del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro: RASTRO
MUNICIPIO
GUADALUP
E VICTORIA
GOMEZ
PALACI
O
VICENTE
GUERRER
O
MUNICIPA
L
UNION
GANADER
A
¿determine cuál es la distribución de transporte que minimiza los costos? Solución: De acuerdo con la metodología antes descrita, se va al primer paso, que es el de describir o definir las variables dl problema. Estas variables serán las posibles combinaciones de rastro – municipio a saber: X 1 = toneladas de carne a distribuir semanalmente del rastro municipal a Guadalupe Victoria X 2 = toneladas de carne a distribuir semanalmente del rastro municipal a Gómez Palacio X 3 = toneladas de carne a distribuir semanalmente del rastro municipal a Vicente Guerrero. X 4 = toneladas de carne a distribuir semanalmente del rastro unión ganadera a Guadalupe Victoria X 5 = toneladas de carne a distribuir semanalmente del rastro unión ganadera a Gómez Palacio
X 6 = toneladas de carne a distribuir semanalmente del rastro unión ganadera a Vicente Guerrero En el segundo paso se define la función objetivo Xo que será el costo de suministrar semanalmente las toneladas de carne de cada rastro a cada municipio, el cual deberá minimizarse y cuya ecuación en función de las variables será: Min Xo = 250 X 1 + 325 X 2 + 280 X3. + 230 X 4 + 335 X 5 + 300 X 6 Aquí los coeficientes de las variables son los costos unitarios de distribución. Al continuar con la metodología y de acuerdo con el paso 3, hay limitaciones en cuanto a las necesidades semanales de cada municipio y a las capacidades semanales de producción de cada rastro, por lo que habrá una restricción para cada limitante, estas serán: Necesidad de Guadalupe victoria: X 1 + X 4 ≥ 35 Necesidad de Gómez Palacio: X 2 + X 5 ≥ 85 Necesidad de Vicente Guerrero: X 3 + X 6 ≥ 22 Capacidad de rastro municipal : X 1 + X 2 + X 3 ≤ 65 Capacidad de rastro unión ganadera : X 4 + X 5 + X 6 ≤ 77 Finalmente, ir al cuarto paso, la única restricción no explicita será que las variables X 1 , X 2 , X3, X 4 , X 5 , y X 6 deberán ser no negativas, pues no tendrá ningún sentido físico de hablar de alguna X negativa, esto es, X 1 , X 2 , X3, X 4 , X 5 , y X 6 no negativas. Al agrupar las ecuaciones, queda planteado el problema, el cual es: X 1 = toneladas de carne a distribuir semanalmente del rastro municipal a Guadalupe Victoria X 2 = toneladas de carne a distribuir semanalmente del rastro municipal a Gómez Palacio X 3 = toneladas de carne a distribuir semanalmente del rastro municipal a Vicente Guerrero.
