Programas diferenciables sin restricciones, Apuntes de Economía Financiera

¡Descarga Programas diferenciables sin restricciones y más Apuntes en PDF de Economía Financiera solo en Docsity!

PROGRAMAS DIFERENCIABLES

SIN RESTRICCIONES

1. PLANTEAMIENTO Y FORMULACION.

1 2 1 2

n n n

Opt f x x x

P

x x x

    

∈R

• Limitaciones.
• ¿Cuál es su interés? EJEMPLOS: Opt cosx x∈R 2 2 2 ( , ) Opt x y x y

∈R

( , )^2

Opt x y x y

∈R

3. CONDICIONES DE SEGUNDO ORDEN DE

OPTIMO LOCAL.

Sea : n f R →R una función con derivadas parciales primeras y segundas continuas en R n y sea x∗^ ∈R n un punto crítico de f, es decir tal que, ∇f x ( ∗) = 0. Se verifica que: (a) Si Hf x( ) ∗ es d. p. entonces x ∗ es un mínimo local estricto. (b) Si Hf x( ) ∗ es d. n. entonces x ∗ es un máximo local estricto. (c) Si Hf x( ∗^ )es indefinida entonces x∗^ es un punto de silla. (d) Si x∗^ es un mínimo local entonces Hf x( ∗^ )es s.d.p. o d.p. (e) Si x∗^ es un máximo local entonces Hf x( ∗^ )es s.d.n. o d. n.

x∗^ ∈R n,

∇f x ( ∗) = 0.

x∗^ es un

mín. local

x∗^ es un

máx. local

x∗^ es un

pto. de silla

Hf x ( ) ∗

d. p. SI NO NO

Hf x ( ∗^ ) d. n. NO SI NO

Hf x ( ∗^ ) indef. NO NO SI

Hf x ( ) ∗

s.d.p. puede ser^ NO^ puede ser

Hf x ( ∗^ ) s.d.n NO puede ser^ puede ser

4. CONDICION SUFICIENTE DE OPTIMO GLOBAL.

PROGRAMAS CONVEXOS.

• Sea f : Rn →R una función diferenciable y

convexa en

n

R , entonces se verifica todos los

puntos críticos de f son mínimos globales de f.

• Sea f : Rn →R una función diferenciable y

cóncava en R n, entonces se verifica todos los

puntos críticos de f son máximos globales de f.

¿Una función convexa diferenciable puede tener un

máximo local?

¿Una función cóncava diferenciable puede tener un

punto de silla?