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- Representar en GeoGebra la función dada y determinar comprobando analíticamente:
a. Tipo de función
b. Dominio y rango
c. Asíntotas, tanto vertical y horizontal, si las tiene
d. Los puntos de intersección con los ejes de coordenadas
Estudiante 3 𝑓(𝑥) = −3 + 4𝑥 −
x
2
a. Tipo de función: primero debemos reescribir la función para que cumpla con las
características de una función cuadrática
f
x
= ax
2
f
x
=− x
2
Procedemos a reemplazar x por 0,1,2,3 para ver qué forma toma la ecuación la cual
debe dar una parábola
f
2
f
2
f ( 2 ) =−( 2 )
2
f
2
Graficamos la siguiente ecuación en GeoGebra y nos da
b. Dominio y rango:
Dado a la gráfica de la ecuación podemos decir que:
Dominio: todos los números reales.
Rango: − ∞ , 1
c. Asíntotas, tanto vertical y horizontal, si las tiene
R/: dado que la expresión f
x
=− x
2
no es una expresión racional no tiene
asíntotas.
d. Los puntos de intersección con los ejes de coordenadas
R/: Dado que resolvimos la ecuación y la graficamos anteriormente los puntos de
intersección con los ejes de las coordenadas son:
eje x :( 3,0 ) , ( 1,0) eje y :( 0 , − 3 )
- Dada la siguiente expresión implícita, escribir 𝑦 como función explícita de 𝑥, es decir 𝑦 =
𝑓(𝑥).
Estudiante 3 2 x
2
2
Debemos reorganizar los términos para dejar despejada la variable y
Restamos -2y de y: − y = 6 x
2
− 2 x
2
Luego resolvemos 6x²-2x²
− y = 6 x
2
− 2 x
2
− y = 4 x
2
Multiplicamos toda la ecuación por (-1) para cambiar el signo de la y
(− 1 )− y = 4 x
2
R/:
y = 4 x
2
− 5 x
- Dado los tres puntos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 hallar:
a. La ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta 𝐴𝐵⃡
b. La distancia 𝑑 entre los puntos 𝐴 𝑦 𝐵.
c. Comprobar gráficamente en GeoGebra los cálculos realizados.
Estudiante 3: 𝐴 = (4, 2) 𝐵 = (−2, − 3) 𝐶 = (1, −3)
a. La ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta 𝐴𝐵⃡
para hallar la perpendicular debemos encontrar M 2 =
m 1
, y el valor de m 1 loencontramos usando l
siendolos punto A y B los que reemplazaremos
Reemplazamos:
Resolvemos las operaciones dentro de los paréntesis:
Elevamos la potencia para eliminar los paréntesis
Resolvemos esta operación
Resolvemos la raíz cuadrada
R =7.
c. Comprobar gráficamente en GeoGebra los cálculos realizados.
Distancia entre los puntos A y B
La ecuación de la recta que pasar por el punto C y es perpendicular al punto A y B
- Dadas las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales, resolverlas analíticamente
aplicando la definición y propiedades de los logaritmos y de los exponentes
Estudiante 3: 𝑙𝑜𝑔5(2𝑥 + 1) + 𝑙𝑜𝑔5(2𝑥 − 2) − 𝑙𝑜𝑔5 3 = 0
Aplicamos la propiedad de los logaritmos:
log
c
( a )+log
c
( b )=log
c
( ab )
log
5
(( 2 x + 1 ) ¿
( 2 x − 2 ))−log
5
Sumamos (3) a ambos lados:
log
5
(( 2 x + 1 )( 2 x − 2 ))−log
5
( 3 )+ log
5
( 3 )= 0 + log
5
Reducimos términos:
log
5
Aplicamos la regla de logaritmos: log
b
f ( x )
=log
b
g ( x )
entonces f ( x )= g ( x )
( 2 x + 1 ) ( 2 x − 2 )= 3
Resolvemos: ( 2 x + 1 ) ( 2 x − 2 )= 3
Para resolver esto aplicamos la ley distributiva:
2 x ∗ 2 x (− 2 ) + 1 ∗ 2 x + 1 ∗(− 2 )
Aplicamos ley de signos:
2 ∗ 2 xx − 2 − 2 x + 1 ∗ 2 x − 1 ∗ 2
Simplificamos:
4 x
2
− 2 x − 2 = 3
Restamos (-3) de ambos lados:
4 x
2
− 2 x − 2 − 3 = 3 − 3
Simplificamos:
4 x
2
− 2 x − 5 = 0
Ahora resolvemos con la formula general de ecuaciones de segundo grado: x
1,
− b ±
b
2
− 4 ac
2 a
Para a=4, b=-2, c=-
x
1,
2
Resolvemos la parte de la raíz cuadrada
2
Aplicamos la regla -(-a) =a
2
Reescribimos:
x
1
Factorizamos el termino 2
x
1
Eliminamos términos comunes:
x
1
Resolvemos para x2:
x
2
Multiplicamos 2*
x
2
Reescribimos:
x
2
Factorizamos el termino 2
x
2
Eliminamos términos comunes:
x
2
Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:
x
1
x
2
R= x
1
b. ¿
Aplicamos ley de exponentes:
2 x ∗ 2
− x
Convertimos 25 a base de 5
2 x ∗ 2
− x
Aplicamos ley de exponentes:
2 x ∗ 2
2 (− x )
Aplicamos ley de exponentes: a
b
· a
c
= a
b + c
2 x ∗ 2 + 2 (− x )
Convertimos 625 a base 5
2 x ∗ 2 + 2 (− x )
4
Aplicamos la siguiente ecuación: si a
f(x)
=a
g(x)
, entonces f(x)= g(x):
2 x ∗ 2 + 2 (− x )= 4
Simplificamos:
2 x = 4
Despejamos x:
x =
R/:
x = 2
Rango: f ( x ) ≥ 4
Puntos de intersección si los tiene: x= 0, y= 5
f
x
=− 2 x
2
− 4 x + 5 si x ≥ 0
Dominio:− ∞ < x < ∞
Rango: f ( x ) ≤ 7
Puntos de intersección: x=0, y=
